2024-2025学年七年级数学下册第四章《三角形》单元检测试卷（北师大版2024）

· 2024-2025学年七年级数学下册第四章《三角形》 · 单元检测试卷（北师大版2024） 一、单选题 1．如图，在中，画出边上的高（　　） A．   B．     C．   D．   【答案】D 【分析】根据三角形高线的定义判断． 【详解】AC边上的高是过点B向AC作垂线，垂足为D，则线段为高； 纵观各图形，A、B、C都不符合边上的高的定义，D符合高线的定义． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形高的定义；理解定义是解题的关键． 2．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三条线段能构成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 3．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，D为边上的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故选：A． 4．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确； B、直角三角形有三条高，故该选项错误； C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误； D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误； 故选：A． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： 、、、、．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A.由证明，故A不符合题意； B.由证明，故B不符合题意； C.和分别是和的对角，不能证明，故C符合题意. D.由证明，故D不符合题意； 故选： C． 6．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质及三角形内角和作答． 【详解】解：如图， ∵∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠3（对顶角相等）， ∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°， ∴∠2=90°-∠1=55°． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理． 7．有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④， 满足的为①④， 故选D． 8．如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 9．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 10．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（    ）    ①；②平分；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等，构造全等三角形是解题的关键，延长交的延长线于点M，易证，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可． 【详解】解：延长交的延长线于点M，   ， ， ， 故①选项符合题意； ， 是的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故④选项符合题意， ， ， 平分， 故②、⑤选项符合题意； 和的大小关系不确定， 故③选项不符合题意， 综上可知，正确的有①②④⑤， 故选：C． 二、填空题 11．如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是 ．    【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框， 使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12．已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图所示，点D，E分别在上，，则线段的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，可得，即可得到的长，熟记全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：6． 14．如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 15．如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 设运动时间为t秒，根据题意可得：，再进行分类讨论即可①当时， ②当时． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意可得：， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， ②当时， ， 解得：， 此时厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：2或． 三、解答题 16．如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 【答案】添加条件或（任选一个即可），理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，可添加条件或，利用全等三角形的判定方法或即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件． 理由如下：∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴ 添加条件． ∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴． 17．已知：如图，E，F，为AC上两点，，，，求证：≌． 【答案】见解析 【分析】由AD∥BC可得∠A=∠C，由AE=CF可得AF=CE，再结合已知即可得到△ADF≌ △CBE ． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即：． 在和中， ， ∴≌（ASA）． 【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握平行线的性质及三角形全等的判定方法是解题关键． 18．如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由全等三角形的性质证明结合，证明从而可得结论. 【详解】解： ， ， 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键. 19．如图，在中，D是边上的一点，． (1)尺规作图：作平分，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据角平分线的尺规作图方法作出点E的位置，再连接即可； （2）只需要利用证明即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出对应的图形是解题的关键． 20．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． (1)求证：AB＝FE； (2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数． 【答案】(1)见解析 (2)120° 【分析】（1）根据“AAS”证明，即可证明； （2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键， 21．如图，在四边形中，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）结合（1）可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴． 22．【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长． 【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD＝AB+DC，证明见解析；（3）3 【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． （2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题． （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论． 【详解】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）结论：AD＝AB+DC． 理由：如图②中，延长AE，DC交于点F， ∵AB//CD， ∴∠BAF＝∠F， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AB， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠F， ∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF， ∴DC+AB＝AD． （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB//CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， ， ∴△AEB≌△GEC（AAS）， ∴AB＝GC， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠FDG＝∠G， ∴FD＝FG， ∴AB＝DF+CF， ∵AB＝5，CF＝2， ∴DF＝AB﹣CF＝3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23．如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)45 (2)8 (3)，理由见详解 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等，先证明，进而可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45； （2）∵于M，于N， ∴，． 在中， ∴， 同理：． 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 试卷第16页，共20页 试卷第15页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年七年级数学下册第四章《三角形》 · 单元检测试卷（北师大版2024） 一、单选题 1．如图，在中，画出边上的高（　　） A．   B．     C．   D．   2．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（    ） A． B． C． D． 6．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 8．如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 10．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（    ）    ①；②平分；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是 ．    12．已知三角形的三边长为，化简： ． 13．如图所示，点D，E分别在上，，则线段的长是 ． 14．如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    15．如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 三、解答题 16．如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 17．已知：如图，E，F，为AC上两点，，，，求证：≌． 18．如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：． 19．如图，在中，D是边上的一点，． (1)尺规作图：作平分，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 20．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． (1)求证：AB＝FE； (2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数． 21．如图，在四边形中，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 ． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长． 23．如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$