精品解析：江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

南京市励志高级中学2024-2025年度高一年级第二学期 第三次调研考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 6 C. 5 D. 1或5 6. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ） A. B. C. D. 11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若向量满足，且的夹角为，则__________. 13. 在中，内角所对的边分别为，，则______． 14. 已知，且满足，，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”. （1）若，证明：. （2）已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：. （3）在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学2024-2025年度高一年级第二学期 第三次调研考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由交集的定义即可求解. 【详解】不等式，可解得：，则； 综合可得或，而，因此，． 故选：B． 2. 已知全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质确定集合，再求交集即可. 【详解】易知.所以. 故选：C. 3. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式即可得到最值. 【详解】因为，则，当且仅当时等号成立. 故选：B. 4. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意可得复数（为虚数单位）的虚部为. 故选：B 5. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 6 C. 5 D. 1或5 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数的概念可得结果. 【详解】由复数是纯虚数，则，解得：. 故选：C. 6. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】若，则，即， 向量，则，解得. 故选：A 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值. 【详解】因为； 又. 所以，. 所以. 故选：B 8. 在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断为等腰梯形，得，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得其外接圆半径. 【详解】 如图，梯形内接于圆，则， 因，则， 故梯形为等腰梯形，则， 所求即的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得 ， 则，又由正弦定理，，即． 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】 连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由是三角形的一个内角可得的范围，即可得A、B、C选项，结合辅助角公式可得D. 【详解】是三角形的一个内角，故，则， 可能小于0，可能小于0， ，则，则可能小于0. 故选：BCD. 11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由可判断；对于B，由已知结合余弦定理可得，由正弦定理可得，结合三角形内角和可判断；对于C，由三角形内角和可判断；对于D，由BC结论可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为 由余弦定理， 所以， 整理得， 由正弦定理可得，即， 所以，因为为的内角， 所以或， 当时，； 当时，，所以，故B错误； 对于C，由B可知，当时，，所以； 当时，所以，所以， 故此时为等腰直角三角形，，所以，故C正确； 对于D，由B知，，所以， 由C知，，所以，所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若向量满足，且的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为：. 13. 在中，内角所对的边分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，计算可得，可求. 【详解】因为，所以由正弦定理可得． 又，所以，故．又因为，所以． 故答案为：. 14. 已知，且满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解. 【小问1详解】 设点，则,. 因为， 所以，即得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由题意得， 所以，. 因为，所以， 解得. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 18. 已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，利用两角差的正弦公式即可求得； （2）由（1）解出，由均为锐角以及的取值情况，解出的取值范围，即可求得的值. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 则，又，所以，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为，，，所以， 由（1）知，所以， 则，所以. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”. （1）若，证明：. （2）已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：. （3）在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的“协方差”的定义即可证明； （2）根据向量的夹角公式即得，利用同角三角函数的基本关系得代入化简得即可得证； （3）由（2）得，由得，设，则，利用正弦定理求解，再根据同角三角函数的基本关系得，最后利用二倍角即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，由题意得， 所以，即， 因为为非零向量，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 同理， 因为， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 设，则， 在中，由正弦定理，得，解得,由，，解得， 故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $