2024年上海市崇明区中考数学二模试卷

24海明区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算中，计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，如果的值随的值增大而减小，那么这个函数是（ ） A． B． C． D． 4．某校准备组织八年级500名学生进行研学旅行活动，小慧同学随机抽取了部分同学进行研学目的地意向调查，调查结果发现选择航海博物馆的占，辰山植物园的占，世博文化园的占，其他目的地的占，要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 5．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．①～③是其作图过程： ①以点为圆心，长为半径画弧； ②以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③联结，则四边形即为所求作的图形． 在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） ① ② ③ A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 6．已知在中，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7．的相反数是______． 8．分解因式：______． 9．已知，那么______． 10．方程的根是______． 11．已知关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为______． 12．一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的七个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为______． 13．已知正六边形的半径为，那么这个正六边形的边心距为______． 14．为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有8000名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生数大约是______名． 15．如图，在梯形中，，，若，，用表示______． 16．如图，点是的重心，的延长线交于点，过点作，交于点，则______． 17．已知在矩形中，，将矩形绕点旋转，的对应边与边相交于点，联结，当点是中点时，______． 18．新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．（本小题10分） 计算： 20．（本小题10分） 解方程组： 21．（本小题10分） 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点为直线上位于点右侧的一点，且，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）试判断的形状 22．（本小题10分） 某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为4.8米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点、、、在一直线上）．（参考数据：） 图1 图2 （1）当挖掘机在处时，能否挖到距水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？23．（本小题12分） 如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过、两点． （1）求证：四边形是菱形； （2）设与交于点，联结并延长，交的延长线于点，若，求证： 24．（本小题12分） 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）设抛物线与轴的另一个交点为，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线平移，得到抛物线．平移后抛物线的顶点落在轴上的点处，将沿直线翻折，得到，如果点恰好落在抛物线的图象上，求平移后的抛物线的表达式． 25．（本小题14分） 如图，已知中，，点是射线上一动点（不与、重合），过点作，交射线于点，点为中点，联结并延长，交射线于点． （1）如图1，当点在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． （2）当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点为圆心、为半径的与以为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 备用图1 备用图2 答案和解析 1．【答案】A 【解析】解：A 是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意： C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；开方中不含得尽的因或因式．据此进行解题即可． 本题考查最简二次根式，熟练最简二次根式的概念是解题的关键． 2．【答案】B 【解析】解：A．，故A不符合题意； B．故B符合题意： C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：B． 根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，去括号与填括号，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，去括号与填括号，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．【答案】C 【解析】解：A．，当时，随值的增大而增大，故A选项不符合题意： B．，因为，所以时，的值随的值增大而增大，故B选项不符合题意； C．，因为随值的增大而减小，此C选项符合题意； D．，因为图象开口向上，对称轴为轴，所以时，的值随的值增大而增大，故D选项不符合题意． 故选：C． 分别根据正比例函数，反比例函数和二次函数的图象和性质判断即可． 此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键． 4．【答案】C 【解析】解：某校准备组织八年级500名学生进行研学旅行活动，小慧同学随机抽取了部分同学进行研学目的地意向调查，调查结果发现选择航海博物馆的占，辰山植物园的占，世博文化园的占，其他目的地的占，要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图，故选：C． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可． 本题考查统计图的选择，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．【答案】B 【解析】解：由作图过程可知，， 根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形为平行四边形 故选：B． 由作图过程可知，，根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得答案． 本题考查作图复杂作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答本题的关键． 6．【答案】D 【解析】解：作于，如图， 以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点时，的取值范围为． 故选：D． 作于，根据勾股定理计算出，再利用面积法计算出，然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点． 本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为；直线和相交；直线和相切；直线和相离． 7．【答案】 【解析】解：的相反数为． 故答案为：． 只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数． 本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可． 8．【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 直接提取公因式，进而分解因式即可、 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 9．【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 把代入函数解析式计算即可． 本题考查了求函数值，属于基础题． 10．【答案】 【解析】解：对于方程，移项得：， 方程两边同时平方，得：， 解得：， 经检验得：是方程的根． 方程的根是． 故答案为：． 将方程，移项得，再将方程两边同时平方转化为整式方程，解这个整式方程，然后再检验即可得出答案． 此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键． 11．【答案】 【解析】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可， 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12．【答案】 【解析】解：一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的七个球， 从这个箱子里随机摸出一个球，一共有7种可能性，其中出的球上所标数字为偶数的有3种可能性， 出的球上所标数字为偶数的概率是， 故答案为：． 用偶数的个数除以数据的总个数即可求得答案． 本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 13．【答案】 【解析】解：如图，连接、；过点作于点． 在中， 故答案为：． 根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决， 本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 14．【答案】2800 【解析】解：样本中该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生占比为：， 估计，该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生数大约是：（名）， 故答案为：2800． 将该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生比例乘以该区初中生总人数即可作出估计． 本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． 15．【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 根据等量代换得出，得出，再根据平面向量三角形减法法则求解即可． 本题考查了平面向量，平行线的性质，熟记平面向量三角形运算法则是解题的关键． 16．【答案】 【解析】解：由， 得， 由点是的重心， 得是中点，， 得的面积：的面积， 故的面积：的面积的面积：的面积． 故答案为：． 由，得，由点是的重心，得是中点，，得的面积：的面积，故的面积：的面积的面积：的面积． 本题主要考查了三角形的重心，解题关键是找准面积的比例关系， 17．【答案】 【解析】解：作， 由矩形，将矩形绕点旋转，点是中点， 易得，， 得，， 由， 得， 得， 得， 得， 得． 故答案为：． 作，易得，得， ，由得，得， ，得，得． 本题主要考查了矩形的旋转问题，解题关键是相似三角形的正确应用． 18．【答案】 【解析】解：抛物线的“关联抛物线”为， 的解析式为：． 对称轴为：． 顶点坐标为． 点关于轴的对称点为， 点坐标为：． 四边形是正方形，抛物与轴相交于、两点， ，与互相平分，的中点坐标为． 设点在点的右边． 点的横坐标为：． 点的坐标为． 解得：． 抛物线的表达式为：． 易得的解析式，可判断出的顶点坐标，进而可得点的坐标．根据四边形是正方形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点的坐标，代入的解析式可得的值，代入即可得到所求的函数解析式． 本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等． 19．【答案】解： ． 【解析】先化为最简二次根式，算负整数指数幂，分母有理化，去绝对值，再算加减． 本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 20．【答案】解：由②得：， 或， 原方程组可转化为：（1）或（2） 解方程组（1）得： 解方程组（2）得： 方程组的解为 【解析】先由②得，则或，此时可将原方程组转化为 （1）或（2）两个二元一次方程组，然后再解这两个二元一次方程组即可得出原方程组的解． 此题主要考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法解二元二次方程组是解决问题的关键． 21．【答案】解：（1）点在正比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， 反比例函数的解析式为：； （2）如图，作轴，垂足为， 将代入正比例函数得：， 将代入反比例函数得， 是等腰三角形 【解析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可： （2）证明得到点、坐标，根据两点间距离公式计算出三边长即可判断三角形形状， 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两点间距离公式是解答本题的关键． 22．【答案】解：（1）当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石， 理由：过点作，垂足为， 在中，米， （米）， （米）， 在中，（米）， （米）， 米米， 当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石： （2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米， 由题意得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的根， 工程队原计划每天挖80米， 【解析】（1）过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．【答案】证明：（1）， 平分， 是圆直径， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）连接， 四边形是菱形， 【解析】（1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，由圆周角定理推出，得到，推出，得到，因此，判定四边形是菱形． （2）连接，由菱形的性质推出，得到，判定，推出，由推出，得到，由平行线的性质推出，得到，即可证明． 本题考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线定义，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系推出；由，推出，由推出． 24．【答案】解：（1）直线与轴相交于点，与轴相交于点， 则点、的坐标分别为：， 将点、的坐标代入抛物线表达式得： 解得： 则抛物线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点 （2）由抛物线的表达式知，点 过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交过点和轴的抛物线于点， 图1 图2 则， ，即， 解得：， 即点 （3）由直线的表达式知，， 当将沿直线翻折，得到时， 为等边三角形， 设点，则， 点 新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线表达式得： 解得：， 抛物线的表达式为：． 【解析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即，即可求解； （3）证明为等边三角形，得到点 将点的坐标代入抛物线表达式得： 即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 25．【答案】解：（1）①过点作，交于，如图所示， 解得， 在中，， 点为中点， 四边形为矩形， ②当与相似时，过点作，交于， 设，则， 点为中点， 在中，， ，即， 解得：， 在中， （2）当是以为腰的等腰三角形时，过点作于，过点作，交于H，如图所示， 则， 点为中点， ，即为角平分线， 设， 在中，设， 在中， ，即， 解得，即， 以点为圆心，为半径的，即半径为， 以点为圆心，为半径的，即半径为， ，两圆心距离， 两圆的位置关系为外离． 【解析】（1）①过点作，交于，可求得的正切值，可依次求得、、、的长，点为中点，可求出、、，即可求得的长； ②利用三角形的相似，求得，利用，解直角三角形可得，再通过解直角三角形求出，即可求出的长； （2）首先求出两圆的半径，通过利用是以为腰的等腰三角形，解直角三角形求出和，然后半径之和与两圆心距离比较，即可求解， 本题考查了圆的综合知识，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线的性质，圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的正弦，余弦，正切的计算，以及相似三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，圆的位置关系判定是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$