数列中的综合问题学案-2025届高三数学二轮复习

21 数列中的综合问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择、填空中考查等差、等比数列的判定及应用 （2）在解答题中考查解答题数列通项及求和的综合应用 2、易错易混点归纳 (1)不能准确识别分组类型：对于一些复杂数列，难以判断是按等差数列、等比数列还是其他规律分组。在分组后，容易错误计算每组的项数。对不同类型的分组，使用求和公式时可能混淆或用错条件。 (2)不能灵活变形：对于一些复杂形式的数列，不能根据通项公式的特点进行合理的裂项变形。在裂项求和时不能直接对所有项使用裂项公式，要单独考虑特殊项。 (3)在写Sn和qSn的表达式时，要保证等比数列的项数对齐 相减时符号出错：Sn - qSn相减时，各项的符号容易搞错。尤其是当等比数列的公比为负数时。 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.等差、等比数列的判断与证明 方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q（q≠0，an≠0） 通项公式法 an＝a1＋（n－1）d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1（n≥2） ＝an－1an＋1（n≥2，an≠0） 前n项和法 Sn＝an2＋bn （a，b为常数） Sn＝kqn－k （k≠0，q≠0，1） 2.数列求和的常用方法 （1）公式法；（2）分组求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法. 3.常见的裂项技巧 （1）＝－； （2）＝； （3）＝； （4）＝－. 【典例探究】 考点一　数列的判断与证明 学法指导：证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法 （1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数；②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）. （2）证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明（n∈N*）为一非零常数；②利用等比中项，即证明＝an－1an＋1（n≥2）. 【例1】设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 【答案】　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝，代入＋＝2可得，＋＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．又＋＝＝2，所以b1＝，故{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝＋(n－1)＝，则＋＝2，所以Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝ 考点二　分组转化法求和 学法指导：1.分组转化法求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差（等比）数列或可求前n项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 【例2】已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝2，－2an＋1＝＋2an. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝（－1）nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. 【答案】（1）因为－2an＋1＝＋2an， 所以（an＋1＋an）（an＋1－an－2）＝0， 因为{an}是各项均为正数的数列，所以an＋1－an＝2， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝2n（n∈N*）. （2）法一　bn＝（－1）nan＝（－1）n·2n， 则bn＋bn＋1＝（－1）n＋1·2， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b20 ＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（b19＋b20） ＝＝20. 　 　10个 法二　bn＝（－1）nan＝（－1）n·2n， 则b1＋b2＋b3＋…＋b20 ＝（b1＋b3＋…＋b19）＋（b2＋b4＋…＋b20） ＝－2×（1＋3＋…＋19）＋2×（2＋4＋…＋20） ＝－2×＋2× ＝－200＋220＝20. 考点三　裂项相消法求和 学法指导：裂项相消法求数列前n项和的策略 （1）基本步骤： （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【例3】（2024·温州统一测试）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6－a3＝56，S6－S3＝112. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（1）设等比数列{an}的公比为q（q≠0）， 由题意可知，a6－a3＝a3（q3－1）＝56，　① S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a4（1＋q＋q2）＝a3q（1＋q＋q2）＝112，　② 显然q≠1，an≠0， 则②÷①得，＝＝2，解得q＝2，将q＝2代入①式得，a3＝8， 所以an＝a3·qn－3＝8×2n－3＝2n. （2）由（1）可知，a1＝2，所以Sn＝＝＝2n＋1－2， 所以bn＝＝＝（－）， 所以Tn＝［（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）］＝（－）＝（1－）. 考点四 错位相减法求和 学法指导：错位相减法求数列{anbn}前n项和的策略 （1）适用条件：若{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn； （2）基本步骤： 【例4】在各项均为正数的数列{an}中，a1＝，且{2nan}是等差数列，{}是等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{an}的前n项和为Sn，证明：≤Sn＜2（n∈N*）. 【答案】（1）对等差数列{2nan}，其首项为21·a1＝1，设其公差为d，则2nan＝1＋（n－1）d，即an＝. 对等比数列{}，其首项为＝，设其公比为q，则＝qn－1，则an＝qn－1. 分别令n＝2，n＝3，得 解得或（舍去），故an＝（n∈N*）. （2）证明：Sn＝1×（）1＋2×（）2＋3×（）3＋…＋，　① Sn＝1×（）2＋2×（）3＋…＋（n－1）（）n＋n（）n＋1，　② ①－②得，Sn＝＋（）2＋（）3＋…＋（）n－＝－＝1－， 得Sn＝2－. 因为＞0，所以Sn＜2， 因为{an}各项均为正数，所以Sn≥S1＝a1＝.故≤Sn＜2. 【训练检测】 1..(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 【答案】(1)证明：由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n　①，所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)　②.②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化简得an＋1－an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知数列{an}的公差为1.由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋＝＝2－，所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 法二（裂项相消法）　bn＝（－1）n－1nan＝（－1）n－1n·4·（－3）n－1＝4n·3n－1， 令bn＝（kn＋b）·3n－[k（n－1）＋b]·3n－1， 则bn＝（kn＋b）·3n－[k（n－1）＋b]·3n－1＝3n－1[3kn＋3b－k（n－1）－b]＝（2kn＋2b＋k）·3n－1， 所以解得 即bn＝（2n－1）·3n－[2（n－1）－1]·3n－1＝（2n－1）·3n－（2n－3）·3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1×31－（－1）×30＋3×32－1×31＋5×33－3×32＋…＋（2n－1）·3n－（2n－3）·3n－1＝（2n－1）·3n－（－1）×30bn＝（2n－1）·3n＋1. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nan＋1＝2Sn＋n(n∈N*)． (1)求证：数列为常数列； (2)设Tn＝＋＋＋…＋，求Tn. 【答案】(1)证明：由nan＋1＝2Sn＋n，当n＝1时，a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，(n－1)an＝2Sn－1＋n－1，两式相减得nan＋1－(n－1)an＝2an＋1，即nan＋1＝(n＋1)an＋1，所以n(an＋1＋1)＝(n＋1)(an＋1)，所以＝.当n＝1时，＝2＝，上式也成立，所以数列为常数列． (2)由(1)得＝＝2，所以an＝2n－1.所以Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，则Tn＝＋＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋2×－＝＋2×－，所以Tn＝－－. 【预习要求】 1.认真阅读学案、选修2 P11-29，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出数列求和方法及使用条件； 3.能合本说出数列求通项、数列求和知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21 数列中的综合问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择、填空中考查等差、等比数列的判定及应用 （2）在解答题中考查解答题数列通项及求和的综合应用 2、易错易混点归纳 (1)不能准确识别分组类型：对于一些复杂数列，难以判断是按等差数列、等比数列还是其他规律分组。在分组后，容易错误计算每组的项数。对不同类型的分组，使用求和公式时可能混淆或用错条件。 (2)不能灵活变形：对于一些复杂形式的数列，不能根据通项公式的特点进行合理的裂项变形。在裂项求和时不能直接对所有项使用裂项公式，要单独考虑特殊项。 (3)在写Sn和qSn的表达式时，要保证等比数列的项数对齐 相减时符号出错：Sn - qSn相减时，各项的符号容易搞错。尤其是当等比数列的公比为负数时。 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.等差、等比数列的判断与证明 方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q（q≠0，an≠0） 通项公式法 an＝a1＋（n－1）d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1（n≥2） ＝an－1an＋1（n≥2，an≠0） 前n项和法 Sn＝an2＋bn （a，b为常数） Sn＝kqn－k （k≠0，q≠0，1） 2.数列求和的常用方法 （1）公式法；（2）分组求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法. 3.常见的裂项技巧 （1）＝－； （2）＝； （3）＝； （4）＝－. 【典例探究】 考点一　数列的判断与证明 学法指导：证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法 （1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数；②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）. （2）证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明（n∈N*）为一非零常数；②利用等比中项，即证明＝an－1an＋1（n≥2）. 【例1】设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 考点二　分组转化法求和 学法指导：1.分组转化法求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差（等比）数列或可求前n项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 【例2】已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝2，－2an＋1＝＋2an. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝（－1）nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. 考点三　裂项相消法求和 学法指导：裂项相消法求数列前n项和的策略 （1）基本步骤： （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【例3】（2024·温州统一测试）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6－a3＝56，S6－S3＝112. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 考点四 错位相减法求和 学法指导：错位相减法求数列{anbn}前n项和的策略 （1）适用条件：若{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn； （2）基本步骤： 【例4】在各项均为正数的数列{an}中，a1＝，且{2nan}是等差数列，{}是等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{an}的前n项和为Sn，证明：≤Sn＜2（n∈N*）. 【训练检测】 1..(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nan＋1＝2Sn＋n(n∈N*)． (1)求证：数列为常数列； (2)设Tn＝＋＋＋…＋，求Tn. 【预习要求】 1.认真阅读学案、选修2 P11-29，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出数列求和方法及使用条件； 3.能合本说出数列求通项、数列求和知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$