精品解析：山西太原市2025年中考一模数学试卷

太原市2025年初中学业水平模拟考试（一）数学 （考试时间：上午） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A. B. C. D. 2 2. 中国红十字会是中华人民共和国统一的红十字组织，以保护人的生命和健康，维护人的尊严，发扬人道主义精神，促进和平进步事业为宗旨．下列红十字会的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A. 随机抽取某一个班的全体同学 B. 每个年级随机抽取15名女生 C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D. 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 晋祠天龙山新晋为太原首个国家5A级景区，这是太原旅游业发展的一个重要里程碑．已知天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同．设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，则满足的方程组是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 9. “无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A. 甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B. 丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C. 甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D. 丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 10. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形与边交于点与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 第II卷非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 计算：=_______． 12. 如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为___________（用含的代数式表示）． 13. 学校组织同学们开展“青春志愿行，环保进社区”志愿者活动．明明和亮亮计划分别从四个社区中随机选择一个社区，利用周末参加志愿者活动．两人选择的社区相同的概率为___________． 14. 随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为___________． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，已知在中，，点分别是的中点，连接． （1）实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明． 18. 2025年2月22日，“太原地铁”1号线一期工程正式开通运营，与2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，极大地提升了市民的出行便利性．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录了16个工作日上班路上的用时，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车． 数据整理：张老师将记录的数据绘制成如下统计图： 数据分析：张老师对不同出行方式所用时间的数据进行了如下分析： 平均数（分钟） 中位数（分钟） 众数（分钟） 方差 乘坐地铁 32 32 开私家车 34 40 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，_________； （2）通过上述分析，张老师选择乘坐地铁上班，请你结合两种统计量说明理由． 19. 2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 20. 综合与实践 校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下： 活动主题 测量运动场围网外路灯的高度 数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点． 测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺． 方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）． 数据测量 测量对象 测量结果 米 解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ． 实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……． （1）请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程； （2）按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米． （用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）． 21. 阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等 如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点． 思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点． 问题2：求作线段的三等分点，使． ．．．．．． 类型二：构造特殊角 问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得． ．．．．．． 任务： （1）思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________； （2）请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）． 22. 太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市2025年初中学业水平模拟考试（一）数学 （考试时间：上午） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 2. 中国红十字会是中华人民共和国统一的红十字组织，以保护人的生命和健康，维护人的尊严，发扬人道主义精神，促进和平进步事业为宗旨．下列红十字会的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A. 随机抽取某一个班的全体同学 B. 每个年级随机抽取15名女生 C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D. 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性．应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案． 【详解】解：A、随机抽取某一个班的全体学生，没有涉及其他班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； B、每个年级随机抽取15名女生，没有抽取男生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； C、课外活动时间，在操场上随机抽取20名学生，没有抽取到其他场所的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； D、将全校学生姓名输入程序，由电脑随机抽取150名学生，能很好地反映总体的情况，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：它的左视图为 故选：B． 6. 如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：延长交n于K， ∵平面镜与挡板n形成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 晋祠天龙山新晋为太原首个国家5A级景区，这是太原旅游业发展的一个重要里程碑．已知天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同．设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，则满足的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同，且设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，进行列方程组，即可作答． 【详解】解：依题意，满足的方程组是， 故选：B 8. 如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：D 9. “无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A. 甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B. 丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C. 甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D. 丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，先理解含糖浓度与饮料质量的乘积就是值，再结合的实际意义为甜味剂质量，得出甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的；再观察函数图象，得出，即可作答． 【详解】解：∵含糖浓度（含糖浓度=）与饮料质量之间的关系：甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足， ∴甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的； 由函数图象得出， 即丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多， 故选：D 10. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形与边交于点与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形的面积公式等知识，过O作于P，于Q，证明，得出，则，证明，得出，则，进而得出，解直角三角形求出， ，，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过O作于P，于Q， ∵菱形中，， ∴，平分，，， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：B． 第II卷非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 计算：=_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把化成，然后再合并同类二次根式即可得解. 【详解】原式=2. 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式． 12. 如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为___________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律． 【详解】解：第1个图案有4个正方形，即， 第2个图案有7个正方形，即， 第3个图案有10个正方形，即， …… 以此类推，第个图案有个正方形， 故答案为：． 13. 学校组织同学们开展“青春志愿行，环保进社区”志愿者活动．明明和亮亮计划分别从四个社区中随机选择一个社区，利用周末参加志愿者活动．两人选择的社区相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，正确根据题意列出表格或画出树状图是解题的关键．由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人选择社区相同的结果数有4种，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人选择社区相同的结果数有4种， ∴两人选择的社区相同的概率为， 故答案为：． 14. 随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为___________． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求函数值，先把，分别代入，得出，即，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，且当时，灯光亮度的值为80， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方和括号内，再把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）原方程可变形为， ， ， 或， ． 17. 如图，已知在中，，点分别是的中点，连接． （1）实践与操作：利用尺规在外部作，射线交的延长线于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）猜想与证明：猜想（1）中的四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 解：如图，、射线、点即为所求. （2） 解：四边形是矩形.证明： ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图----作一个角等于已知角，矩形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． （1）由作一个角等于已知角步骤即可作图； （2）先根据得到，可得是的中位线，那么，继而可得四边形是平行四边形，再根据即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 2025年2月22日，“太原地铁”1号线一期工程正式开通运营，与2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，极大地提升了市民的出行便利性．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录了16个工作日上班路上的用时，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车． 数据整理：张老师将记录的数据绘制成如下统计图： 数据分析：张老师对不同出行方式所用时间的数据进行了如下分析： 平均数（分钟） 中位数（分钟） 众数（分钟） 方差 乘坐地铁 32 32 开私家车 34 40 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，_________； （2）通过上述分析，张老师选择乘坐地铁上班，请你结合两种统计量说明理由． 【答案】（1）；32；2 （2）答案不唯一，选择两个统计量说明理由即可，如：①从平均数看，乘坐地铁的平均用时32分低于开私家车平均用时34分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁；②从中位数看，乘坐地铁用时的中位数32分低于开私家车用时的中位数35.5分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁；③从众数看，乘坐地铁用时的众数32分低于开私家车用时的众数40分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁；④从方差看，乘坐地铁用时的方差2低于开私家车用时的方差50.75，乘坐地铁所用时间更稳定，所以选择乘坐地铁． 【解析】 【分析】（1）直接利用折线图数据结合中位数，众数，方差求法得出答案； （2）比较平均数，众数，中位数，方差分别分析即可． 【小问1详解】 （1）由题意得，把开私家车的时间的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是33，38，故中位数 ， 乘坐地铁的时间中，32出现的次数最多， 故众数； 乘坐地铁的方差 ； 故答案为：，32，2； 【小问2详解】 略 19. 2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 【答案】弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 由题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的解． 当时， ； 答：弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个． 20. 综合与实践 校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下： 活动主题 测量运动场围网外路灯的高度 数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点． 测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺． 方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）． 数据测量 测量对象 测量结果 米 解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ． 实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……． （1）请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程； （2）按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米． （用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）． 【答案】（1）8.9米 （2）线段；或；或：； 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际运用，一元一次方程的实际运用，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）设路灯的高度为米，根据解直角三角形得到，，再结合米，建立方程求解，即可解题； （2）证明，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出的高度，或结合解直角三角形，推出要测量的角，以及求出的高度． 【小问1详解】 解：设路灯的高度为米， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 米， ， 解得米， 即米； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 米，米， 米， ， 解得； 要求得路灯的高度．要测量的线段是，的高度为米或米； ， 米，米，， ， ， ， 要求得路灯的高度．要测量的角是，的高度为米； 故答案为：线段，或；或，． 21. 阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等 如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点． 思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点． 问题2：求作线段的三等分点，使． ．．．．．． 类型二：构造特殊角 问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得． ．．．．．． 任务： （1）思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________； （2）请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）． 【答案】（1）平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 （2）思路1： 思路2： （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求； 思路2：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； （3）如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； 【小问1详解】 解：思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是： 平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； 【小问2详解】 解：思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求； 理由：∵， ∴，而，， ∴， ∴； 思路2：如图，取格点，且，连接，将向左平移4个单位长度至，则，此时与的交点即为，满足； 理由：由平移可得：，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； 理由：由平移可得：，， 而，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 【点睛】本题考查的是格点作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键. 22. 太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式； （2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可； （3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可． 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；； （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期； （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1），． 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ． ， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， （2）①，；②或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，全等三角形的判定可证明，得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，并延长交于点，根据等边对等角可求出．证明得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； ②分点D在线段上和线段的延长线上讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：①，． 理由：连接，并延长交于点 ， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ． ， ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ②存在； 当点D在线段上时， 由①知： ，，， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴ ， ∴E、B、F共线, 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 由①知： ，， ， ， ， 和重合， 故不存在，不符合题意，舍去； 当点D在线段的延长线上时， 此时同理可得， ∵， ∴， ∴， 由△ABDQ△EFD ( SSS )可知， 同理可证 ，，， ∴， ∴ 点B、E、F三点共线， 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 同理可证 ，， ， ， ， 和重合， 故不存在，不符合题意，舍去； 综上，两点之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确画出图形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $