7.5正态分布导学案-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布导学案学生版 教学目标：1.借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；了解正态分布在实际生活中的意义和作用。 2.掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质；了解正态分布的均值、方差及其含义。 3.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率。 教学重、难点： 重点：正态分布函数和正态曲线的性质。 难点：会求随机变量在特殊区间内的概率。 教学过程 一、新知探究 探究一：正态曲线与正态分布 1．正态密度曲线定义： 简称 ． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 ，特别地，当 时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 探究二：正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在 轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为 3．曲线是单峰的，它关于直线 对称，在 处达到峰值 (最高点) 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着μ的变化而沿 平移，如图① 7．当μ一定时，曲线的形状由 确定，σ较小时曲线 ，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时， ，如图②. 正态分布的期望和方差 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的 离散程度； 探究三：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 注意：①尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． ②正态分布的意义 （１）在生产中，各种产品的质量指标一般都服从正态分布； （２）在测量中，测量结果、测量的随机误差都服从正态分布； （３）在生物学中，同一群体的某种特征都服从正态分布； （４）在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布。 二、典例解析： 例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30 min，样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X,Y的分布中的参数; (2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 解: 跟踪训练： 1．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．随机变量．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 4．（多选）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．（多选）化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 三、巩固提升： 例2：某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 跟踪训练： 1．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 2．对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（    ） 参考数据：若随机变量，则，. A． B． C． D． 3．已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（    ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A．0.57 B．0.75 C．0.80 D．0.84 4．（多选）早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若随机变量，则 A．曲线关于直线对称 B．曲线在处达到峰值 C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高” D．若，则 5．若，则 .(参考数据:若,则 .) 四、达标检测： 1．已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 4．（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知随机事件的概率不为0，若和相互独立，则和一定不互斥 B．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为1.4 C．数据的平均数为2，方差为12，则 D．设随机变量服从正态分布，则 5．（多选）下列关于随机变量的说法正确的是（    ） A．若服从正态分布，则 B．服从两点分布，且，设，那么 C．若服从超几何分布，则期望 D．若服从二项分布，则 6．已知随机变量，若，则的值为 ；若，，则 ． 7．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 8．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 9．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.5正态分布导学案教师版 教学目标：1.借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；了解正态分布在实际生活中的意义和作用。 2.掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质；了解正态分布的均值、方差及其含义。 3.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率。 教学重、难点： 重点：正态分布函数和正态曲线的性质。 难点：会求随机变量在特殊区间内的概率。 教学过程 一、新知探究 探究一：正态曲线与正态分布 1．正态分布密度曲线的定义：我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 探究二：正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，在x=μ处达到峰值 (最高点) 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图① 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 正态分布的期望和方差 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的 离散程度； 探究三：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 注意：①尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． ②正态分布的意义 （１）在生产中，各种产品的质量指标一般都服从正态分布； （２）在测量中，测量结果、测量的随机误差都服从正态分布； （３）在生物学中，同一群体的某种特征都服从正态分布； （４）在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布。 二、典例解析： 例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30 min，样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X,Y的分布中的参数; (2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6; 随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2). (2)X和Y的分布密度曲线如图所示, (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y ≤ 38), P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34). 所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车。 跟踪训练： 1．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则. 故选：B. 2．随机变量．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以， 故选：C 3．设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确. 故选：D. 4．（多选）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布所以，则，故A错误； 对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确； 对于C，    根据正态分布曲线，显然成立，故C正确； 对于D，由，则，所以，故D正确； 故选：BCD. 5．（多选）化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 【答案】AC 【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误； 故C正确; 而对于任何正态分布都有 故，故D错误. 故选：AC. 三、巩固提升： 例2：某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【答案】(1) (2)分布列见解析，元 【详解】（1）依题意，， 所以，则，所以，， 故 . （2）参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为 的所有可能取值分别为、、、， ，， ，， 所以的概率分布列如表所示： 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元.: 跟踪训练： 1．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 2．对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（    ） 参考数据：若随机变量，则，. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 所以 ， 即这名学生数学成绩在分之间的概率约为. 故选：A 3．已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（    ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A．0.57 B．0.75 C．0.80 D．0.84 【答案】C 【详解】， ， 故所求概率， 故选：C. 4．（多选）早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若随机变量，则 A．曲线关于直线对称 B．曲线在处达到峰值 C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高” D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，所以曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，因为当时，单调递增，则单调递增， 当时，单调递减，则单调递减，故曲线是单峰的. 又，则，因此，当且仅当时，等号成立，即曲线在处达到峰值，故B错误； 对于C，由选项B可知，当越小时，峰值越大，则曲线越“瘦高”，当越大时，峰值越小，则曲线越“矮胖”，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD. 5．若，则 .(参考数据:若,则 .) 【答案】 【详解】 故答案为： 四、达标检测： 1．已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C 2．在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为学生成绩服从正态分布，且， 所以，，， 所以从参加这次考试的学生中任意选取名学生，其成绩不低于的概率是， 则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是， 故选：B. 3．某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【答案】C 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 4．（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知随机事件的概率不为0，若和相互独立，则和一定不互斥 B．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为1.4 C．数据的平均数为2，方差为12，则 D．设随机变量服从正态分布，则 【答案】AD 【详解】对于A中，由随机事件的概率不为0，即， 若事件和互斥，则， 若事件和相互独立，则， 所以事件和相互独立，则事件和一定不互斥，所以A正确； 对于B中，将代入回归方程为，可得， 则样本点的残差为，所以B不正确； 对于C中，数据的平均数为2，方差为12， 可得且， 可得， 所以，所以C错误； 对于D中，由随机变量服从正态分布，可得 则，所以D正确. 故选：AD. 5．（多选）下列关于随机变量的说法正确的是（    ） A．若服从正态分布，则 B．服从两点分布，且，设，那么 C．若服从超几何分布，则期望 D．若服从二项分布，则 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的性质和方差的性质即可判断选项A；根据两点分布及随机变量间的对应关系即可判断选项B；根据超几何分布的期望公式即可判断选项C；二项分布的分布列即可判断选项D. 【详解】对于A，若服从正态分布，则，由方差的性质可知：，故选项A错误； 对于B，若服从两点分布，且，所以. 又，所以，故选项B正确； 对于C，若服从超几何分布，则根据超几何分布的期望公式可知：，故选项C正确； 对于D，若服从二项分布，则由二项分布的，故选项D正确. 故选：BCD. 6．已知随机变量，若，则的值为 ；若，，则 ． 【答案】 ； . 【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴， 而， 由正态分布的对称性可知，解得. ， 又直线为正态曲线的对称轴，所以， 所以， 所以. 故答案为：；. 7．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 【答案】4 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，， ， 设第次抽到优等果的概率， 恰好抽取次的概率， 所以， 设 ①，则 ②， 两式相减得： 所以， 由，即， 又，， 所以的最大值为4． 故答案为：4． 8．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，. 【详解】（1）由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. （2）①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 9．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)的分布列见解析； (3) 【详解】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$