第五章 图形的轴对称 单元检测卷B 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷B 第五章 图形的轴对称 考试范围：北师大2024版第五章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．春节于年月日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面春节的相关剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ） A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 3．如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，面积是12，的垂直平分线分别交边于点E，F．若点D为中点 ，点P为线段上一动点，则周长的最小值（   ） A．8 B．3 C．6 D．4 5．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 7．如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 12．在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点．请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与三角形的一边平行，则的度数为 ． 13．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在，的位置，若，则等于 ． 14．如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 15．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 16．如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题6分）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 18．（本题6分）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 19．（本题6分）如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 20．（本题8分）综合与探索 如图，在中，，，点P从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段的长度是否保持不变？请说明理由． 21．（本题8分）【操作探究】（1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度 22．（本题8分）学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：，求作：的平分线． 作法：Ⅰ以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点 Ⅱ分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点 Ⅲ画射线，则射线即为所求． (1)如图1，射线就是的角平分线的依据是______． A．SAS   B．ASA   C．SSS   D． (2)下面是小明同学给出的方法： 如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与分别交于点E，F，连结交于点P，画射线，则平分 你认为小明的这种作角平分线的方法______． A．正确   B．不正确 (3)在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线： 如图3，在已知的边上分别取，再分别过点C，D作的垂线，两垂线相交于点P，画射线，则平分 请你帮这位同学证明：平分 23．（本题10分）如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； (2)①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (3)在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 24．（本题10分）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】（2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】（3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 25．（本题10分）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】（1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】（3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A C D C B D C 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示，    一共有3种涂法， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，由折叠可得：，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 由折叠可得：， ， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：． 5．C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明得到，进而可证明垂直平分，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴正确的有②③④， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了最短距离问题、三线合一、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据点A与点C关于对称可得，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此即可求得周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 9．D 【分析】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线性质求出，，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出①；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出②④；由得到，然后根据即可得到，进而可判断③；证得，得到，，即可求出⑤，即可求解． 【详解】解：如图，过作于，作，交于，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，④正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③错误， ， ， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故⑤正确． 正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的特，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 10．C 【分析】根据折叠的性质得到，，等量代换得到，可得，即可判断①；假设，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等，即可判断②；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，即可判断③；假设，得到，由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于，即可判断④． 【详解】解：如下图， 将沿翻折，得到， ∴， ∵再将沿翻折，使得与重合， ∴， ∴， ∴，故①正确； 假设，则有， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∴，而不一定等于， ∴与不一定全等；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 假设，则， ∵在中，，为中点， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，而不一定等于， ∴不一定垂直于，故④错误． 综上所述，①③是真命题． 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质是解题的关键． 11． 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 12．或或 【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 分，，三种情况，利用折叠性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴， 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴； 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 13．50 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．根据长方形的特点得到，从而，由折叠有，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴． 故答案为：50． 14． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点E，交于点F，当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且时，最小， 过点B作于点E，交于点F，如图所示： ∴当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 15．4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 16．或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， 综上所述，点Q的运动时间为或 故答案为：或． 17．见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作图． 【详解】解：如下图所示， （答案不唯一） 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，进而得出，然后根据可证； （2）先求出，由得，进而可求出． 【详解】（1）∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)线段的长度保持不变，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 21．（1），理由见解析（2）理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线性质、折叠性质的综合应用，解题关键是利用这些性质找出角之间的等量关系来求解数量关系和位置关系． （1）利用长方形对边平行性质，得到 ，再结合折叠后对应角相等，即 ，通过等量代换得出结论 ． （2）先依据（1）的结论 ，再根据长方形对边平行推出 ，然后结合两次折叠中角的平分关系，得到 ，最后根据内错角相等判定关系． （3）设 ，根据已知条件表示出 ，利用（1）中角的关系及平行线同旁内角互补列出方程求解 ，再根据折叠性质求出 ，最后利用平行线性质得出答案 ． 【详解】（1）．理由： ∵四边形是长方形， ∴． ∴ ． ∵纸片以为折痕折叠， ∴ ． ∴ ， （2） ．理由： 由（1）已证得 ． ∵ ， ∴ ， ∵纸片以为折痕折叠，纸片沿折叠， ∴ ， ． ∴， ∴ （3）设， 的度数比的度数大， ∴． 由（1）可知 ∵． ∴ ． ∵． ∴ 即 解得，即． ∵纸片以为折痕折叠， ∴， ∵， ∴ ． 22．(1)C； (2)A； (3)见解析 【分析】连接，利用证明即可； 由作法得则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分； 由作法得，则可判断，从而得到平分； 【详解】（1）解：连接， 由作法得， ， ， ； 故选：C； （2）由作法得，可知 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， 即平分 故选：A； （3）证明：由作法得， ， ， ， 平分 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图作已知角的角平分线是解题的关键． 23．(1)， (2)①；②， (3)或2 【分析】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，注意分类讨论． （1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可表示出； （2）①根据题意分三种情况：点P在上运动和点P在上运动，以及点在上，然后根据三角形面积公式求解即可； ②首先画出图形，然后根据题意得到，，然后根据题意列方程求出，然后根据三角形面积求出的面积为； （3）根据题意分三种情况讨论：点P在上时，点P在上和点P在上，经分析排除点P在上和点P在上，然后列方程求解． 【详解】（1）解：∵点以的速度从点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： 此时， ∴ 综上所述，； ②如图所示，过点P作交于点E，则，    ∵是以为底的等腰三角形， ∴ ∵， ∴， 可得四边形是长方形， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴ ∴； （3）解：当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离， ∴点P到的距离点P到的距离，点P到的距离点P到的距离， ∴不符合题意； 当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离 根据题意得，或 解得或； 当点P在上时，即， ∵，故点P到和的距离均小于点P到的距离为长， ∴不符合题意； 综上：点P到长方形的相邻两边的距离相等时，或2． 24．（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 25．（1）；（2） ；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$