高一数学月考卷（苏教版2019，必修第二册第9～14章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9章~第14章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为  （   ） A． B． C． D． 5．某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄平均数的估计值为30 C．该场观众年龄众数的估计值为35 D．该场观众年龄60%分位数的估计值为34 10．已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 11．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 13．若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数 . 14．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第59百分位数； (3)已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 16．（15分） 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17．（15分） 已知在中，为中点，，，. (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18．（17分） 某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米. (1)如图1，P，Q分别在，上，且，求证：. (2)如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元. 问：①设，求的取值范围； ②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，） 19．（17分） 已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9章~第14章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为  （   ） A． B． C． D． 5．某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄平均数的估计值为30 C．该场观众年龄众数的估计值为35 D．该场观众年龄60%分位数的估计值为34 10．已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 11．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 13．若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数 . 14．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第59百分位数； (3)已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 16．（15分） 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17．（15分） 已知在中，为中点，，，. (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18．（17分） 某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米. (1)如图1，P，Q分别在，上，且，求证：. (2)如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元. 问：①设，求的取值范围； ②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，） 19．（17分） 已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9章~第14章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】， 其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【答案】A 【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，分别为：253（第1个），313（第2个），457（不在范围内，不符合要求），860（不在范围内，不符合要求），736（不在范围内，不符合要求），253（重复，不符合要求），007（第3个），328（第4个）， 故选：A． 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 所以，， 所以.故选：D. 4．已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为  （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意， 所以， 因为，又, 所以， 故选：C. 5．某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积）， 可得， 解得，即. 故选：D． 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若的解的个数有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理知，，即，解得， 易知，可得函数的图象如下： 由题意可得或，解得或. 故选：C. 7．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：B. 8．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得正方体的中心是内切球球心， 设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为， 因为正方体的棱长为2， 所以由勾股定理得，同理可得， 则，故是等边三角形， 得到，则，如图，连接， 易得，，由勾股定理得，则， 因为，所以， 所以， 则， 而由题意得正方体内切球半径，正方体内切球被平面所截， 得到的截面是一个圆半径为r的圆， 由勾股定理得， 由圆的面积公式得面积为，故B正确.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄平均数的估计值为30 C．该场观众年龄众数的估计值为35 D．该场观众年龄60%分位数的估计值为34 【答案】ACD 【解析】∵， ∴，A选项正确； ，B选项错误； 由频率分布直方图可知该场观众年龄众数的估计值为35，C选项正确； ∵，， ∴该场观众年龄60%分位数的估计值为， ∴， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 10．已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 【答案】BC 【解析】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角， 易知，因此角为钝角，可得A错误； 对于B，易知，又，可得，即B正确； 对于C，由，可得的面积为，即C正确； 对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误.故选：BC 11．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 【答案】ACD 【解析】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以，故A正确； ②当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点)上时，则，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于B，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误； 对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确； 对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【解析】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 13．若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数 . 【答案】2 【解析】因为是关于的一元二次方程的一个虚根， 所以.故答案为：2 14．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则 . 【答案】 【解析】已知，则， ，则， 所以，则， 则. 由，得， . 设.因为， 所以，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第59百分位数； (3)已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 【解析】（1）由题意，解得；（3分） （2）由直方图知，前3组数的频率为 前4组数的频率为， 因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x， 则，解得；（8分） （3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以， 总方差为. （13分） 16．（15分） 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得；（4分） （2）， 所以；（9分） （3）因为， 所以，（12分） 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为．（15分） 17．（15分） 已知在中，为中点，，，. (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【解析】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得，（3分） 所以， . （5分） （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得，（7分） 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （10分） （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. （15分） 18．（17分） 某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米. (1)如图1，P，Q分别在，上，且，求证：. (2)如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元. 问：①设，求的取值范围； ②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，） 【解析】（1）延长到，使，连接， 因为为正方形，所以，， 所以与全等，所以，， 因为，所以，即， 所以与全等，所以，（3分） 所以， 所以，又， 所以；（5分） （2）①因为，所以， 当点与点重合时，最小，，所以， ， 当点与点重合时，最大，，所以，（8分） 所以的取值范围为；（9分） ②设，由①知， ，， ，（10分） 设， 因为，所以，（12分） 又， 所以，（13分） 因为在上单调递增， 所以当时，最小，此时，即，（15分） 所以的最小值为， 因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元， 所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.（17分） 19．（17分） 已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 【解析】（1），，是等边三角形． 又，，即，． ，，由勾股定理得，． 又BC，面，，面．（4分） （2）过等边三角形的外心作直线面， 设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于． 设球的半径为R，，则，，解得，．（8分） （3）由（1）得，面，， 而在中，，得，， 由题意，所以，（10分） 所以， 设到面的距离为，则，（13分） ，，得． 在中，由余弦定理，得．（14分） 设CF与平面所成角为， 则， ，，． （17分） 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D C D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由题意，解得；（3分） （2）由直方图知，前3组数的频率为 前4组数的频率为， 因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x， 则，解得；（8分） （3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以， 总方差为. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得；（4分） （2）， 所以；（9分） （3）因为， 所以，（12分） 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得，（3分） 所以， . （5分） （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得，（7分） 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （10分） （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）延长到，使，连接， 因为为正方形，所以，， 所以与全等，所以，， 因为，所以，即， 所以与全等，所以，（3分） 所以， 所以，又， 所以；（5分） （2）①因为，所以， 当点与点重合时，最小，，所以， ， 当点与点重合时，最大，，所以，（8分） 所以的取值范围为；（9分） ②设，由①知， ，， ，（10分） 设， 因为，所以，（12分） 又， 所以，（13分） 因为在上单调递增， 所以当时，最小，此时，即，（15分） 所以的最小值为， 因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元， 所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.（17分） 19．（17分） 【解析】（1），，是等边三角形． 又，，即，． ，，由勾股定理得，． 又BC，面，，面．（4分） （2）过等边三角形的外心作直线面， 设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于． 设球的半径为R，，则，，解得，．（8分） （3）由（1）得，面，， 而在中，，得，， 由题意，所以，（10分） 所以， 设到面的距离为，则，（13分） ，，得． 在中，由余弦定理，得．（14分） 设CF与平面所成角为， 则， ，，． （17分） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！