第五章 图形的轴对称 单元检测卷A 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷A 第五章 图形的轴对称 考试范围：北师大2024版第五章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（   ）． A．长方形有且只有一条对称轴 B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C．平行四边形的对称轴是对角线 D．平面内两条相交直线是轴对称图形 3．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．30 B．24 C．15 D．10 4．如图，在中，平分，若，，则的比为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，若的周长为24，的周长为12，则（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 6．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 7．按如图方式折叠一张长方形纸条，（   ） A． B． C． D． 8．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则图中的的度数是（  ） A． B． C． D． 9．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 ． 12．如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件 ，使． 13．如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 14．如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ． 15．在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 16．已知长方形纸片，、分别是、上的一点，点在边上，连接，，将沿所在的直线对折，点落在点处，沿所在的直线对折，点落在点处．如图，当与重合时，则 ；如图2，当重叠角时，则 ． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题4分）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 18．（本题8分）下面是小东设计的尺规作图过程： 已知：如图，在中，． 求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点； （2）分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点； （3）画射线，交于点．所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：过点作于点，连接． 在和中， ． ______________（_______） ， ． ， （_______） 19．（本题6分）已知：如图，，，求证：平分． 20．（本题6分）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（本题6分）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 22．（本题8分）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 23．（本题10分）已知：在中，过A点作直线，过点作于点，过点作于点 (1)直线与线段的无交点时，如图1，线段之间的数量关系为________； (2)直线与线段有交点（点除外），其余条件不变时，请你在备用图中画出图形，猜想线段之间的数量关系，并证明你的纯论． 24．（本题12分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 25．（本题12分）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D C D D C B C 1．D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查轴对称图形的定义和性质，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的盖世件，根据轴对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】A、长方形有两条对称轴，此项错误； B、过线段的中点，且垂直于线段的直线才是线段的对称轴，此项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，所以没有对称轴，此项错误； D、平面内两条相交直线是轴对称图形，此项正确． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了尺规基本作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 过D点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H点，如图， 由作图可知：平分， 又∵，， ∴， ∴的面积． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积．先根据角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到和的距离相等，然后根据三角形的面积公式得到． 【详解】解：∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴， ∴， 则 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了角平分的性质，理解角平分线的性质是解答关键． 根据角平分线的性质得到，，再利用三角形周长来求解． 【详解】解：中，，的平分线交于点，过点作于点， ，， ∴． 的周长为12， ， 即． 的周长为24， ， 即， ， ． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴ ； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 根据长方形的性质可求的度数，再利用翻折的性质和平角定义即可求出答案． 【详解】解： 如图所示，根据长方形的纸条可知，对边平行， 根据翻折的性质可得， ， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．根据平行线的性质，得到，，由折叠的性质可知，图图，即可求解． 【详解】解：，， ，， 由折叠的性质可知，图图， ， 故选：C． 9．B 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是是线段的垂直平分线，可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值． 故选：C． 11．钝角三角形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置是解题的关键． 根据锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置，即可解答． 【详解】解：如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 12．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据已知条件，，可得，再添加，可以判定两三角形全等． 【详解】解：欲证，已有条件：， ， ， ， ， 所以补充便可以根据证明． 故答案为：（答案不唯一）． 13．8 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种； 故答案为：8． 14．15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 15．8 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 16． 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据，即可得到； （2）令，，结合图形，推导出x与y的和即可求得答案． 【详解】解：由折叠的性质得，， ， ， 令，， ， ，， ， 即， ∴， ∴； 故答案为：，． 17．见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形即可． 【详解】解：（1）利用方格，作点A关于直线的对称点；（2）用同样的方法作出点，D关于直线的对称点，；（3）连接，得到的四边形就是所要作的图形． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据过程即可补全图形； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点D作于点E， 连接，． 在与中， 在和中， ． ∴（全等三角形对应角相等）． ∵， ∴． 又∵， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 19．见解析 【分析】本题考查了平行线性质，等边对等角；先利用平行线的性质得到，根据等边对等角得出，则利用等量代换得到，于是可判断平分． 【详解】证明：∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴平分． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解： ∵，， ∴， 则． 21．(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 22．(1)是的平分线，见解析 (2)12 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键； （1）利用证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分； （2）解：过点作于点， 平分， ， ， ． 23．(1) (2)或，见解析 【分析】（1）由于点E，于点D，得，因为，所以，而，即可根据“AAS”证明，得，，则，于是得到问题的答案； （2）由于点E，于点D，得，而，可证明，因为，所以，则，，当，；当，． 此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明是解题的关键． 【详解】（1）解：∵于点E，于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）或， 证明：∵于点E，于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 如图2，直线与线段有交点，且， ∵，且， ∴； 如图3，直线与线段有交点，且， ∵，且， ∴， 综上所述，或． 24．(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键． （1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解； ②结合①的计算得到，，则，有即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴； ②根据上述过程可得，， ， ∵， ∴， 解得，， ∴． 25．(1)见解析 (2)①，见解析；②互相垂直 【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证； （2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行； ②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 如图2，作于G，于H， 由（1）知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接． ∵，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）， ∵F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$