专题08：第23章概率初步章节复习提升（十大考点） 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题08 第23章概率初步章节复习提升 考点1：事件的分类 1.（2023闵行区八年级期末）下列成语，是必然事件的是（　　） A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升 2. （2024进才实验月考）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 在十进制中， C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 任意一个三角形的内角和为360° 3.（2023向明初级中学期末）在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（    ） A．这两个图形都是中心对称图形 B．这两个图形都不是中心对称图形 C．这两个图形都是轴对称图形 D．这两个图形都是轴对称图形又是中心对称图形 4.（2024金山区八年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 5.（2024莘松中学八年级期末）一个不透明的盒子里装有3个白球、2个黑球，这些球除颜色外其余都相同．在摸球的过程中，请用语言描述： （1）一个随机事件； （2）一个不可能事件； （3）一个必然事件． 6.（2024莘松中学八年级期末）根据甲，乙两个事件发生的概率，解答下列相关问题： 甲事件：在一个口袋中放入10个除颜色外形状大小都相同的球，其中9个红球，一个白球．则摸到白球的事件属于　　． A．必然事件；B．不可能事件；C．随机事件． 乙事件：如图是一个被等分为6个扇形的转盘，2个扇形涂成红色，一个扇形涂成蓝色，其余三个扇形涂成白色，小颖和小琪想通过这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖贏；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢，你认为这个游戏公平吗？并说明理由． 考点2：事件发生的可能性大小 7.（2023春奉贤区八年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（  ） A．一定是正面 B．是正面的可能性较大 C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一样大 8．（2024宝山区校级练习）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（    ） A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定 9．（2024上海课时作业）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 考点3：概率的意义与性质 10.（2024上海课时作业）某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（    ） A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小 C．定海区明天将有85%的时间下雨 D．定海区明天将有85%的地区下雨 11．（2024上海课时作业）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是______． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 12．（2021春•杨浦区校级期末）下列说法：①“明天的降水概率为”是指明天有的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次　　 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 13．（2023春•浦东新区校级期末）确定事件的概率是　　． 14.（2024上海课时作业）下列说法错误的是（　　） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 考点4：频率与概率关系 15.（2023松江区期末）已知数据:，其中无理数出现的频率是 ． 16.（2024上海课时作业）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 17.（2024嘉定区八年级统考期末）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 18.（2023下·八年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 19．（2024上海课时作业）在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……，如此大量摸球实验后，小新发出其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%．对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球．其中说法正确的是（  ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 考点5：由频率估计概率 20.（2024上海课时作业）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 21.（2024上海课时作业）为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上条，若其中带有标记的鱼有条，那么估计湖里大约有__________条鱼． 22.（2023春黄浦区八年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据: 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 64 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.64 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计: 当 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 ) (2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 ) 23.（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 考点6：概率公式 24. （2024上海课时作业）掷一枚硬币，正面朝上的概率是_____． 25. （2024上海课时作业）布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黑球的概率为______． 26．（2024上海课时作业）经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（    ） A． B． C． D． 27. （青浦2023期末15）从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有 两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被2整除的概率是　 　． 28.（金山2024期末16）从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是 ． 29．（2024上海课时作业）某学校成立了、、三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（ ） A． B． C． D． 30. （2024上海课时作业）木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字、、、． （1）从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是______； （2）从木盒内连续摸出两个小球组成一个两位数（摸出后不放回），将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，请用树状图或列表法求出这个两位数是3的倍数的概率． 考点7：几何概率 31．（2024上海课时作业）如图，的面积为，点在边上，且，点是边的中点，连接，，假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 32．（2024市北中学期末）如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则(    ) A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 33．（2024闵行区期末）闵行体育公园内有一个形状是平行四边形的花坛（如图），并且，，花坛中分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果小杰不小心把球掉入花坛，那么下列说法中错误的是　　 A．球落在红花丛中和绿花丛中的概率相等 B．球落在紫花丛中和橙花丛中的概率相等 C．球落在红花丛中和蓝花丛中的概率相等 D．球落在蓝花丛中和黄花丛中的概率相等 考点8：列表法或树状图 34．（2024上海课时作业）小明和小丽家所在小区的物业管理部门，为了规范住户停放机动车，在小区内部分道路的一侧按照标准划出一些停车位． (1)小明家楼下有六个停车位，标号分别为1，2，3，4，5，6．如果一辆机动车要随机停放在其中一个车位上，请直接写出该车停放在标号为偶数停车位的概率； (2)小丽家楼下有三个停车位，标号分别为1，2，3．如果两辆机动车要随机停放在其中两个车位上，请用列表或画树状图的方法求它们恰好都停放在标号为奇数停车位的概率． 35．（2024上海课时作业）随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B，为了让农民快速致富，聘请了农科院的四位专家每两人一组分别去A和B基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨专家，该地为了公平、公正，采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和李专家分成一组去A基地的概率是 36.（静安2024期末15）在一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，这些球除了颜色外无其他差别．现从这个盒子中同时任意摸出个球，那么摸到个红球和个白球的概率是 ． 37.（长宁2022期末21）有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球（除颜色 不同外其余均相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球． （1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是　 　． （2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是　 　． （3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明） 38.（浦东四署2022期末23）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献. （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，求他选中《九章算术》的概率； （2）小聪拟从这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》的概率. 39. （奉贤2017期末20）小杰、小明和小强三人准备进行打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不能确定． （1）请用树形图法展现三人“抛硬币”的所有等可能的结果； （2）求一个回合能确定两人先上场的概率． 考点9：游戏公平性 40．如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．    (1)小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为 ； (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？（请用树状图或列表法说明） 考点10：综合提升 41.王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　　（精确到0.01）； （2）估算袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 42.为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． （1）本次调查的人数有多少人？ （2）请补全条形图，并求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数； （3）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率． 43.在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图： （1）该班团员共有名　　；将该条形统计图补充完整； （2）所发赠言条数为2条的团员人数所占扇形的圆心角度数为　　； （3）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 44．（2023春•徐汇区校级期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 　　． 45．（2023春•青浦区期末）从①，②，③，④ 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 　　． 46．（2022春•青浦区校级期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是 　　． 47．（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 　　． 48．（2023春•杨浦区期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别画有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片故在不透明的盒子中洗匀． （1）从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是 　　； （2）小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用，、、表示） 49．（2023春•浦东新区期末）某班六一节联欢会设计了即兴表演节目的摆球游戏：用一个不透明的盒子，里面装有四个分别标有数字1、2、3、4的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同，游戏规则是：参加联欢会的所有同学从盒子中随机一次摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行． （1）用树状图表示所有等可能的结果； （2）求参加联欢会的同学表演即兴节目的概率． 50．（23-24九年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观． (1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ． (2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率． 51．（23-24九年级上·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． (1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． (2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题08 第23章概率初步章节复习提升 考点1：事件的分类 1.（2023闵行区八年级期末）下列成语，是必然事件的是（　　） A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件． 【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意； B、不期而遇是随机事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，不符合题意； D、旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. （2024进才实验月考）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 在十进制中， C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 任意一个三角形的内角和为360° 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 ，是随机事件，故该选项不符合题意； B. 在十进制中，，是必然事件，故该选项不符合题意； C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 任意一个三角形的内角和为，是不可能事件，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 3.（2023向明初级中学期末）在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（    ） A．这两个图形都是中心对称图形 B．这两个图形都不是中心对称图形 C．这两个图形都是轴对称图形 D．这两个图形都是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】B 【分析】根据事件的分类，以及平行四边形，矩形，菱形，等腰梯形的对称性，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，矩形和菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形， ∴A、C、D均为随机事件，不符合题意；B、是不可能事件，符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查事件的分类，平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的对称性．熟练掌握平行四边形是中心对称图形，矩形和菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形，是解题的关键． 4.（2024金山区八年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 【答案】随机事件 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语， 意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件． 故答案为：随机事件． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 5.（2024莘松中学八年级期末）一个不透明的盒子里装有3个白球、2个黑球，这些球除颜色外其余都相同．在摸球的过程中，请用语言描述： （1）一个随机事件； （2）一个不可能事件； （3）一个必然事件． 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 【解答】解：（1）一个随机事件：摸出一个球是白球； （2）一个不可能事件：摸出一个球是红球； （3）一个必然事件：摸出一个球是白球或黑球． 【知识点】随机事件 6.（2024莘松中学八年级期末）根据甲，乙两个事件发生的概率，解答下列相关问题： 甲事件：在一个口袋中放入10个除颜色外形状大小都相同的球，其中9个红球，一个白球．则摸到白球的事件属于　　． A．必然事件；B．不可能事件；C．随机事件． 乙事件：如图是一个被等分为6个扇形的转盘，2个扇形涂成红色，一个扇形涂成蓝色，其余三个扇形涂成白色，小颖和小琪想通过这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖贏；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢，你认为这个游戏公平吗？并说明理由． 【答案】C 【分析】甲事件：直接利用随机事件的定义解答即可； 乙事件：根据概率公式求出小颖贏和小琪赢的概率，再进行比较即可得出答案． 【解答】解：甲事件：∵口袋中放入10个除颜色外形状大小都相同的球，其中9个红球，一个白球， ∴摸到白球的事件属于随机事件； 故选：C； 乙事件： 这个游戏不公平； ∵P（小颖赢）＝＝，P（小琪赢）＝＝； ∴P（小颖赢）＜P（小琪赢）； ∴小琪赢的可能性大，这个游戏不公平． 【知识点】概率公式、游戏公平性、列表法与树状图法、随机事件 考点2：事件发生的可能性大小 7.（2023春奉贤区八年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（  ） A．一定是正面 B．是正面的可能性较大 C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一样大 【答案】D 【分析】根据实际情况可知，硬币有2面，正面和反面； 投掷一次，正面与反面的可能性是一样的，据此解答. 【详解】解：小明连续抛一枚硬币，前5次都是正面朝上， 抛第6次正面朝上和反面朝上的可能性一样大． 故选D. 【点睛】本题考查的是可能性的运用,较为简单. 8．（2024宝山区校级练习）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（    ） A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案． 【解析】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短， 所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大， 遇到黄灯的可能性最小． 故选：A 【点睛】此题考查了可能性的大小，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 9．（2024上海课时作业）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 考点3：概率的意义与性质 10.（2024上海课时作业）某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（    ） A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小 C．定海区明天将有85%的时间下雨 D．定海区明天将有85%的地区下雨 【答案】A 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【详解】“舟山市定海区明天的降水概率为85%”表示“舟山市定海区明天下雨的可能性较大”， 故选A． 【点睛】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键． 11．（2024上海课时作业）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是______． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 【答案】② 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【解析】解：①说明做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； ②说明做次这种试验，事件可能发生次，正确； ③说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误； ④说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键． 12．（2021春•杨浦区校级期末）下列说法：①“明天的降水概率为”是指明天有的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次　　 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【解答】解：①“明天的降水概率为”是指是指明天下雨的可能性是，不是有的时间在下雨，故①错误； ②“连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误； ①和②都是错误的． 故选：． 【点评】本题考查概率的相关概念．不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．正确理解随机事件、不确定事件的概念是解决本题的关键． 13．（2023春•浦东新区校级期末）确定事件的概率是　　． 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可． 【解答】解：确定事件包括必然事件和不可能事件， 必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0， 故答案为0或1． 【点评】本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中． 14.（2024上海课时作业）下列说法错误的是（　　） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B； 【解析】解：A、∵必然事件发生的概率为1，故本选项正确；B、∵不确定事件发生的概率介 于1和0之间，故本选项错误；C、∵不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；D、∵随机事 件发生的概率介于0和1之间，故本选项正确；故选：B． 考点4：频率与概率关系 15.（2023松江区期末）已知数据:，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】 【分析】直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，其中无理数有：， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键． 16.（2024上海课时作业）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 17.（2024嘉定区八年级统考期末）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 18.（2023下·八年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】利用频率与概率的意义即可得出． 【详解】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确； 故答案为①③④ 【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值． 19．（2024上海课时作业）在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……，如此大量摸球实验后，小新发出其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%．对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球．其中说法正确的是（  ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【详解】∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%， ∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确． ∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率， ∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确． ③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误． 故正确的有①②．故选B． 考点5：由频率估计概率 20.（2024上海课时作业）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 21.（2024上海课时作业）为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上条，若其中带有标记的鱼有条，那么估计湖里大约有__________条鱼． 【答案】2000 【详解】解：100÷(10÷200)=2000(条))． 故答案为2000． 22.（2023春黄浦区八年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据: 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 64 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.64 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计: 当 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 ) (2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 ) 【答案】(1)0.6 (2)0.6 【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可； （2）根据概率接近于（1）得到的频率即可求解。 （1） 解：∵当n=1000时，摸到白球的频率约为0.6，当n=3000时，摸到白球的频率约为0.6， ∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2） 解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， ∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6； 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握概率的定义是解题的关键． 23.（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 考点6：概率公式 24. （2024上海课时作业）掷一枚硬币，正面朝上的概率是_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据概率的意义分析即可得解． 【详解】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种， ∴正面朝上的概率是P=． 【点睛】本题考查了概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，理解概率的意义是解题的关键． 25. （2024上海课时作业）布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答． 【详解】解：∵布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球， ∴P（摸到黑球）=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为： ． 26．（2024上海课时作业）经过某路口的汽车，只能直行或右转．若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从所有等可能的情况中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解． 【解析】解：由题意知，A，B两辆汽车经过该路口时共有4种等可能的情况，分别是：A直行B右转，A直行B直行， A右转B右转，A右转B直行， 因此经过该路口的两辆汽车都直行的概率为． 故选A． 【点睛】本题考查简单概率的计算，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键． 27. （青浦2023期末15）从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有 两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被2整除的概率是　 　． 【答案】； 【解析】解：从2、3、4三个数字中任选两个有：23、24、32、34、42、43共有6种等可能的结果，其中这个数恰好能被2整除的有4种结果，所以这个数恰好能被2整除的概率为. 28.（金山2024期末16）从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是 ． 【答案】； 【解析】从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数有：23、24、32、34、42、43一共6个，其中是合数的是24、32、34、42四个，故这个两位数是合数的概率是. 29．（2024上海课时作业）某学校成立了、、三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他们恰好选到同一个小组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个小组的结果有种， 他们恰好选到同一个小组的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 30. （2024上海课时作业）木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字、、、． （1）从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是______； （2）从木盒内连续摸出两个小球组成一个两位数（摸出后不放回），将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，请用树状图或列表法求出这个两位数是3的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：数字、、、，偶数是，，共个， 从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表法如下， 1 2 3 4 1 12 13 14 2 21 23 24 3 31 32 34 4 41 42 43 共有种等可能结果，其中是的倍数，有种， ∴这个两位数是的倍数的概率． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，列表法法求概率．掌握求概率的方法是解题的关键，要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 考点7：几何概率 31．（2024上海课时作业）如图，的面积为，点在边上，且，点是边的中点，连接，，假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据，的面积为，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：，的面积为， 的面积是， 点是边的中点， 阴影部分的面积为， 点取在阴影部分的概率是． 故选：B． 32．（2024市北中学期末）如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则(    ) A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，设，，分别求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：：：：：， 设，， Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为，，， ∵， 豆子落在区域Ⅰ的概率最小． 故选：A． 33．（2024闵行区期末）闵行体育公园内有一个形状是平行四边形的花坛（如图），并且，，花坛中分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果小杰不小心把球掉入花坛，那么下列说法中错误的是　　 A．球落在红花丛中和绿花丛中的概率相等 B．球落在紫花丛中和橙花丛中的概率相等 C．球落在红花丛中和蓝花丛中的概率相等 D．球落在蓝花丛中和黄花丛中的概率相等 【分析】根据平行四边形的性质可知、、把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得，，，根据等量相减原理知紫橙，依此就可找出题中说法错误的． 【解答】解：， 、、把一个平行四边形分割成四个小平行四边形， 一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二， 得， 球落在蓝花丛中和黄花丛中的概率相等（故正确）；球落在红花丛中和绿花丛中的概率相等（故正确）； ， 根据等量相减原理知紫橙， 球落在紫花丛中和橙花丛中的概率相等（故正确）； 与显然不相等 球落在红花丛中和蓝花丛中的概率不相等（故错误）． 故选：． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质及几何概率的知识，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上对红等于蓝产生质疑． 考点8：列表法或树状图 34．（2024上海课时作业）小明和小丽家所在小区的物业管理部门，为了规范住户停放机动车，在小区内部分道路的一侧按照标准划出一些停车位． (1)小明家楼下有六个停车位，标号分别为1，2，3，4，5，6．如果一辆机动车要随机停放在其中一个车位上，请直接写出该车停放在标号为偶数停车位的概率； (2)小丽家楼下有三个停车位，标号分别为1，2，3．如果两辆机动车要随机停放在其中两个车位上，请用列表或画树状图的方法求它们恰好都停放在标号为奇数停车位的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）列表法求出概率即可． 【解析】（1）解：一辆机动车要随机停放在其中一个车位上，共有6种等可能的结果，其中停放在标号为偶数停车位的结果有3种， ∴； （2）解：列表如下： 1 2 3 1 （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，3） 3 （3，1） （3，2） 共有6种等可能的结果，其中它们恰好都停放在标号为奇数的停车位的结果有2种， ∴． 【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法，是解题的关键． 35．（2024上海课时作业）随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B，为了让农民快速致富，聘请了农科院的四位专家每两人一组分别去A和B基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨专家，该地为了公平、公正，采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和李专家分成一组去A基地的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，把王专家、李专家、刘专家和杨专家分别记为甲乙丙丁，画树状图，再计算王专家和李专家分成一组去A基地的概率即可， 【详解】解：把王专家、李专家、刘专家和杨专家分别记为甲乙丙丁，画树状图如下： 公有12种等可能的结果，其中王专家和李专家分成一组去A基地的结果有2种 所以，王专家和李专家分成一组时的概率为； 故答案为：． 36.（静安2024期末15）在一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，这些球除了颜色外无其他差别．现从这个盒子中同时任意摸出个球，那么摸到个红球和个白球的概率是 ． 【答案】； 【解析】如下图所示：. 37.（长宁2022期末21）有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球（除颜色 不同外其余均相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球． （1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是　 　． （2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是　 　． （3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】解：（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是．（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，则有红白、红白、红白、白白、白白、白白共6种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的概率＝＝．故答案为；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的结果数为5，所以摸到两球颜色相同的概率＝． 38.（浦东四署2022期末23）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献. （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，求他选中《九章算术》的概率； （2）小聪拟从这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》的概率. 【答案与解析】（1）(选中《九章算术》) =；（2）如图所示，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》这四本书分别用表示.（选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》）=. 39. （奉贤2017期末20）小杰、小明和小强三人准备进行打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不能确定． （1）请用树形图法展现三人“抛硬币”的所有等可能的结果； （2）求一个回合能确定两人先上场的概率． 【答案】(1)如图所示；（2）； 【解析】 解：（1）树形图： （2）共有8种等可能的情况，其中两枚正面向上或反面向上的可能情况有6种， 所以一个回合能确定两人先上场的概率P=． 考点9：游戏公平性 40．如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．    (1)小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为 ； (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？（请用树状图或列表法说明） 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查概率公式、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． （1）根据题意和图1，可以求得小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率； （2）先画出树状图，然后即可得到此游戏是否公平． 【详解】（1）解：由图1可得， 小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为， 故答案为：； （2）解：此游戏公平， 理由：树状图如下，    由上可得，一共有9种等可能性，其中得到的两数字之和是3的倍数的有3种，得到的两数字之和是7的倍数的有三种， 此游戏公平． 考点10：综合提升 41.王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　　（精确到0.01）； （2）估算袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】0.25 【分析】（1）直接利用频数÷总数＝频率求出答案； （2）设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）补全表格如下： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25， 故答案为：0.25； （2）设袋子中白球有x个， 根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25可得＝0.25， 解得：x＝3， 经检验：x＝3时原分式方程的解， ∴估算袋中白球的个数为3， 故答案为：3． （3）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， ∴两次都摸出白球的概率为． 【知识点】利用频率估计概率、列表法与树状图法 42.为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． （1）本次调查的人数有多少人？ （2）请补全条形图，并求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数； （3）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率． 【分析】（1）样本中“在线阅读”的人数有25人，占调查人数的25%，可求出调查人数； （2）求出“在线答疑”的人数即可补全条形统计图；求出“在线答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数； （3）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个人选择同一种方式的概率． 【解答】解：（1）25÷25%＝100（人）， 答：本次调查100名学生； （2）100﹣40﹣25﹣15＝20（人），补全条形统计图如图所示： 360°×＝72°， 答：“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数为72°； （3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示， 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有16种等可能出现的结果，其中两人选择同一种方式的有4种， 所以小宁和小娟选择同一种方式的概率为＝． 答：小宁和小娟选择同一种学习方式的概率为． 【知识点】条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法 43.在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图： （1）该班团员共有名　　；将该条形统计图补充完整； （2）所发赠言条数为2条的团员人数所占扇形的圆心角度数为　　； （3）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】【第1空】12 【第2空】60° 【分析】（1）用赠言条数为3的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出赠言条数为4的人数，再补全条形统计图； （2）用赠言条数为2所占的百分比乘以360°即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）3÷25%＝12（名）， 所以该班团员共有12名； 赠言条数为4条的人数为12﹣2﹣2﹣3﹣1＝4（名）， 条形统计图补充为： （2）所发赠言条数为2条的团员人数所占扇形的圆心角度数＝×360°＝60°； 故答案为12；60°； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的结果数为7， 所以所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的概率＝． 【知识点】列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图 44．（2023春•徐汇区校级期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；列表法与树状图法 【分析】画出树状图，求出点的所有情况数，然后把自变量的值代入直线解析式求出在直线上的点的数目，再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解． 【解答】解：画树状图如下： 总情况数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，在直线上的点的坐标为，，，共3个， 则点、落在直线上的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 45．（2023春•青浦区期末）从①，②，③，④ 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 　　． 【答案】． 【考点】列表法与树状图法；平行四边形的判定 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选到能够判定四边形是平行四边形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，选到能够判定四边形是平行四边形的有8种， 选到能够判定四边形是平行四边形的概率是：． 故答案为：． 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 46．（2022春•青浦区校级期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是 　　． 【答案】． 【考点】列表法与树状图法；随机事件 【分析】利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况，利用概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意，列表如下所示， 通过列表可得，共有36种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况共有5种， “掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来． 47．（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 　　． 【答案】． 【考点】列表法与树状图法 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下： 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 由表知，共有30种等可能结果，其中这2个数互素的有22种结果， 所以这2个数互素的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 48．（2023春•杨浦区期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别画有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片故在不透明的盒子中洗匀． （1）从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是 　　； （2）小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用，、、表示） 【答案】（1）1； （2）． 【考点】轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法 【分析】（1）运用概率公式直接计算即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两张卡片所画的图形都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）等边三角形，圆，矩形，等腰梯形都是轴对称图形， 盒子中有4张卡片，卡片上的几何图形是轴对称图形的有4种， 故从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1． 故答案为：1； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的结果为2种， 所以摸出的两张卡片图形都是中心对称的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． 49．（2023春•浦东新区期末）某班六一节联欢会设计了即兴表演节目的摆球游戏：用一个不透明的盒子，里面装有四个分别标有数字1、2、3、4的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同，游戏规则是：参加联欢会的所有同学从盒子中随机一次摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行． （1）用树状图表示所有等可能的结果； （2）求参加联欢会的同学表演即兴节目的概率． 【答案】． 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）求得参加联欢会的同学即兴表演节目的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）画树状图得： 由树状图可知，共有12种等可能的结果； （2）共有12种等可能的结果，参加联欢会的某位同学即兴表演节目的结果有4种， 参加联欢会的某位同学即兴表演节目的概率为：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 50．（23-24九年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观． (1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ． (2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1） 解：由图可知，有出口、出口、出口，共3个出口， 参观结束后，嘉嘉从出口走出的概率是． 故答案为：． （2） 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种， 嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为． 51．（23-24九年级上·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． (1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． (2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，频率与概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （1）利用频率估计概率，再计算面积即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）画树状图如图： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的有3种结果， 所以恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$