专题02 方程（组）与不等式组（江苏专用）-2025年江苏中考数学预测专项突破

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题02 方程（组）与不等式组（江苏专用） ❆一元一次方程与不等式：直接求解或结合实际问题列方程。（高频考点：选填题中列一元一次方程、以解一元一次方程为桥梁解其他题型）； ❆二元一次方程组：①常以实际情境(如购物、资源分配)命题，②列方程组求解含参数的方程组解范围问题（高频考点：计算题中解二元一次方程组、选填题中列二元一次方程组、选填题中二元一次方程组的含参问题）； ❆一元二次方程：高频考点有根的判别式、根与系数关系、实际应用(几何、增长率问题、利润问题等） ❆分式方程与不等式组：解分式方程、分式方程、分式中增根问题。（高频考点：解分式方程或不等式组、分式方程和不等式组实际应用结合） 题型一：二元一次方程组中相关计算（高频考点） 1．（2024·江苏南通·模拟预测）方程组中两个方程相加得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法．由①②，即可获得答案． 【详解】解：， 由①②，可得． 故选：B． 2．（2025·江苏徐州·一模）若x，y满足方程组，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．求解即可． 【详解】解：， ，得． 故答案为：7． 3．（2025·江苏盐城·一模）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看做已知数求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·江苏苏州·一模）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题的关键．先用加减消元法求出y的值，再代入原方程求出x的值即可． 【详解】解：， 得，， 解得，把代入①得，， 解得， 故此方程组的解为 故答案为： 5．（2024·江苏扬州·二模）关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．让方程组中的两个方程直接相减得到，于是得出，结合已知，即可得出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ， 故答案为：3． 6．（2024·江苏无锡·二模）若x，y满足方程组，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相加，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； ∴； 故答案为：1． 题型二：三元一次方程组的应用（高频考点） 1．（2023·江苏苏州·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是(    ) A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出方程组求解即可． 【详解】解：设如图表所示： 根据题意可得：， 整理得：， 又根据题意可得：，， 整理得：，， 联立方程组得： 解得： ∴， 故选：B． 2．（2023·江苏无锡·一模）小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可画出草图，将大矩形分为5个小矩形， 其中1个为底面，其余4个为侧面，要求满足可拼成一个无盖的长方体， 经分析绘图，发现有4种情况，设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米， 根据草图分别列出三元一次方程据，解出侧面高可能的值，即可得到答案． 【详解】根据题意可得，有4种分割方法， 设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米， 如图1，，解得； 如图2，，解得； 如图3，，解得， ； 如图4，，解得． ∴侧面高不可能是． 故选B． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三元一次方程组，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据化学方程式左右两边的C，H，O原子的个数相等，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， b的值为16． 故答案为：16． 4．（2024·江苏扬州·二模）《孙子算经》有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的“中国剩余定理”．该题翻译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么适合条件的最小正整数是 ． 【答案】23 【分析】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组．设，可得，可知是21的倍数，可求时，即可 【详解】解：设， ， ∴， ∴是21的倍数， ∴n的最小正整数是4， 时，，， 这个数是． 答：适合条件的最小正整数是23． 故答案为：23． 5．（2024·江苏南京·二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三元一次方程，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ， 将，代入得， ， 解得：， ， 故答案为：12． 6．（2023·江苏南京·一模）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元． 【答案】55 【分析】设一件甲商品元，一件乙商品元，一件丙商品元．根据题意列方程组，再即可得出结论． 【详解】解：设一件甲商品元，一件乙商品元，一件丙商品元．根据题意得： 得：， 即购买甲，乙，丙各1件，则需55元． 故答案为：55． 题型三：一元二次方程中根的判别式（高频考点） 1．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故选B． 2．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 3．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 4．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出符合条件的的值（写出一个即可） ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到c的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴的值可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 5．（2025·江苏连云港·一模）若无实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式是解题的关键． 根据一元二次方程无实数根得到，代入即可得出答案． 【详解】方程没有实数根， ， ， 故答案为：． 6．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．由新定义得，然后根据关于x的方程k※有两个不相等的实数根得出且求解即可． 【详解】解：※， ，即， 关于x的方程k※有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 7．（2023·江苏苏州·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，解题的关键是掌握：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 8．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 9．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意． 【详解】解：设直线的表达式为，代入， 得， 解得：， ∴线段的表达式为：， 当， 化简得：， 则， 解得：， 当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当符合题意； 当时，且抛物线经过点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当时符合题意， 综上所述：当或满足题意． 故答案为：或． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根分别为，， ， 方程的两根异号． 故选：B． 11．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由得到，代入到关于的方程整理得到，再利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】解：， ， 代入到关于的方程得，， 整理得：， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 12．（2025·江苏连云港·模拟预测）若一个直角三角形斜边为3，则它的周长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及完全平方公式的应用，一元二次方程的判别式，设直角三角形的直角边为，，根据勾股定理得到，再求出的取值范围即可． 【详解】解：设直角三角形的直角边为，， ∵直角三角形斜边为3， ∴，， ∴三角形周长，故排除A、B选项， ∴当时，，代入，整理得，，方程有解；故C选项符合题意； 当时，，代入，整理得，，方程无解；故D选项不合题意； 故选：C． 题型四：一元二次方程中根与系数的关系（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于， 设， ，， ， ． 是方程的两根 ， ， ． 故选：C． 2．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法得到的两个根，，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 3．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 4．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 5．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 6．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 7．（2025·江苏南京·一模）已知2是方程的一个根，则另一个根为 ， 【答案】 3 6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设原方程的另一个根为a，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原方程的另一个根为a， ∵2是方程的一个根， ∴由根与系数的关系可得， ∴， 故答案为：3；6． 8．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程的两根是，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根是，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的根，先将带入方程得到，再根据根于系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，即，， ， 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 【答案】5 【分析】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如，等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将进行变形，化成和或积的形式，代入即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为m，n， 由根与系数的关系得：，， ． 故答案为：5． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可．掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根与系数的关系得， ，， ， 故答案为：． 12．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，由题意得到与为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：实数，且、满足，， 与为方程的两根， ，， ， 故答案为：． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）设，是关于的方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【详解】解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， 故答案为：． 14．（2025·江苏·模拟预测）已知方程的两根为a，c，方程的两根为b，d，其中a，b，c，d互不相同，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，，若，求得，若，则，，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵方程的两根为a，c， ∴，， ∵方程的两根为b，d， ∴，， 若，则，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d互不相同， ∴， ∴，，，， ∴； 若，则，， 把，代入，， 解得：， ∴当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述：或， 故答案为：1或． 题型五：方程（组）与不等式（组）中的计算（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）解不等式组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 2．（2025·江苏南京·一模）解不等式组：，并写出整数解． 【答案】；，， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：． 不等式组的整数解为，，． 3．（2025·江苏南京·一模）解方程． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：原方程可变形为． ∵是1的平方根， ∴． 解得，． 4．（2025·江苏苏州·一模）解方程组： 【答案】． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．直接运用加减消元法解答即可． 【详解】解：， 可得：，解得， 将代入①可得：，解得． 所以方程组的解为． 5．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原方程可化为， ， 解这个方程，得， ； （2）由，得， 由，解得 不等式组的解集为． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）计算： (1)； (2)解方程：． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了整式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据完全平方公式，多项式除以单项式法则计算，然后合并同类项即可； （2）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解∶去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 7．（2025·江苏南通·模拟预测）（1）解不等式：；     （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式、分式的混合运算，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）利用去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可出不等式的解集． （2）先计算括号内的加法运算，再计算除法运算即可．． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2） ． 8．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自求解方法和解题步骤是解题的关键； （1）通过去分母转化为整式方程，即可求解； （2）分别解两个不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）方程两边同乘，得 解得 检验：当时，， ∴原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 9．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了分式方程的解法，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关的解法及注意事项是解答本题的关键． （1）先化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 两边同时乘以得：， ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）解方程组：； （2）已知a、b满足，则______． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据加减消元法可以求得该方程组的解； （2）根据加减消元法可以求得和的值，然后将所求式子展开，再将和的值整体代入计算即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键． 【详解】解：（1）， ，得：， 解得， 将代入①，得：， 原方程组的解是； ， ，得：， 解得， 将代入①，得：， ， 故答案为： 11．（2025·江苏常州·一模）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，(2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，能根据方程特点灵活选用恰当的求解方法是解题的关键． （1）根据因式分解法求解方程即可； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 12．（2025·江苏无锡·一模）解方程或不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组： （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴， ∴； （2）， 解不等式①得，； 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 题型六：选填题中解分式方程（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 经检验得，是该方程的解， 故选：D． 2．（2025·江苏徐州·一模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解是． 3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母，化分式方程为整式方程，直接求解即可． 【详解】解：， 去分母，原方程可化为， ∴， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 4．（2025·江苏无锡·一模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·一模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． 先将分式方程化成整式方程求解，然后检验即可解答． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得： ， ， , ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 6．（2025·浙江·一模）若分式的值为2，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意得分式方程，再求解方程即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得，， 经检验：是原方程的解, 故答案为：9． 题型七：不等式组中的相关计算（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 由无法用来判断， ∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 故选：C． 3．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题． 【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点， ， 整理得， 当时，不等式恒成立， 整理得， 当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾， 当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ， ，即，有， 即，解得， 综上， ，， 即，解得， 故选：B． 4．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由可得点在轴上，由可得，据此求出点的坐标即可判断②；根据可得，即可判断③；由题意得出，然后计算出满足条件的点的全体组成的图形面积即可判断④． 【详解】解：点坐标为和点坐标为， ，， ，故①正确； ， 点在轴上，设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或，故②错误； 设点的坐标为， 若，则， ，即：， 解得：或， 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③正确； ， ， ， 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 在同一坐标系中画出它们的图象如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确． 故选：C． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）已知非零实数，且，则不等式组的解集不可以是（ ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】对正负性进行分类讨论，灵活运用不等式性质排除合理选项，即可判断求得答案． 本题主要考查了不等式组的解集分析，分类讨论的数学思想，以及对不等式知识的综合运用能力，熟练掌握以上能力是解题的关键． 【详解】解：A、若，且，则，的解为，的解为，此时的解集为，A可能是不等式解集，故本选项不符合题意； B、若，且如，，的解为，的解为，因为同为负，则，此时的解集为，B可能是不等式解集，故本选项不符合题意； C、若，且如，，的解为，的解为，此时解集为，C可能是不等式解集，故本选项不符合题意； D、分情况讨论：若，时，解集为，有解， 若，，解集为，有解，若，，解集为，有解， 综上，不等式组不可能无解，本选项符合题意． 故选：． 6．（2025·江苏南京·一模）不等式的最小整数解是 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再写出其最小整数解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ， 所以不等式的最小整数解是． 故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可． 【详解】解：分式方程的两边都乘以得：， 解得， ， ， ， 方程的解为正数， ， 且； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ． 且 整数的和为； 故答案为：5． 8．（2025·江苏宿迁·一模）若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得不等式的解集为，然后根据最小整数解为2可进行求解． 【详解】解：由不等式可知：， ∵关于的不等式的最小整数解是2， ∴， 解得：； 故答案为：． 题型八：分式方程中的实际应用（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元／．小艺信心大增，在原有的50亩试验田种植规模上再增加了50亩试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，试验田的亩产量是试验田亩产量的1.5倍．若同样收获该草莓所占用试验田比少1亩．小艺将试验田采摘的该草莓和试验田采摘的该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元．经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． (1)、两种试验田的亩产量分别是多少？ (2)若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元／箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 【答案】(1)试验田亩产量为，试验田亩产量为 (2)定价350元／箱时，每天可获得最大利润是16000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设试验田亩产量为，试验田亩产量为，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）设定价元，每天利润为元，直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设试验田亩产量为，试验田亩产量为． 由题意得：． 解得． 经检验，是方程的解． 试验田亩产量为，试验田亩产量为． （2）解：平均每亩投入种植成本为36000元， 试验田收获的草莓种植成本30元，试验田收获的草莓种植成本20元． 采摘及装箱的人工等成本平均为8元， 混合装箱后每箱草莓的成本为：． 设定价元，每天利润为元，则 ． ，， 当时，有最大利润，此时． 答：定价350元／箱时，每天可获得最大利润是16000元． 2．（2025·江苏泰州·一模）宇树科技的机器人完成一项数据处理任务，常规模式下每小时处理的数据量固定．若先用常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务．若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多，求常规模式下单独完成整个任务需要多少小时？ 【答案】常规模式下单独完成整个任务需15小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设常规模式下单独完成整个任务需小时，结合“先用常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务．若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多”列出分式方程，即可作答． 【详解】解：设常规模式下单独完成整个任务需小时， 依题意得， 解得： 经检验：适合原方程且满足题意． 答：常规模式下单独完成整个任务需15小时． 3．（2025·江苏南京·一模）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【答案】每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．再根据大型冷链车比小型冷链车少辆，再列方程解方程即可． 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 4．（2025·江苏泰州·一模）4月的溱湖，春光正盛，春潮涌动；千舟竞发，篙声如雷．2025“康养名城·活力姜堰”溱湖篙船大赛决赛于4月6日落幕．已知篙船决赛的距离为，其中甲、乙两艘篙船同时出发，甲篙船的速度是乙篙船的倍，结果甲篙船比乙篙船早到达终点，求甲、乙两艘篙船的速度． 【答案】甲篙船的速度为，乙篙船的速度为 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙篙船的速度为，则甲篙船的速度为，根据甲篙船比乙篙船早到达终点建立方程求解即可． 【详解】解：设乙篙船的速度为，则甲篙船的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲篙船的速度为，乙篙船的速度为． 5．（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 【答案】走路线1到达B地需要小时 【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设走路线1到达B地需要，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设走路线1到达B地需要，10分钟小时， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：走路线1到达B地需要小时． 6．（2025·江苏扬州·一模）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用，两种不同型号的分拣机器人，已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的倍，且型机器人分拣 件快递所用时间比型机器人分拣 件所用时间少分钟．问型机器人每分钟分拣快递多少件？ 【答案】型机器人每分钟分拣快递件． 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是正确列出分式方程并求解． 根据题意列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设型机器人每分钟分拣快递件，型机器人每分钟分拣快递件， 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：型机器人每分钟分拣快递件． 7．（2025·江苏扬州·一模）辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？ 【答案】12天 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷． 解得， 经检验，是原方程的解． 那么原计划需要（天） 答：原计划需要12天完成． 8．（2025·江苏扬州·一模）为建设美丽中国，各地从2023年开始通过建造小而美的“口袋公园”来提升人民群众的幸福感．为此某地绿化部门现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．求B种绿植单价． 【答案】B种绿植的单价为15元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设B种绿植的单价为x元，根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，进而求解即可． 【详解】解：设B种绿植的单价为x元，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； 答：B种绿植的单价为15元． 9．（2025·江苏扬州·一模）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？ 【答案】第一次书包的进价是50元 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一次每个书包的进价是元，根据某商店第一次用3000元购进某款书包的数量比第二次用2400元购进该款书包多20个可列方程求解，正确列出等量关系是解题的关键 【详解】解：设第一次每个书包的进价是元， ． 经检验得出是原方程的解，且符合题意， 答：第一次书包的进价是50元． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 【答案】720个 【分析】设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符，根据每个字符的大小相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解． 答：调整前可打印的字符数为720个． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年“五一”假期，徐州接待游客创历史新高．某商铺向游客销售某款“徐州文创”产品，该商铺第一次购进该产品的总价为3000元，很快售完；该商铺第二次购进该产品的总价为9000元．已知第二次购进该产品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次进货的单价比第一次的进货的单价提高20％．求第一次购进该产品的单价是多少元？ 【答案】5元 【分析】本题主要考查的是分式方程的实际应用，理解题意是解题的关键．设第一次购进该纪念品的进价是x元，列出分式方程即可． 【详解】解：设第一次购进该产品的单价是x元，则第二次购进该产品的单价是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：第一次购进该产品的单价5元． 题型九：一元二次方程中的实际问题（高频考点） 1．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题） 【答案】该商店应将每件该商品降价20元 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确理解题意是解题的关键．设该商店应将每件该商品降价x元，根据要使每周总利润为6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该商店应将每件该商品降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该商店应将每件该商品降价20元． 3．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形.若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽. 【答案】矩形的长为，宽为 【分析】此题考查一元二次方程的应用，设一边增加，根据矩形的面积列一元二次方程解答问题即可． 【详解】解：设一边增加， 则：， （舍） ， ， ，， 所以，矩形的长为，宽为． 5．（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 (2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可． （2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可． 【详解】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为． 得：， 解得：，（舍去）． ∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为． （2）由题意得：（万辆）． ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆． 6．（2024·江苏常州·模拟预测）为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 【答案】(1)入馆人次的月平均增长率 (2)体育馆不能接纳5月的入馆人次，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用： （1）设入馆人次的月增长率为，根据题意，列出方程求解即可； （2）根据增长率计算5月的入馆人次，即可得到结论． 【详解】（1）解：设入馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：入馆人次的月平均增长率； （2）解：体育馆不能接纳5月的入馆人次，理由如下： 入馆人次的月平均增长率为， 月的入馆人次为（人次）． ， 体育馆不能接纳5月的入馆人次． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形空地上，修建2条平行于边、1条平行于边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪．已知长为，长为，铺草坪的单价是100元/，铺草坪的总价为432000元．求每条小路的宽度． 【答案】每条小路的宽度为 【分析】设小路的宽为，先求出草坪的总面积为，再根据长乘以宽等于草坪面积列一元二次方程求解即可． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设小路的宽为， ， ． 解得，． 因为，所以． 答：每条小路的宽度为． 8．（2024·江苏连云港·模拟预测）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ (3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（利润＝销售总价－成本总价） 【答案】(1)，图见解析(2)40或60元(3)45元 【分析】本题考查画函数图象，求一次函数解析式，二元一次方程的应用，二次函数的应用．解题关键是根据题意列出方程与求出函数解析式． （1）描点，由图可猜想与是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性； （2）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此列方程，求解即可； （3）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此得表达式，运用性质求最值． 【详解】（1）解：（1）画图如图； 由图可猜想与是一次函数关系， 设这个一次函数为 这个一次函数的图象经过 这两点， ，解得， 函数关系式是：． （2）解：根据题意，得 化简整理，得， 解得：，， 答：当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润． （3）解：设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元，依题意得 ， 抛物线对称轴为直线， ∵，即抛物线开口向下， ∴当时，y随着x增大而增大，当时，y随着x增大而减小， ∵ ， ∴当时，y值最大， 答：销售单价定为45元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大． 9．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是 (2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量． （1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可． （2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答． 【详解】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是． （2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元， 依题意得：， 解得：， 所以， 答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元． 10．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 11．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】每本画册应降价4元． 【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 题型十：列方程（组）或不等式（组）（高频考点） 1．（2023·江苏镇江·一模）某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键； 根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”即可得出关于x的分式方程列方程即可． 【详解】解：设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了（x+1）名学生， 则：． 故选：B． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题目中的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意，得： ， 整理得． 故选：A． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）某班将举行一次知识竞赛活动，班长安排小红购买奖品，下面是小红买回奖品时与班长的对话．小红：我买了甲、乙两种笔记本共本，甲种笔记本的单价比乙种笔记本的少元，我给了老板元，老板给我找回元，其中买甲种笔记本花了元．班长：你肯定说错了！小红：我把自己口袋里的元一起当做找回的钱了．班长：这就对了！请你根据对话信息，计算乙种笔记本买了（      ） A．本 B．本 C．本 D．本 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种笔记本的单价为元，则乙种笔记本的单价为元，根据题意列出方程，求解检验即可，解题的关键读懂题意列出分式方程． 【详解】设甲种笔记本的单价为元，则乙种笔记本的单价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 则甲种笔记本买了本， ∴乙种笔记本买了本， 故选：． 4．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 5．（2024·江苏苏州·二模）某厂计划生产180张桌子，如果每天比原计划多生产15张，则可提前2天完成任务．若设原计划每天生产x张桌子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每天生产x张桌子，则实际每天生产张桌子，根据等量关系：原计划用的时间实际用的时间，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x张桌子，则实际每天生产张桌子， 由题意得：， 故选：A． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，由“少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费”，可得出一株椽的价格为文，结合单价总价数量，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意得一株椽的价格：文， 则． 故选：A． 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程解实际应用题及解一元二次方程，设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米，甲到达地后乙还需分钟才能到达地，列出方程，求解即可，注意检验． 【详解】解：设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据题意得：甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米， 则，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，， 是原分式方程的解， 则乙每小时走4千米， 故选：C． 题型十一：分式方程中含参问题（高频考点） 1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将方程进行求解，然后利用列出方程即可求出的范围．本题考查分式方程的解，解题的关键是求出的表达式以及限制条件，本题属于中等题型． 【详解】解：去分母可得： ， ， 又， ， 或8， 的范围为：且， 故选：D． 2．（2024·江苏宿迁·一模）关于x的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，不等式的性质是解题的关键． 根据解分式方程的方法用含a的式子表示分式方程的解，再根据解为正数，不等式的性质求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，， ∵解为正数，且， ∴，且 ∴且， 故选：． 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键． 先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：，两边都乘以得：， 关于的方程有增根， ， 解得：， ∴， ． 故选：A． 4．（2023·江苏南通·一模）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，得出，根据方程的解是正数得出，同时注意分式有意义，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得：， ∵关于x的方程的解是正数， ∴且， ∴且． 故选：D． 5．（2023·江苏扬州·一模）若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（    ） A．只有甲答案对 B．只有乙答案对 C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确 【答案】D 【分析】先解分式方程，得出，根据关于x的分式方程有正数解，得出，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴， 解得：或，且， ∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确． 故选：D． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程有一个正数解，可得，且，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程有一个正数解， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 题型十二：方程（组）与不等式（组）中的实际应用（高频考点） 1．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： (1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 【答案】(1)3000元(2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式． （1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可； （2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得：， ∴乙种蔬菜种植面积为（亩）， （元） 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴，此时乙种蔬菜种植（亩） 答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩． 2．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表： 型利润 型利润 甲店 乙店 (1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围； (2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1) (2)当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件． 【分析】此题主要考查了一次函数的应用；得到分配给甲乙两店的不同型号的产品的数量是解决本题的突破点；得到总利润的关系式是解决本题的关键； （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据a的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：分配给甲店型产品件，则分配给甲店型产品件，分配给乙店型产品件，分配给乙店型产品件， ， ， ， ； （2）由题意得：， 即， ， ． ∴，函数随的增大而增大， 当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件 3．（2025·江苏泰州·一模）目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达，儿童将达．在2025年全国两会期间，“体重管理年”三年行动成为重要议题．目前，国际上常用身体质量指数“”（Body Mass Index）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．BMI标准见下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 健康风险 伴随营养不良，免疫力下降 疾病风险相对较低 需注意饮食和运动，预防代谢病 显著增加心血管疾病，关节负担等 为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BMI值，并将其分成四组，情况如下： 的范围 人数 4 24 2 (1)样本中数值落在超重范围里的频率是______； (2)小明身高，体重为，根据公式判断他的健康状况的类型为______； (3)小华身高，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减多少千克？（结果精确到） 【答案】(1)0.25(2)正常(3)小华至少减重 【分析】本题考查频率的计算以及不等式的计算，根据表格中的数据计算出值是解题的关键． （1）先得出，再利用频率计算公式得出超重范围的频率； （2）根据小明的身高和体重计算出他的值，并判断他的健康状况； （3）设减重后体重为x千克，正常，则，求解不等式，注意所减体重要大于 ． 【详解】（1）解：已知总人数为40人，由，解得， 所以超重范围的频率为； 故答案为：0.25； （2）小明的， 因为​，所以健康状况类型为正常． 故答案为：正常： （3）设减重后体重为x千克，正常， 则，解得， 小华原体重为，至少减重 ​ ，所减体重要大于至少减重． 答：他的体重至少需要减千克． 4．（2025·江苏淮安·一模） 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品一律按商品价格的8折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求款徽章和款徽章的销售单价各是多少元？ 任务2 小艾计划在促销期间购买、两款徽章共40枚，其中款徽章枚， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要_______元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小艾算一算，在任务2的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种则买方式更合算？ 【答案】任务1：A种徽章的单价是10元，B种徽章的单价是8元；任务2：；:；任务3： 时，线下购买更便宜；时，线上购买更便宜；时，两种方式一样． 【分析】（1）设A种徽章的单价是元，B种徽章的单价是元，根据买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种徽章枚，则购买枚B种徽章，根据题意，得线下购买40枚徽章的费用为 ；线上购买40枚徽章的费用为，即可得出答案． （3）当线上费用高时，则，当线上费用低时，则，解不等式，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设A种徽章的单价是元，B种徽章的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种徽章的单价是10元，B种徽章的单价是8元． （2）解：设购买A种徽章枚，则购买枚B种徽章， 根据题意，线下购买40枚徽章的总费用为（元） ； 线上购买40枚徽章的费用为（元）， 故答案为：；． （3）解：当线上费用高时，则，解不等式，得， 又，故， 故时，线下购买更便宜； 当线上费用低时，则，解不等式，得， 又，故， 故时，线上购买更便宜． 当线上费用线下费用时，则，解不等式，得， 故时，两种方式一样． 5．（2025·江苏泰州·一模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)高性能服务器每台的进价各是50万元，普通服务器每台的进价各是30万元 (2)购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元 【分析】此题考查不等式、一次函数的应用和分式方程的应用． （1）设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元，根据“花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解； （2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过4200万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元． 根据题意列方程得：，解得：， 经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：； 答：高性能服务器每台的进价是50万元，普通服务器每台的进价是30万元； （2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台． 可列出不等式：，解得：， 高性能服务器每台利润为：（万元）， 普通服务器每台利润为：（万元）， 设总利润为万元，则，化简得：， 因为，所以随的增大而增大，又因为，所以当时，有最大值， （万元），此时购进普通服务器：（台）． 答：购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元． 6．（2025·江苏宿迁·一模）一般地，如果随机事件发生的概率是，那么相同条件下重复次试验，事件发生的次数的平均值为．请尝试解决： 问题．假设某航班平均每次约有名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费元，则在次飞行中，飞机平均失事______次，保险公司共收取保险费______元．若保险公司必须保证收入不小于支出，则该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． 问题．某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费元．如果该航空公司航班平均每次约有名乘客，并且乘客都没有自费另买保险，那么平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？ 【答案】问题：，，；问题：飞机失事的概率不超过时，才能保证保险公司的收入不小于支出 【分析】本题考查了概率实际生活问题中的运用，一元一次不等式的应用，将实际问题抽象为数学问题是解题的关键． 问题：用计算出飞机可能失事的次数收取的保费总额为，才能保证收入不小于支出，解出即可； 问题：先分别求出保险公司向乘客收取保险费的金额，飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据概率公式列出不等式即可解答． 【详解】解：问题：； ； ， 解得， 故答案为：；；； 问题：设飞机失事的概率不超过p时，才能保证保险公司的收入不小于支出， 根据题意得：， 解得：， 答：飞机失事的概率不超过时，才能保证保险公司的收入不小于支出． 7．（2025·江苏无锡·一模）某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示： 种纪念品（件） 种纪念品（件） 合计金额（元） 第一次 第二次 （备注：，两种纪念品的进价保持不变） (1)求、两种纪念品的进价； (2)销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值． 【答案】(1)元/件，元/件(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式与一次函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件，根据“两次购进纪念品的情况”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品，根据“进货资金不超过元”，列出一元一次不等式，解出的取值范围，设获得的利润为元，列出关于的一次函数，根据一次函数的性质确定出的值，进而可得到答案． 【详解】（1）解：设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件， 由题意，得， 解得， 答：种的进价为元/件，种的进价为元/件； （2）解：设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品， 由题意，得， 解得：， 设获得的利润为元， ， ， ， 随的增大而减小， 时，的值最大，最大值为 由题意，得， 解得， 的值为． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示： 月份运费单价（元/吨） 5月份 6月份 甲货物 50 70 乙货物 30 40 (1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？ (2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？ 【答案】(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨 (2)该物流公司7月份最多将收到19800元运输费 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，根据甲货物的数量不大于乙货物的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该物流公司7月份将收到元运输费，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨， 依题意得：， 解得：， 答：在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨； （2）解：设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨， 依题意得：， 解得：， 设该物流公司7月份将收到元运输费， 依题意得：， ， 随着的增大而增大， 当，有最大值， 答：该物流公司7月份最多将收到19800元运输费． 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 【答案】(1)中奖品的单价为12元，种奖品的单价为16元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，，不等式的应用，解题的关键是掌握相关的知识． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）根据购买费用种奖品的费用种奖品可求出元与件之间的函数关系式，再根据题意列出不等式组可求出的取值范围． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； （2）由题意可得：， 购买费用不超过元， ， 解得：， 又种奖品的数量不大于种奖品数量的倍， ， 解得：， 自变量的取值范围． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．请问A型器材最多购买多少套？ 【答案】(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需、元 (2)A型器材最多购买套 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是∶ （1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据“购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元”列方程组求解即可； （2）设购买A型器材套，则购买B型器材为套，根据“购买A、B型器材的总费用不超过14500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解∶ 设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元， 由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； （2）解∶ 设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套． 题型十三：方程（组）与不等式（组）中定义新运算（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 2．（2025·江苏南京·一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这100个数中，“神秘数”的个数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故选：D． 3．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有5个， ， 解得：， 故选：C． 4．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 5．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由可得点在轴上，由可得，据此求出点的坐标即可判断②；根据可得，即可判断③；由题意得出，然后计算出满足条件的点的全体组成的图形面积即可判断④． 【详解】解：点坐标为和点坐标为， ，， ，故①正确； ， 点在轴上，设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或，故②错误； 设点的坐标为， 若，则， ，即：， 解得：或， 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③正确； ， ， ， 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 在同一坐标系中画出它们的图象如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确． 故选：C． 6．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案. 【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m， ∴点B的坐标为， ∵点A的坐标为 ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，应满足的条件是， 故选：C 7．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 8．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及对“方程”的理解，解题的关键在于理解“方程”．先求出的解，再结合“方程”概念求解，即可解题． 【详解】解：， 解得， 互为“方程”的两个方程解之和为2， 方程的一个“方程”解为， 方程的一个“方程”为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 10．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．由新定义得，然后根据关于x的方程k※有两个不相等的实数根得出且求解即可． 【详解】解：※， ，即， 关于x的方程k※有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 11．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 关于的一元一次方程是妙解方程， ， ， 的值为． 故答案为：． 12．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 13．（2024·江苏宿迁·二模）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)①③(2)①  ②(3) 【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可； （2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可； （3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果． 【详解】（1）解：一次函数的图象在一、三、四象限， 直线与直线不平行，故有唯一点； 反比例函数的图象在一、三象限， 关于直线与反比例函数的图象有两个交点； 二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点， 与一次函数互为“融创函数”的是①③． 故答案为：①③； （2）解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”， 则联立， 消去y得；， 则，解得， 故函数，令 解得   ∴R的坐标为； ②将函数向左平移个单位得到函数． 联立函数与函数， 则，即， 解得：或， 当，则；当，则； 如图： 设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点， 函数与函数， ， 当时，，当时，， 则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个； （3）解：函数与函数互为“融创函数”， 令，整理得： 则，即， 当，恒有， 点在函数顶点的右侧，即， 解得， 由， ． 第 1 页 共 89 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题02 方程（组）与不等式组（江苏专用） ❆一元一次方程与不等式：直接求解或结合实际问题列方程。（高频考点：选填题中列一元一次方程、以解一元一次方程为桥梁解其他题型）； ❆二元一次方程组：①常以实际情境(如购物、资源分配)命题，②列方程组求解含参数的方程组解范围问题（高频考点：计算题中解二元一次方程组、选填题中列二元一次方程组、选填题中二元一次方程组的含参问题）； ❆一元二次方程：高频考点有根的判别式、根与系数关系、实际应用(几何、增长率问题、利润问题等） ❆分式方程与不等式组：解分式方程、分式方程、分式中增根问题。（高频考点：解分式方程或不等式组、分式方程和不等式组实际应用结合） 题型一：二元一次方程组中相关计算（高频考点） 1．（2024·江苏南通·模拟预测）方程组中两个方程相加得（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·一模）若x，y满足方程组，则 ． 3．（2025·江苏盐城·一模）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 4．（2024·江苏苏州·一模）方程组的解为 ． 5．（2024·江苏扬州·二模）关于x，y的方程组的解满足，则 ． 6．（2024·江苏无锡·二模）若x，y满足方程组，则 ． 题型二：三元一次方程组的应用（高频考点） 1．（2023·江苏苏州·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是(    ) A．13 B．12 C．11 D．10 2．（2023·江苏无锡·一模）小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ． 4．（2024·江苏扬州·二模）《孙子算经》有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的“中国剩余定理”．该题翻译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么适合条件的最小正整数是 ． 5．（2024·江苏南京·二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ． 6．（2023·江苏南京·一模）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元． 题型三：一元二次方程中根的判别式（高频考点） 1．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 4．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出符合条件的的值（写出一个即可） ． 5．（2025·江苏连云港·一模）若无实数根，则m的取值范围是 ． 6．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 7．（2023·江苏苏州·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 8．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 9．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 11．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 12．（2025·江苏连云港·模拟预测）若一个直角三角形斜边为3，则它的周长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四：一元二次方程中根与系数的关系（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 4．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 7．（2025·江苏南京·一模）已知2是方程的一个根，则另一个根为 ， 8．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程的两根是，，则 ． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 11．（2025·江苏南京·模拟预测）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 12．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是 ． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）设，是关于的方程的两个根，且，则 ． 14．（2025·江苏·模拟预测）已知方程的两根为a，c，方程的两根为b，d，其中a，b，c，d互不相同，则 ． 题型五：方程（组）与不等式（组）中的计算（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）解不等式组． 2．（2025·江苏南京·一模）解不等式组：，并写出整数解． 3．（2025·江苏南京·一模）解方程． 4．（2025·江苏苏州·一模）解方程组： 5．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）计算： (1)； (2)解方程：． 7．（2025·江苏南通·模拟预测）（1）解不等式：；     （2）计算：． 8．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 9．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）解方程组：； （2）已知a、b满足，则______． 11．（2025·江苏常州·一模）解方程： (1) (2) 12．（2025·江苏无锡·一模）解方程或不等式组： (1)； (2)． 题型六：选填题中解分式方程（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·一模）方程的解是 ． 3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）分式方程的解是 ． 4．（2025·江苏无锡·一模）分式方程的解为 ． 5．（2025·江苏南京·一模）方程的解是 ． 6．（2025·浙江·一模）若分式的值为2，则 ． 题型七：不等式组中的相关计算（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 2．（2025·江苏苏州·一模）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·江苏南京·模拟预测）已知非零实数，且，则不等式组的解集不可以是（ ） A． B． C． D．无解 6．（2025·江苏南京·一模）不等式的最小整数解是 7．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 8．（2025·江苏宿迁·一模）若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 题型八：分式方程中的实际应用（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元／．小艺信心大增，在原有的50亩试验田种植规模上再增加了50亩试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，试验田的亩产量是试验田亩产量的1.5倍．若同样收获该草莓所占用试验田比少1亩．小艺将试验田采摘的该草莓和试验田采摘的该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元．经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． (1)、两种试验田的亩产量分别是多少？ (2)若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元／箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 2．（2025·江苏泰州·一模）宇树科技的机器人完成一项数据处理任务，常规模式下每小时处理的数据量固定．若先用常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务．若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多，求常规模式下单独完成整个任务需要多少小时？ 3．（2025·江苏南京·一模）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 4．（2025·江苏泰州·一模）4月的溱湖，春光正盛，春潮涌动；千舟竞发，篙声如雷．2025“康养名城·活力姜堰”溱湖篙船大赛决赛于4月6日落幕．已知篙船决赛的距离为，其中甲、乙两艘篙船同时出发，甲篙船的速度是乙篙船的倍，结果甲篙船比乙篙船早到达终点，求甲、乙两艘篙船的速度． 5．（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 6．（2025·江苏扬州·一模）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用，两种不同型号的分拣机器人，已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的倍，且型机器人分拣 件快递所用时间比型机器人分拣 件所用时间少分钟．问型机器人每分钟分拣快递多少件？ 7．（2025·江苏扬州·一模）辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？ 8．（2025·江苏扬州·一模）为建设美丽中国，各地从2023年开始通过建造小而美的“口袋公园”来提升人民群众的幸福感．为此某地绿化部门现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．求B种绿植单价． 9．（2025·江苏扬州·一模）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？ 10．（2024·江苏南京·模拟预测）一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年“五一”假期，徐州接待游客创历史新高．某商铺向游客销售某款“徐州文创”产品，该商铺第一次购进该产品的总价为3000元，很快售完；该商铺第二次购进该产品的总价为9000元．已知第二次购进该产品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次进货的单价比第一次的进货的单价提高20％．求第一次购进该产品的单价是多少元？ 题型九：一元二次方程中的实际问题（高频考点） 1．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题） 3．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形.若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽. 5．（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 6．（2024·江苏常州·模拟预测）为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形空地上，修建2条平行于边、1条平行于边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪．已知长为，长为，铺草坪的单价是100元/，铺草坪的总价为432000元．求每条小路的宽度． 8．（2024·江苏连云港·模拟预测）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ (3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（利润＝销售总价－成本总价） 9．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 10．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 11．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 题型十：列方程（组）或不等式（组）（高频考点） 1．（2023·江苏镇江·一模）某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　） A． B． C． D． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）某班将举行一次知识竞赛活动，班长安排小红购买奖品，下面是小红买回奖品时与班长的对话．小红：我买了甲、乙两种笔记本共本，甲种笔记本的单价比乙种笔记本的少元，我给了老板元，老板给我找回元，其中买甲种笔记本花了元．班长：你肯定说错了！小红：我把自己口袋里的元一起当做找回的钱了．班长：这就对了！请你根据对话信息，计算乙种笔记本买了（      ） A．本 B．本 C．本 D．本 4．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·二模）某厂计划生产180张桌子，如果每天比原计划多生产15张，则可提前2天完成任务．若设原计划每天生产x张桌子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 题型十一：分式方程中含参问题（高频考点） 1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．（2024·江苏宿迁·一模）关于x的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 4．（2023·江苏南通·一模）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．（2023·江苏扬州·一模）若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（    ） A．只有甲答案对 B．只有乙答案对 C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 题型十二：方程（组）与不等式（组）中的实际应用（高频考点） 1．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： (1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 2．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表： 型利润 型利润 甲店 乙店 (1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围； (2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 3．（2025·江苏泰州·一模）目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达，儿童将达．在2025年全国两会期间，“体重管理年”三年行动成为重要议题．目前，国际上常用身体质量指数“”（Body Mass Index）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．BMI标准见下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 健康风险 伴随营养不良，免疫力下降 疾病风险相对较低 需注意饮食和运动，预防代谢病 显著增加心血管疾病，关节负担等 为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BMI值，并将其分成四组，情况如下： 的范围 人数 4 24 2 (1)样本中数值落在超重范围里的频率是______； (2)小明身高，体重为，根据公式判断他的健康状况的类型为______； (3)小华身高，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减多少千克？（结果精确到） 4．（2025·江苏淮安·一模） 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品一律按商品价格的8折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求款徽章和款徽章的销售单价各是多少元？ 任务2 小艾计划在促销期间购买、两款徽章共40枚，其中款徽章枚， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要_______元．（均用含的代数式表示） 任务3 请你帮小艾算一算，在任务2的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种则买方式更合算？ 5．（2025·江苏泰州·一模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 6．（2025·江苏宿迁·一模）一般地，如果随机事件发生的概率是，那么相同条件下重复次试验，事件发生的次数的平均值为．请尝试解决： 问题．假设某航班平均每次约有名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费元，则在次飞行中，飞机平均失事______次，保险公司共收取保险费______元．若保险公司必须保证收入不小于支出，则该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． 问题．某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费元．如果该航空公司航班平均每次约有名乘客，并且乘客都没有自费另买保险，那么平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？ 7．（2025·江苏无锡·一模）某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示： 种纪念品（件） 种纪念品（件） 合计金额（元） 第一次 第二次 （备注：，两种纪念品的进价保持不变） (1)求、两种纪念品的进价； (2)销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示： 月份运费单价（元/吨） 5月份 6月份 甲货物 50 70 乙货物 30 40 (1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？ (2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？ 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．请问A型器材最多购买多少套？ 题型十三：方程（组）与不等式（组）中定义新运算（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2025·江苏南京·一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这100个数中，“神秘数”的个数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 8．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 9．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 10．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 11．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 12．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 13．（2024·江苏宿迁·二模）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 第 1 页 共 89 页 学科网（北京）股份有限公司 $$