提优微专题 概率与数列的综合问题（含马尔科夫链问题）学案- 2025届高三数学二轮复习

2025届高三第二轮微专题复习讲义 朴·实·沉·毅 【二轮复习 提优微专题】 概率与数列的综合问题（含马尔科夫链问题） 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 掌握概率模型（如递推、转移矩阵）与数列（等差/等比、递推式）的转化逻辑，建立两类问题的联结框架。 2. 熟练运用马尔科夫链状态转移规律求解长期概率分布或极限状态，结合数列工具分析系统稳态特征。 3. 针对概率与数列交叉的实际问题（如动态系统、多阶段决策），构建解题路径并提升建模运算能力。 2、 重点难点 重点：概率递推式与数列通项公式的相互推导（如利用概率转移方程构造递推数列），以及马尔科夫链的稳态分布与数列极限的关联求解; 难点：复杂情境中概率转移规则的动态建模（如多状态、非齐次转移），以及概率与数列融合问题的参数推导与多步推演的准确性控制. 3、 学习过程 1. 基础知识必备 马尔科夫链 (1) 性质：对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn＋1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn－1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有 性.称具有马尔科夫性的随机变量序列{Xn}为 (2) 原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t＝0时，位于点X＝i(i∈N*)一个时刻，它将以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xt＝i表示在时刻t该点位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得 P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1) 另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α， 代入上式可得 . 2. 例题分析 角度一：概率与数列递推公式 例题1. （1）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，． (1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望； (2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大． （2）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误． (1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望； (2)设第次传球后，甲接到球的概率为， （i）试证明数列为等比数列； （ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． 角度二：n重伯努利试验与数列递推关系 例题2. 某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败． 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. (1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； (2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 角度三：n重伯努利试验与数列递推关系 例题3. 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 角度四：样本总数为n的超几何分布 例题4. 为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场．直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷．已知有名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名顾客中抽取名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为（不重复计算）． (1)若甲是这名顾客中的一人，且甲被抽中的概率为，求； (2)求使取得最大值时的整数． 角度五：基于数学期望的递推关系 例题5. 甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中红球个数为． (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明：． 3. 提升练习 (1) 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．的数学期望 (2) 甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. (3) 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. (1)求面试号码为2的学生来自A校的概率. (2)若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. (3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. (4) 有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 . (5) 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为． (1)求的概率分布列并求； (2)求证：（且）为等比数列，并求出（且）． (6) 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束． ①求随机变量的分布列； ②证明：单调递增，且小于3． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《概率与数列的综合问题（含马尔科夫链问题的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三第二轮微专题复习讲义 朴·实·沉·毅 【二轮复习 提优微专题】 概率与数列的综合问题（含马尔科夫链问题） 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 掌握概率模型（如递推、转移矩阵）与数列（等差/等比、递推式）的转化逻辑，建立两类问题的联结框架。 2. 熟练运用马尔科夫链状态转移规律求解长期概率分布或极限状态，结合数列工具分析系统稳态特征。 3. 针对概率与数列交叉的实际问题（如动态系统、多阶段决策），构建解题路径并提升建模运算能力。 2、 重点难点 重点：概率递推式与数列通项公式的相互推导（如利用概率转移方程构造递推数列），以及马尔科夫链的稳态分布与数列极限的关联求解; 难点：复杂情境中概率转移规则的动态建模（如多状态、非齐次转移），以及概率与数列融合问题的参数推导与多步推演的准确性控制. 3、 学习过程 1. 基础知识必备 马尔科夫链 (1) 性质：对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn＋1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn－1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列{Xn}为马尔科夫链. (2) 原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t＝0时，位于点X＝i(i∈N*)一个时刻，它将以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xt＝i表示在时刻t该点位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得 P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1) 另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α， 代入上式可得Pi＝αPi＋1＋βPi－1. 2. 例题分析 角度一：概率与数列递推公式 例题1. （1）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，． (1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望； (2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)，证明见解析. 【解析】（1）由题可知是，的取值为， ； ；         故的分布列如下： 则. （2）由题可知，； 经分析可得： 若第轮没有得分，则； 若第轮得分，且第轮没有得分，则； 若第轮得分，且第轮得分，第轮没有得分，则； 故，故； 因为，故， 故 ； 故，且， 则， 所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大. （2）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误． (1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望； (2)设第次传球后，甲接到球的概率为， （i）试证明数列为等比数列； （ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）证明见解析；（ii）答案见解析. 【解析】（1）由题意知的取值为， ； ； ； 所以X的分布列为 0 1 2 所以； （2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则， 时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件， 于是有 ，即 ， 故数列是首项为，公比为的等比数列; （ii） ，所以 ， 当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数. 角度二：全概率公式与数列递推关系（马尔科夫链模型） 例题2. （1）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望； (2)证明：数列为等比数列． 【答案】(1)分布列见解析；期望；(2)证明见解析； 【解析】（1）根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2； 则，，； 可得X的分布列如下： 0 1 2 期望值为. （2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能： 第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同； 第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同； 又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为， 摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为； 因此可得； 所以， 因此可得， 即数列是公比为的等比数列. （2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 角度三：n重伯努利试验与数列递推关系 例题3. 某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败． 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. (1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； (2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 【答案】(1)； (2)7. 【解析】（1）依题意，的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. （2）令，若前位玩家都没有通过第一关测试， 其概率为， 若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试， 但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为， 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， 因此第位成员闯过第二关的概率， 由，得，解得，则，所以. 角度四：n重伯努利试验与数列递推关系 例题4. 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 【解析】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为， 所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为. （2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分； 分公司中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司中2人，分公司中3人. 所以的所有可能取值为1，2，3. ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 角度五：样本总数为n的超几何分布 例题5. 为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场．直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷．已知有名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名顾客中抽取名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为（不重复计算）． (1)若甲是这名顾客中的一人，且甲被抽中的概率为，求； (2)求使取得最大值时的整数． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：记 “甲被抽中”， “甲第次被抽中” ， 则， 则， 因为，解得． （2）解：， 记，即求在何时取到最大值． ， 解得，所以，当或时，取到最大值． 角度六：基于数学期望的递推关系 例题6. 甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中红球个数为． (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明：． 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)证明见解析 【解析】（1）经过1次交换后甲袋中红球个数为1，则需要甲袋中取出红球放入乙袋，而从乙袋中取出黑球放入甲中， 故； （2）可能取． 则， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 ； （3）由题可知， ， ， 又， ， . 3. 提升练习 (1) 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．的数学期望 【答案】ACD 【解析】由题意，，故A正确； ，，故B错误； 当时， 整理得， ， 故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确； ， ， ， 因， 所以， ， 故D正确， 故选：ACD. (2) 甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析(3) 【解析】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. （3）由（2）知，即，， 的取值范围为，所以 (3) 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. (1)求面试号码为2的学生来自A校的概率. (2)若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. (3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A， 将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件A表示A校有1名学生的面试号码为2， 其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排， 则事件A包含的样本点数为， 故． （2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得． 所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名． 记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C， 显然事件B，C互斥． 记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则． 当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校， 则． 当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校， 则． 所以． （3）由题知随机变量X的取值为，，…，， 则随机变量X的分布列为，，，…，N． 所以随机变量X的期望， ． 所以． (4) 有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 . 【答案】 【解析】记最多抛掷次时该游戏抛掷次数的数学期望为.易知，，. 考虑时的情形.最多投掷次，分以下三种情形讨论. （1）第一次投掷为反面，概率为，变为的情形，数学期望为； （2）第一、二次投掷均为正面，概率为，变为的情形，数学期望为； （3）第一次投掷为正面，第二次为反面，游戏停止，概率为.数学期望为2. 综上，知 . 因为，， 所以递推可得, 故答案为 (5) 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为． (1)求的概率分布列并求； (2)求证：（且）为等比数列，并求出（且）． 【答案】(1)分布列见解析；；(2)证明见解析；（且）. 【解析】（1）可能取0，1，2，3， 则； ； ； ， 故的分布列为： 0 1 2 3 ； （2）由题可知 ， ， ， 又 ， ， （且）， ，故（且）为等比数列， ， （且）. (6) 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束． ①求随机变量的分布列； ②证明：单调递增，且小于3． 【答案】(1)分布列见解析bbb(2)①分布列见解析 ；②证明见解析 【解析】（1）由题设，可取值为1，2，3， ，，， 因此的分布列为 1 2 3 （2）①可取值为1，2，…，， 每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：， 所以时，；当时， 故的分布列为： 1 2 3 … … ②由①知：（，）． ，故单调递增； 由上得，故， ∴， 故． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《离散型随机变量及其分布、期望、方差的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$