2025年上海市崇明区中考二模数学试卷

2024学年第二学期学业质量调研 九年级数学 （满分150分，完成时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1．2的相反数是（ ▲ ） A．2； B．； C．； D．． 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A．； B．； C．； D．． 3．不等式组的解集是（ ▲ ） A．； B．； C．； D．． 4．如果一次函数（k、b是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ▲ ） A．，； B．，； C．，； D．，． 5．学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（ ▲ ）（精确到0.01） A．0.50； B．0.59； C．0.62； D．0.63． 6．对于命题：①周长相等的等腰三角形全等； ②周长相等的等边三角形全等； ③周长相等的直角三角形全等； ④周长相等的等腰直角三角形全等． 真命题的是（ ▲ ） A．①②； B．③④； C．①③； D．②④. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．计算： ▲ ． 8．分解因式： ▲ ． 9．计算： ▲ ． 10．函数的定义域是 ▲ ． 11．已知正比例函数（k是常数，且）的函数值y随x的增大而增大，且不经过 点，那么这个正比例函数的解析式可以是 ▲ ．（只需写一个） 12．DeepSeek（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出。如：DeepSeek-V2是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员。把数据2360亿用科学记数法表示应是 ▲ ． 13．已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是 ▲ ． 14．正八边形中心角是 ▲ 度． 15．如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于y轴对称，那么 ▲ ．（用含a的代数式表示） 16．如图，在□ABCD中，点E是AD边中点，点F是线段BE中点，设，，那么 ▲ ．（结果用含、的式子表示） 17．在平面直角坐标系xOy中，点是反比例函数图像上一点，点B是y轴 上一点，，将△AOB绕点O旋转180°，点A、B的对应点分别为C、D．当四边形ABCD的面积等于8时，点C的坐标是 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD中，，，AC与BD相交于点O，点P是在直线AB上方到AB距离等于3的一个动点，当点O在以点A为圆心，AP为半径长的圆上时，BP的长为A B C D O （第18题图） ▲ ． A E D F B C （第16题图） 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：． 20．（本题满分10分） 解方程：． 21．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 如图，在Rt△ABC中，，，．点D在边AC上运动（不与A、 C重合），，交AB与点E，设，△BDE的面积为y． （1）求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围； （2）设BD与CE相交于点G，当点G是△ABC的重心时，求△BEG的面积． A B C D G （第21题图） E 22．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息。 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用AB表示，转角平台用BC表示，地面用AD表示．已知，CD⊥AD，垂足为D，米，米，米． （图2） C D B A N P Q M 15° G （图1） A D C B （1）求斜坡AB的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡AB上点M处时，探测仪P测得被困人员头顶G的仰角为15°，继续前行到点N处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段CB的延长线上，记作点Q．图2示意图中所有点均处于同一平面，，PM⊥AB、QN⊥AB，垂足分别为M、N，米，米，求MN的长． （参考数据：，，） 23．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图，在等腰梯形ABCD中，，，E、F分别是AB、BC边的中点， BD与EF相交于点G．A B C D E F G （第23题图） （1）求证：； （2）联结AG、AF，当时， 求证：四边形AFCD是菱形． 24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分4分，第(2)②小题满分4分） 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：、都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点P． （1）求直线的解析式以及点P的坐标； （2）已知抛物线经过直线上的“倒数点”点P和点，顶点为M． ①求顶点M的坐标； ②抛物线上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的直角三角形，若存在，求出点N的坐标．（第24题图） y x O 25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分5分，第(2)②小题满分5分） 如图，Rt△ABC中，，，，过点A的直线l与边BC平行， 点O在射线BA上，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆. （1）当直线AC与⊙O相切时，求OB的长； （2）当直线l与⊙O相交时，交点记为点E、F，且点E在点F的右边；以C为圆心、CE为半径长作⊙C，与⊙O的另一个交点记为G． ①若四边形ABCE是矩形，求OB的长； ②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，求的正切值． （备用图2） A l B C （第25题图） A l O B C （备用图1） A l B C 九年级数学 共6页 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$    九年级数学答题纸 共2面 第1面  一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1  2  3  4  5  6  注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、准考证号填写清楚并认真填涂考号下方的涂点。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不折叠、不破损。 涂 填 样 例 正确填涂 错误填涂 学校 班级 姓名 准考证号                                                                                 2024学年第二学期学业质量调研 九年级数学答题纸 时间：100分钟　满分：150分    请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 A B C D E F G （第23题图） A B C D G （第21题图） E 23. 解： （1） （2） 22. 解： （1） （2） 21. 解： （1） （2） （图2） C D B A N P Q M 15° G 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 20. 解方程： 解： 三、简答题 19. 计算： 解： 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7 8 9 　10 11 12 　13 14 15 　16 17 18 （图1） A D C B 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效      请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 （第25题图） A l O B C （备用图1） A l B C （备用图2） A l B C （第24题图） y x O 九年级数学答题纸 共2面 第2面 24. 解： （1） （2）① （2）② 25. 解： （1） （2）① （2）② 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期学业质量调研 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题 1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．D； 二、填空题 7. ； 8．； 9．； 10．； 11．（答案不唯一）；12． 13．8； 14．45； 15．； 16．； 17．； 18．． 三、解答题 19．（本题满分10分） 解：原式= = 20．（本题满分10分） 解：去分母得 去括号 解得 经检验：是增根，舍去，是原方程的解 所以原方程的解为： 21．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 解：（1）∵DE∥BC ∴ 即 ∴ ∵ ∴ 依题 由 ∴ （2）∵G是△ABC的重心， ∴ ∴ ∵△BEG与△BED同高 ∴ 即 ∴ 22．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 解:（1）作BE⊥AD，垂足为E ∵BC∥AD，CD⊥AD ∴DE=BC ∵AE=AD-DE 且BC=2, ∴ 在Rt△ABE中, ∴ 所以斜坡AB的坡比为 （2） 作PF⊥CD于F,PH⊥BC于H 根据题意可知： ∠GPF=15°，∠HQP=∠QBA=∠A，MN=PQ 在Rt△GPF中 , ∴ GF=5·sin15°≈ 1.3米 ∴ HP=CF=1.3-0.52=0.78米 由 ∴∠A=30° ∴∠HQP=∠A=30° 在Rt△QHP中,QP=2HP=1.56米 ∴MN=QP=1.56米 答：MN的长1.56米. 23．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 证明：（1）联结AC ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB 又∵BC=BC ∴△ABC≌△DCB ∴∠ACB=∠DBC ∵E、F是AB、BC中点 ∴EF∥AC ∴∠EFB=∠ACB ∴∠EFB=∠DBC ∴BG=GF （2）∵BG=GF,AG=GF ∴AG=BG 又∵E是AB中点 ∴ EG⊥AB ∵EF∥AC ∴ ∠BAC=∠BEF=90° ∵ F是BC边中点 ∴ AF=CF ∵ ∴ ∵AD∥BC ∴四边形AFCD是平行四边形 ∴四边形AFCD是菱形 24. （本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分4分，第(2)②小题满分4分） 解：（1）依题设点P，代入，得 ∵直线上有且只有一个倒数点 ∴=0， 解得 ∵ ∴ ∴直线 的解析式是： 由，得 ∴P (-1,-1) （2）①∵抛物线经过点P(-1,-1)，Q(1,7)，且 ∴，解方程组得： ∴抛物线的表达式为： ∵ ∴顶点M (-2,-2) ②∵N是抛物线 上的点 ∴设 若△PMN是以PM为直角边的直角三角形 ∴只有两种情况：∠PMN=90°或∠NPM=90° （ⅰ）当∠PMN=90°时 过点M作直线⊥y轴，于A，于B ∵P (-1,-1),M(-2,-2) ∴ BM=BP,可得∠BMP=45° ∵∠PMN=90° ∴∠AMN=45° ∴AM=AN 即 ∴ ∴ （ⅱ）当∠MPN=90°时 同理可得 ∴ ∴ ∴ 综上所述：. 25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分5分，第(2)②小题满分5分） 解：(1)作OH⊥AC于H ∵AC与⊙O相切 ∴设OB=OH=r 在Rt∆ABC中 ∴ 在Rt∆OAH中 ∴ ∴ （2）①∵四边形ABCE是矩形 ∴AE=BC=2 设OB=OE=r，则OA=r-1 在Rt∆OAH中, ∴ ∴ ②若∆AEC是以AE为腰的等腰三角形, 那么 或 设OC与相交于点P ∵⊙O与⊙C相交于E、G ∴ OC⊥EG 又∵∠OAP=90° ∴ =90° 又∵ ∴ （ⅰ）当 时 , ∵ ∴ ∴OB=3 ∵ ∴ （ⅱ）当 时 ,作EN⊥AC ∴ ∵∥BC ∴,即 ∴ ,解得 同理可求 ∴ 综上所述， 或 . 4 九年级数学 共6页 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学答题纸 共 2 面 第 1 面 2024 学年第二学期学业质量调研 九年级数学答题纸 时间：100 分钟 满分：150 分 注 意 事 项 1.答题前，考生先将自己的姓名、 学校、准考证号填写清楚并认真 填涂考号下方的涂点。 2. 选择题部分必须使用 2B铅笔填 涂；非选择题部分必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写。 3. 请按照题号顺序在各题目的答 题区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不折叠、不破损。 涂 填 样 例 正确填涂 错误填涂 学校 班级 姓名 准考证号                                                                                 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1  2  3  4  5  6  三、简答题 19. 计算： 1 0323 1 8 ( 1) 3      解： 21. 解： （1） （2） 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4分，满分 48 分） 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 20. 解方程： 2 2 1 1 1 1 x x x     解： 22. 解： （1） （2） 23. 解： （1） （2） A B C D E F G （第 23题图） （图 1） AD C B （图 2） C D B A N P Q M 15° G A BC D G （第 21题图） E 九年级数学答题纸 共 2 面 第 2 面 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 24. 解： （1） （2）① （2）② 25. 解： （1） （2）① （2）② （第 24题图） y xO （第 25题图） A l O B C （备用图 1） A l B C （备用图 2） A l B C 九年级数学 共 6 页 第 1页 2024 学年第二学期学业质量调研 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题 1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．D； 二、填空题 7. 1 3 ； 8．(� + 3)(� − 3)； 9． 1 �−2 ； 10．� ≥ 3 2 ； 11．� = 2�（答案不唯一）；12．2.36 × 1011 13．8； 14．45； 15．−2�； 16．1 2 � − 3 4 � ； 17．( − 1, − 2)； 18．5 或 3 17． 三、解答题 19．（本题满分 10 分） 解：原式= 3 − 1 − 2 3 3 − 2 + 1 = 3 3 − 2 20．（本题满分 10 分） 解：去分母得 2� − (� − 1) = �2 − 1 去括号 2� − � + 1 = �2 − 1 �2 − � − 2 = 0 解得 �1 =− 1, �2 = 2 经检验：�1 =− 1 是增根，舍去， �2 = 2 是原方程的解 所以原方程的解为：� = 2 21．（本题满分 10 分，第(1)小题满分 5 分，第(2)小题满分 5 分） 解：（1）∵DE∥BC ∴ �� �� = �� �� ,∠��� +∠��� = 180° 即 �� 8 = � 5 ∴DE = 8 5 � ∵∠��� = 90° ∴∠��� = 90° 九年级数学 共 6 页 第 2页 依题�� = 5 − � 由�∆��� = 1 2 ��·�� ∴y =− 4 5 �2 + 4� (0 < � < 5) （2）∵G是△ABC 的重心， ∴ �� �� = 2 3 , �� = 1 2 �� = 5 2 ∴y =− 4 5 × 25 4 + 4 × 5 2 = 5 ∵△BEG 与△BED 同高 ∴ �∆��� �∆��� = �� �� 即 �∆��� 5 = 2 3 ∴�∆��� = 10 3 22．（本题满分 10 分，第(1)小题满分 5 分，第(2)小题满分 5 分） 解:（1）作 BE⊥AD，垂足为 E ∵BC∥AD，CD⊥AD ∴DE=BC ∵AE=AD-DE 且 BC=2,�� = 3 3 + 2 ∴�� = 3 3 在 Rt△ABE中, BE = AB2 − AE2 = 3 ∴��� = �� �� = 1 3 所以斜坡 AB的坡比为 1： 3 （2）作 PF⊥CD于 F,PH⊥BC于 H 根据题意可知： ∠GPF=15°，∠HQP=∠QBA=∠A，MN=PQ 在 Rt△GPF中 , ���∠��� = �� �� ∴ GF=5·sin15°≈ 1.3 米 ∴ HP=CF=1.3-0.52=0.78 米 由��� = ���� = 1： 3 ∴∠A=30° ∴∠HQP=∠A=30° 在 Rt△QHP中,QP=2HP=1.56米 九年级数学 共 6 页 第 3页 ∴MN=QP=1.56米 答：MN的长 1.56米. 23．（本题满分 12 分，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 6 分） 证明：（1）联结 AC ∵四边形 ABCD是等腰梯形 ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB 又∵BC=BC ∴△ABC≌△DCB ∴∠ACB=∠DBC ∵E、F是 AB、BC中点 ∴EF∥AC ∴∠EFB=∠ACB ∴∠EFB=∠DBC ∴BG=GF （2）∵BG=GF,AG=GF ∴AG=BG 又∵E是 AB中点 ∴ EG⊥AB ∵EF∥AC ∴ ∠BAC=∠BEF=90° ∵ F是 BC边中点 ∴ AF=CF ∵�� = 2�� , �� = 2�� ∴�� = �� ∵AD∥BC ∴四边形 AFCD是平行四边形 ∴四边形 AFCD是菱形 24.（本题满分 12 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)①小题满分 4 分，第(2)②小题满分 4 分） 解：（1）依题设点 P（�, 1 � )，代入� =− � − �，得 �2 + �� + 1 = 0 ∆ = c2 − 4 九年级数学 共 6 页 第 4页 ∵直线�上有且只有一个倒数点 ∴c2 − 4=0， 解得� =± 2 ∵� > 0 ∴� = 2 ∴直线�的解析式是：� =− � − 2 由�2 + 2� + 1 = 0，得�1 = �2 =− 1 ∴P (-1,-1) （2）①∵抛物线经过点 P(-1,-1)，Q(1,7)，且 c = 2 ∴ � − � + � =− 1 � + � + � = 7 � = 2 ，解方程组得： � = 1 � = 4 � = 2 ∴抛物线的表达式为： y = �2 + 4� + 2 ∵ y = �2 + 4� + 2 = (� + 2)2 − 2 ∴顶点 M (-2,-2) ②∵N是抛物线 � = �2 + 4� + 2 上的点 ∴设�（�,�2 + 4� + 2） 若△PMN是以 PM为直角边的直角三角形 ∴只有两种情况：∠PMN=90°或∠NPM=90° （ⅰ）当∠PMN=90°时 过点 M作直线�1⊥y轴，�� ⊥ �1于 A，�� ⊥ �1于 B ∵P (-1,-1),M(-2,-2) ∴ BM=BP,可得∠BMP=45° ∵∠PMN=90° ∴∠AMN=45° ∴AM=AN 即 −2 −� = �2 + 4� + 2 − ( − 2) �2 + 5� + 6 = 0 ∴ � =− 3 ( − 2 舍) ∴� (− 3， − 1) （ⅱ）当∠MPN=90°时 九年级数学 共 6 页 第 5页 同理可得 −1 −m = m2 + 4m+ 2 − ( − 1) ∴�2 + 5� + 4 = 0 ∴� =− 4 , ( − 1 舍) ∴� ( − 4, 2 ) 综上所述：� ( − 3， − 1)、( − 4, 2 ). 25．（本题满分 14 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)①小题满分 5 分，第(2)②小题满分 5 分） 解：(1)作 OH⊥AC于 H ∵AC与⊙O相切 ∴设 OB=OH=r 在 Rt∆ABC中 �� = ��·���∠��� = 1 �� = 5 , ���∠��� = 2 5 5 ∴�� = 1 − � 在 Rt∆OAH中 ���∠��� = OH OA ∴ � 1−� = 2 5 5 ∴ � = 2 5 − 4 （2）①∵四边形 ABCE是矩形 ∴AE=BC=2 设 OB=OE=r，则 OA=r-1 在 Rt∆OAH中,��2 + ��2 = ��2 ∴（� − 1） 2 + 22 = �2 r = 5 2 ∴�� = 5 2 ②若∆AEC是以 AE为腰的等腰三角形, 那么 �� = �� 或 �� = �� 设 OC与 � 相交于点 P ∵⊙O与⊙C相交于 E、G ∴ OC⊥EG 又∵∠OAP=90° 九年级数学 共 6 页 第 6页 ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���=90° 又∵∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� （ⅰ）当�� = �� = 5 时 , ∵��2 + ��2 = ��2 ∴（� − 1） 2 + ( 5)2 = �2 r = 3 ∴OB=3 ∵���∠��� = ���∠��� = �� �� ∴���∠��� = 2 3 （ⅱ）当 �� = ��时 ,作 EN⊥AC ∴�� = 1 2 �� = 5 2 ∵ � ∥BC ∴∠��� = ∠���,即���∠��� = ���∠��� ∴ 5 2 �� = 2 5 ,解得 AE = 5 4 同理可求（� − 1） 2 + ( 5 4 )2 = �2 r = 41 32 ∴���∠��� = 64 41 综上所述，���∠��� = 2 3 或 64 41 . 九年级数学 共 6 页 第 1页 2024 学年第二学期学业质量调研 九年级数学 （满分 150分，完成时间 100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、 本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6题，每题 4 分，满分 24 分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用 2B铅笔正确填涂】 1．2的相反数是（ ▲ ） A．2； B． 1 2 ； C． 2 ； D． 1 2  ． 2．下列运算正确的是（ ▲ ） A． 22 3a a a  ； B． 2 32 2a a a  ； C． 6 2 36 2 3a a a  ； D． 2 3 5(2 ) 8a a ． 3．不等式组 2 4 1 0 x x      的解集是（ ▲ ） A． 1x  ； B． 1x  ； C． 2x   ； D． 2x   ． 4．如果一次函数 y kx b  （k、b是常数， 0k  ）的图像经过第一、三、四象限，那么 k、b应 满足的条件是（ ▲ ） A． 0k  ， 0b  ；B． 0k  ， 0b  ； C． 0k  ， 0b  ； D． 0k  ， 0b  ． 5．学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后 针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（ ▲ ）（精确到 0.01） A．0.50； B．0.59； C．0.62； D．0.63． 6．对于命题：①周长相等的等腰三角形全等； ②周长相等的等边三角形全等； ③周长相等的直角三角形全等； ④周长相等的等腰直角三角形全等． 真命题的是（ ▲ ） A．①②； B．③④； C．①③； D．②④. 九年级数学 共 6 页 第 2页 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．计算： 13  ▲ ． 8．分解因式： 2 9a   ▲ ． 9．计算： 2 2 2 4 4 x x x     ▲ ． 10．函数 ( ) 2 3f x x  的定义域是 ▲ ． 11．已知正比例函数 y kx （k是常数，且 0k  ）的函数值 y随 x的增大而增大，且不经过．．． 点 (1,1)，那么这个正比例函数的解析式可以是 ▲ ．（只需写一个） 12．DeepSeek（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜 索增强型语言模型领域表现突出。如：DeepSeek-V2 是其开发的一个强大的混合专家语言模 型，含 2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员。把 数据 2360亿用科学记数法表示应是 ▲ ． 13．已知一个 50个数据的样本，把它分成 6组，第一组到第四组的频数分别是 8、6、11、7， 第五组的频率是 0.2，那么第六组的频数是 ▲ ． 14．正八边形中心角是 ▲ 度． 15．如果二次函数 2y ax bx  ( 0)a  的图像向左平移 1个单位长度后关于 y轴对称，那么 b  ▲ ．（用含 a的代数式表示） 16．如图，在□ABCD中，点 E是 AD边中点，点 F是线段 BE中点，设 AB a   ，DA b   ，那 么 FC   ▲ ．（结果用含 a  、 b  的式子表示） 17．在平面直角坐标系 xOy中，点 (1, )A m 是反比例函数 ( 0) ky k x   图像上一点，点 B是 y轴 上一点， AO AB ，将△AOB绕点 O旋转 180°，点 A、B的对应点分别为 C、D．当四边 形 ABCD的面积等于 8时，点 C的坐标是 ▲ ． 18．如图，在矩形 ABCD中， 8AB  ， 6BC  ，AC与 BD相交于点 O，点 P是在直线 AB上方 到 AB距离等于 3的一个动点，当点 O在以点 A为圆心，AP为半径长的圆上时，BP的长为 ▲ ． A E D F B C （第 16题图） A B CD O （第 18题图） 九年级数学 共 6 页 第 3页 三、解答题（本大题共 7题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 1 0323 1 8 ( 1) 3      ． 20．（本题满分 10 分） 解方程： 2 2 1 1 1 1 x x x     ． 21．（本题满分 10 分，第(1)小题满分 5 分，第(2)小题满分 5 分） 如图，在 Rt△ABC中， 90ACB   ， 5AC  ， 8BC  ．点 D在边 AC上运动（不与 A、 C重合），DE BC∥ ，交 AB与点 E，设 AD x ，△BDE的面积为 y． （1）求 y关于 x的函数关系式，及自变量 x的取值范围； （2）设 BD与 CE相交于点 G，当点 G是△ABC的重心时，求△BEG的面积． A BC D G （第 21题图） E 九年级数学 共 6 页 第 4页 22．（本题满分 10 分，第(1)小题满分 5 分，第(2)小题满分 5 分） 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救 是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安 全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它 能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭 载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为 救援决策提供可视化信息。 图 1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用 AB表示，转角平台用 BC表示，地 面用 AD表示．已知BC AD∥ ，CD⊥AD，垂足为 D， 6AB  米， 2BC  米， (3 3 2)AD   米． （1）求斜坡 AB的坡比； （2）如图 2，当机器狗爬到斜坡 AB上点M处时，探测仪 P测得被困人员头顶 G的仰角为 15°， 继续前行到点 N处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段 CB的延长线上， 记作点 Q．图 2示意图中所有点均处于同一平面， PM QN ，PM⊥AB、QN⊥AB，垂足 分别为 M、N， 0.52GC  米， 5PG  米，求 MN的长． （参考数据： sin15 0.26  ， cos15 0.97  ， tan15 0.27  ） （图 1） AD C B （图 2） C D B A N P Q M 15° G 九年级数学 共 6 页 第 5页 23．（本题满分 12 分，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 6 分） 如图，在等腰梯形 ABCD中， AD BC∥ ， 2BC AD ，E、F分别是 AB、BC边的中点， BD与 EF相交于点 G． （1）求证： BG GF ； （2）联结 AG、AF，当 AG GF 时， 求证：四边形 AFCD是菱形． 24．（本题满分 12 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)①小题满分 4 分，第(2)②小题满分 4 分） 在平面直角坐标系 xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数 点”．例如： 12, 2       、 12025, 2025       都是“倒数点”．如果直线 : ( 0)l y x c c    上有且只有．．．．一 个“倒数点”，记作点 P． （1）求直线 l的解析式以及点 P的坐标； （2）已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    经过直线 l上的“倒数点”点 P和点 (1, 7)Q ，顶点为 M． ①求顶点 M的坐标； ②抛物线上是否存在点 N，使得△PMN是以 PM为直角边的直角三角形，若存在，求出点 N的坐标． A B C D E F G （第 23题图） （第 24题图） y xO 九年级数学 共 6 页 第 6页 25．（本题满分 14 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)①小题满分 5 分，第(2)②小题满分 5 分） 如图，Rt△ABC中， 90ABC  ， 2BC  ， 1tan 2 ACB  ，过点 A的直线 l与边 BC平行， 点 O在射线 BA上，⊙O是以 O为圆心，OB为半径的圆. （1）当直线 AC与⊙O相切时，求 OB的长； （2）当直线 l与⊙O相交时，交点记为点 E、F，且点 E在点 F的右边；以 C为圆心、CE为半 径长作⊙C，与⊙O的另一个交点记为 G． ①若四边形 ABCE是矩形，求 OB的长； ②若△AEC是以 AE为腰的等腰三角形，求 AEG 的正切值． （第 25题图） A l O B C （备用图 1） A l B C （备用图 2） A l B C