2024-2025学年八年级数学下册第19章《一次函数》单元检测试卷（人教版）

2024-2025学年八年级数学下册第19章《一次函数》单元检测试卷（人教版） 一、单选题 1．下列关系式中，y不是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题的关键．一般地，形如的函数叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，是一次函数，故A不符合题意； B．，是一次函数，故B不符合题意； C．，不是一次函数，故C符合题意； D．，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2．如果是关于的正比例函数，则的值是（   ） A．0 B． C． D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义得到即可求解． 【详解】解：是正比例函数， ， 解得：， 故选：B． 3．如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案． 【详解】解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交， ∴函数经过一、三、四象限， ∴， 故选：B． 4．已知一次函数与直线都经过，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．把代入，可求出的值，再把代入，可求出的值，进而可求出的值． 【详解】解：将代入， 得：， 则一次函数与直线都经过点的坐标为， 将代入， 得：， 解得：， 则， 故选：C． 5．将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位长度，所得函数图象的表达式是， 故选：B． 6．关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象过点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三象限 D．不论取何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据正比例函数的性质依次判断即可求解． 【详解】解：正比例函数， A、当时，， ∴图象过点，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴y随x的增大而减小，符合题意； C、∵， ∴图象经过二、四象限，选项错误，不符合题意； D、当时，总有，选项错误，不符合题意； 故选：B． 7．若点，都在一次函数的图象上，则和的大小是（   ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 根据一次函数可得：，得随的增大而减小，然后通过性质即可求解． 【详解】解：由一次函数可得：， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 8．在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据选项中的图象先判断函数中的取值范围，再根据函数的图象经过的象限判断、的取值范围即可求解． 【详解】解：A、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； B、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； C、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； D、图象中，函数：；函数：，，一致，此选项符合题意． 故选：D． 9．在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（   ） A．小汽车共行驶 B．小汽车中途停留 C．小汽车出发后前1小时的平均速度为80千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，运用数形结合思想进行逐项判断，即可作答． 【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意； B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意； C、小汽车出发后前1小时的平均速度为80千米/时，不符合题意； D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意； 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 11．一次函数与轴的交点是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点，把代入函数解析式，求出y的值，即可得出一次函数与轴的交点即可． 【详解】解：把代入得：， ∴一次函数与轴的交点为． 故答案为：． 12．若函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义∶形如（为常数，且）的函数叫做正比例函数． 根据题意得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 故答案为：． 13．如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 故答案为： ． 14．如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键． 根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解． 【详解】解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动， 当点运动到点时，，即， ∴， ∴， 当点从点运动到点时，的面积是， ∴， 解得，， ∴长方形的周长为， 故答案为： ． 15．如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，故①正确，②错误；由直线与直线的交点横坐标为，得到方程的解是，故③正确；由图象可知，当时，直线在直线的上方，得到不等式的解集是，故④错误；即可得到答案． 【详解】解： 由图象可知， 故①正确，②错误； 直线与直线的交点横坐标为， 方程的解是， 故③正确； 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 即， ， 不等式的解集是， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． (1)求直线的解析式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出这条直线的解析式， （2）把代入（1）的解析式，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴这条直线的解析式为：， （2）把代入得：， ∴． 17．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 18．某游泳馆：普通票价20元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①银卡售价150元张，每次凭卡另收10元． ②金卡售价600元张，每次凭卡不再收费． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设当游泳x次时，所需总费用为y元． (1)分别写出选择普通票、银卡消费时，y与x之间的函数关系式； (2)选择哪种消费方式划算． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键： （1）根据收费方程，分别列出函数关系式即可； （2）画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，选择普通票时：； 选择银卡消费时：； （2）当时，解得：，此时， 当时，解得：， 当时，解得：； 画出函数图象如图： 其中为，为，，，； ∴当时，选择普通票划算； 当时，选择普通票和银卡费用相同，比金卡划算； 当时，选择银卡划算； 当时，选择银卡和金卡费用相同，比普通票划算； 当时，选择金卡划算． 19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1)，； (2)的面积是或． 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合，解题关键是分类讨论． （1）由一次函数解析式，令求得点坐标，令求得点坐标； （2）分两种情况讨论：①点在点左边，，②点在点右边，． 【详解】（1）解：依题得：点是直线与轴交点，点是直线与轴交点， 时，，解得，即； 时，，即． （2）解：由（1）可得，，， 分两种情况考虑： ①点在点左边， ， ， ； ②点在点右边， ， ， ． 综上，的面积是或． 20．小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 【答案】(1)，小明，； (2)，； (3)见解析； (4)在时或时，小明和小亮相距． 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）利用待定系数法分别求出解析式即可； （）图中，交点坐标为，即小明和小亮相遇，从而可判断的实际意义； （）分当小明与小亮相遇前和当小明与小亮相遇后进行分析即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，表示小亮行驶的路程与小明行驶时间的关系，表示小明行驶的路程与行驶时间的关系， ∴小亮先骑了，小明先到达目的地， 故答案为：，小明，； （2）解：设直线函数表达式是，根据图象可知，直线过点， ，解得：， ∴直线函数表达式是， 设直线函数表达式是，把和代入， 得， 解得：， ∴直线函数表达式是； （3）解：∵图中，交点坐标为， ∴的实际意义小明出发后小时追上小亮（或小明在追上小亮或小明小亮两个人在相遇）； （4）解：当小明与小亮相遇前， ∴， 解得：， ∴时小明和小亮相距； 当小明与小亮相遇后， ∴， 解得：， ∴， ∴时小明和小亮相距； 综上可知：在时或时，小明和小亮相距． 21．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出点A和点B的坐标； （）设，由（）得点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后由即可求出的值，从而求解； （）分当时和当时进行分析即可； 【详解】（1）解：由得， 当时；当时，，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：设， 由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即 ， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 当时， ∴的坐标为，的坐标为， 当时， ∴， ∴的坐标为． 综上所述：存在，点Q的坐标为或或 22．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 1 2 3 4 5 … 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 … 在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； (2)请根据（1）中的数据确定y与之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，直接写出当圆柱体容器液面高度达到14厘米时是几点？____（填写时间）． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）先描点，再连线即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）把代入函数解析式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：描出各点，并连接，如图所示： （2）解：由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为， ∵点在该函数上， ， 解得：， ∴与的函数表达式为； （3）解：当时，即， 解得：， ， 即圆柱体容器液面高度达到14厘米时是上午． 故答案为： 23．【模型建立】 如图①，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图②，在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为，顶点B的坐标为，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，该双曲线的解析式为__________． （2）如图③，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为．求B、D两点的坐标． （3）如图④，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点C，在x轴上是否存在点B，使？若存在，直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】模型建立：见解析；模型应用（1）；（3）点B的坐标，点D的坐标；（4）或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的应用，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系． 模型建立： 先证明，结合已知利用即可证明结论； 模型应用： （1）过点A作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据，得到点A的坐标，即可求得该双曲线的解析式； （2）过点B作交于点E，由题意得，进一步利用证明，则，结合即可求得点坐标；再利用待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点D的坐标； （4）存在，分点B在x轴的正半轴和负半轴两种情况，构造等腰直角三角形，根据模型建立即可解答． 【详解】模型建立： 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 模型应用： （1）如图，过点A作交直线于点D， 同理模型建立得：， ∴， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 设该双曲线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴点B的坐标； 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点D的坐标； （4）存在，点B的坐标为或，使，理由如下： 如图，当点B在x轴负半轴时，过点B作交直线与点E，过点E作轴于点D， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理模型建立：得， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 则， 解得：， ∴； 如图，当点B在x轴正半轴时， 同理得：，， 设，则， ∴， ∴， 则， 解得：， ∴， 综上，点B的坐标为或． 试卷第22页，共23页 试卷第21页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年八年级数学下册第19章《一次函数》 · 单元检测试卷（人教版） 一、单选题 1．下列关系式中，y不是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．如果是关于的正比例函数，则的值是（   ） A．0 B． C． D．-2 3．如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数与直线都经过，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 6．关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象过点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三象限 D．不论取何值，总有 7．若点，都在一次函数的图象上，则和的大小是（   ）． A． B． C． D．不能确定 8．在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（   ） A． B． C． D． 9．在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（   ） A．小汽车共行驶 B．小汽车中途停留 C．小汽车出发后前1小时的平均速度为80千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 10．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 二、填空题 11．一次函数与轴的交点是 ． 12．若函数是正比例函数，则 ． 13．如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 14．如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ． 15．如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． (1)求直线的解析式； (2)求的值． 17．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值． 18．某游泳馆：普通票价20元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①银卡售价150元张，每次凭卡另收10元． ②金卡售价600元张，每次凭卡不再收费． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设当游泳x次时，所需总费用为y元． (1)分别写出选择普通票、银卡消费时，y与x之间的函数关系式； (2)选择哪种消费方式划算． 19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 20．小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 21．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 22．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 1 2 3 4 5 … 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 … 在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； (2)请根据（1）中的数据确定y与之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，直接写出当圆柱体容器液面高度达到14厘米时是几点？____（填写时间）． 23．【模型建立】 如图①，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图②，在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为，顶点B的坐标为，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，该双曲线的解析式为__________． （2）如图③，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为．求B、D两点的坐标． （3）如图④，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点C，在x轴上是否存在点B，使？若存在，直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第8页，共8页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$