精品解析：2025年四川省达州市九年级教育质量监测数学试题（中考适应性试题）

2025年四川省达州市九年级教育质量监测数学试题（中考适应性试题） 温馨提示： 1．答卷前，请务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在答题卡上． 2．每小题答案请写在答题卡上对应题号的位置． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题（每小题4分．共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、单项式的乘法、幂的乘方等知识，根据相关运算法则计算即可． 【详解】A、，故选项正确，不符合题意； B、，故选项正确，不符合题意； C、，故选项不正确，符合题意； D、 ，故选项正确，不符合题意； 故选：C 3. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即 故选：D． 4. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，过点作，得出，再根据两直线平行内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， 故选：A 5. 某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A. 平均数是 B. 中位数是3 C. 众数是2 D. 方差是4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数及方差，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键；根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案． 【详解】解：解：∵一共有10人， ∴平均数为，故A选项错误，不符合题意； 最中间的数是第5个和第6个数的平均数， ∴中位数是；， ∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意； ∵每天使用3元零花钱的有4人，最多， ∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意； 方差为： ，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为x，金价为y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于的x二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意： ，   故选：C． 7. 如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．延长交格点，连接，证明是直角三角形，，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图：延长交格点，连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线没有交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况即可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的公式求出平移后的解析式便可； ④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出即为其他三边和的最小值． 【详解】解：①把代入中，得， ∵， ∴此方程无实数根，则抛物线与直线有没有交点，故①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为， ∴点关于的对称点为，为顶点 则 又∵， ∴故②结论正确； ③将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，故③结论不正确； ④当时，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵点关于直线的对称点为，顶点为． ∴，， 作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，延长交于点，则， 如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定， ∴此时，四边形周长最小，为： ，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及作对称点、处理四边形周长的最小值． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式以及二次根式成立的条件．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：1或3． 14. 如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与AB交于点，连接EF．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，过作于，由，得到，，设．则，，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 详解】解：如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴，． 设．则，． ∵， ∴． 则． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴．即． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当与点重合时，点与等边三角形的点重合，当点开始运动时，，故点在线段上运动，根据垂线段最短原理，当时，有最小值，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】当与点重合时，点与等边三角形的点重合， 绕点顺时针方向旋转得到， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形，点与点重合时，即为， ，， ， ，， 点在直线上运动， 根据垂线段最短，当时，有最小值，如图，当旋转到时，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则，解不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 17. 先化简，再求值，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的混合余数是解题的关键．先将原式进行化简，再代入即可． 【详解】解： 原式 18. 清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息： ．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品； ．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表． 词语频数人数 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风 李白 72 24 28 6 26 8 杜甫 19 4 6 10 30 14 注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷． 根据所给信息，回答下列问题： （1）补全条形图； （2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______； （3）学校诗词大比拼筛选出1名男生，3名女生；准备从这4人中任选2人参加达州诗词大会．请用列表或画树状图的方法，求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）见解析 （2）春风；12；秋风 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，频数（率分布图和用样本估计总体，熟练掌握各种统计图及统计分析数据的计算方法是解题的关键． （1）根据二人作品中与“风”相关的词语频数统计表即可补全条形统计图； （2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；用春风出现的频数，即可得到答案；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语； （3）根据题意列表得到总的情况数，再得到是1男1女的情况数，利用概率公式求解即可．． 【小问1详解】 解：补全条形图如图． 【小问2详解】 解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风； （首）； 杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风； 故答案为：春风；12；秋风； 【小问3详解】 列表如下， 男 女 女 女 男 男女 男女 男女 女 男女 女女 女女 女 男女 女女 女 男女 女女 女女 女女 总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，； 恰好有1名男生和1名女生的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出． （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是． （3）设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，以及一次函数与坐标轴交点问题，轴对称性质，数形结合是解题的关键； （1）根据平移的性质，作出； （2）根据旋转的性质，作出 （3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点， ∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小， ∴点即为所求； 设直线解析式为，代入， 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 故答案为：． 20. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元 （2）购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程、分式方程的应用， （1）设“迅捷”模型进价为每个x元，可表示“灵巧”模型进价，再根据购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个，列出分式方程，求出解并检验即可； （2）购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【小问1详解】 解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元， 依题意得， ∴ 解得或（舍去）． 经检验，是原分式方程的解．． 答：“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元． 【小问2详解】 ∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为 ． ∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的， ， 解得：． ，． ∴当时，（元）， 即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 延长，交于点， 则：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的的取值范围______． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）四边形的面积为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质． （1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得D点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中， ， 反比例函数的解析式为； 过点D作轴，过点C作轴， ∵ ∴ ∵， ， ， ， ∴ 将代入中， ， 解得：， ， 将，代入中， 可得， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， E点坐标为， ， 在中，当时，， 解得：， A点坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方， ∴即的x的取值范围是或． 故答案为：或或． 23. 如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）延长相交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过得到，即可证明是的切线； （2）连接OC、OF，通过平行得到，根据得出，在中求得，中，利用三角函数即可求得的值． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示， ， ，， ，， ，， ，即， ， 又∵是的半径， 是的切线 【小问2详解】 解：连接、，如图所示， ， ， ， ， ∴ 设半径为，则， 中，， ，解得， ， 是切线， ， ， 设，则 即， ， 【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． （1）求拋物线的函数表达式． （2）若，求的值． （3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）抛物线解的函数表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； 【小问3详解】 解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 25. 探究与思考 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点． （1）【特例感知】 如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______； （2）【思考探究】 如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； （3）【类比迁移】 如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； （4）【联系拓广】 如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】（1） （2）；见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及已知条件证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （2）猜想，如图在边上取一点M使，则．再根据菱形的性质证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图，延长，使．再证明是等边三角形，可得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （4）当时，在上取一点，使得，则是等边三角形．先证明得出，进而根据证明，根据相似三角形的性质，即可求解，，当时，同理根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵当四边形是正方形，． ∴． ∴． 又∵． ∴． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：猜想，证明如下： 如图在边上取一点M使，则． ∵四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长，使． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 【小问4详解】 如图，当时，在上取一点，使得， ∵平行四边形中，是边的中点， ∴，， ∴， 又∵，则， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形． ∴， ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 解得：， ∴， 如图所示，当时，则 过点F作，垂足为J，则， ． ∴， ． ∵ ∴即， ∴, ∵． ∴ ．即， ∴， ， ∴． ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，分类讨论，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省达州市九年级教育质量监测数学试题（中考适应性试题） 温馨提示： 1．答卷前，请务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在答题卡上． 2．每小题答案请写在答题卡上对应题号的位置． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题（每小题4分．共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下面计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A. 平均数是 B. 中位数是3 C. 众数是2 D. 方差是4 6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为． ①拋物线与直线没有交点； ②若点、点、点该函数图象上，则； ③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式：________． 12. 若式子有意义，则的取值范围是______． 13. 若关于分式方程无解，则的值为______． 14. 如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与AB交于点，连接EF．若，则的值为______． 15. 如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为______． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． 17. 先化简，再求值，其中满足． 18. 清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息： ．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品； ．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表． 词语频数人数 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风 李白 72 24 28 6 26 8 杜甫 19 4 6 10 30 14 注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷． 根据所给信息，回答下列问题： （1）补全条形图； （2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______； （3）学校诗词大比拼筛选出1名男生，3名女生；准备从这4人中任选2人参加达州诗词大会．请用列表或画树状图的方法，求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出． （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是． （3）设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______． 20. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的的取值范围______． 23. 如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）延长相交于点，若，求的长． 24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． （1）求拋物线的函数表达式． （2）若，求的值． （3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 25. 探究与思考 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点． （1）特例感知】 如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______； （2）【思考探究】 如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； （3）【类比迁移】 如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； （4）【联系拓广】 如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $