专题07：概率初步 解析【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题07 概率初步 知识点1.确定事件与随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件. 确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件. 知识点2.事件发生的可能性 知识点三：频率与概率： 1、在相同条件下的随机试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值为该事件发生的频率。 2、用来表示事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率。 3\频率、概率的区别与联系 （1）频率和概率是两个不同的概念．频率是指在相同的若干次试验中，事件出现的次数与总试验次数的比，它一般随着试验次数的变化而变化，而且既使总试验次数相同的不同试验其频率也可不同；而概率是随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在，它是反映该事件发生可能性大小的值，是一个确定的常数．频率与概率两个数值可能相差很大． （2）在相同条件下，当试验重复次数充分大时，频率就稳定在概率附近，这时我们可用频率来估计概率．与确定事件的规律不同，随机事件发生的规律一般通过大数次的试验得出，而概率正揭示了随机事件发生的规律． （尚孔教知识点四：概率的算法 1、等可能事件：①结果有限个；②各种结果出现的机会均等；③任何两个结果不可能同时出现 2、概率计算公式：如果试验共有n个等可能结果，事件A包含其中k个结果，则事件A的概率。 3、不确定事件发生的可能性的计算方法和步骤 （a）列出所有可能发生的结果，并判定多个结果发生的可能性相等 （b）确定所有可能发生的结果个数为n和其中出现所求事件的结果个数m （c）计算所求事件发生的可能性： 4、计算概率的常用方法： 枚举法：把所有可能的结果一一列出的方法叫做枚举法，如列表法； 树形图：上述的枚举法，就是通过画“树形图”来实现的； 画“树形图”： ※ 如果一个等可能试验是分多步进行，那么树枝相应可以分为多级； ※ 画树形图要注意其中同一级的每条树枝必须是等可能的； ※ 最后一级的“树枝”条数是试验中所有等可能结果的个数。 ①当试验包含两步时，列表法比较方便。当然，此时也可以用树形图法。 ②当试验在三步或三步以上时，用树形图方便。 题型1：事件的分类 【例1】下列事件是必然事件的是（    ） A．投掷一枚正方体骰子，点数“6”朝上 B．如果a、b都是实数，那么 C．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．袋子中有20个红球，5个白球，从中摸出一个球恰好是白球 【例2】下列描述的事件中，随机事件的是　　 A．方程，在实数范围内有解 B．从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形 C．掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上 D．将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个 【跟踪训练】 1.下列事件是不确定事件的是　　 A．太阳从西边升起 B．多边形的内角和等于 C．三角形任意两边之差小于第三边 D．三角形任意两边之和大于第三边 2．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B． C．明天太阳从西方升起 D．小明买彩票将获得500万元大奖 3．（2023春•杨浦区期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属必然事件的是　　 A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 题型2：事件发生的可能性大小 【例3】用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 【例4】一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到_____球的可能性最大． 【例5】将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是　　 A．摸到白球和黑球的可能性相等 B．摸到白球比摸到黑球的可能性大 C．摸到红球是不可能事件 D．摸到黑球或白球是确定事件 【跟踪训练】 1．（2020春•奉贤区期末）“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为　　 A．不可能发生 B．必然发生 C．很可能发生 D．不太可能发生 2．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 3．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 4．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型3：概率的意义与性质 【例7】（2023春•黄浦区期末）下列说法错误的是　　 A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0.5 【例8】“从布袋中取出一只红球的概率是”，这句话的意思是（    ） A．若取出一只球肯定是红球 B．取出一只红球的可能性是 C．若取出一只球肯定不是红球 D．若取出100只球中，一定有99只红球 【跟踪训练】 1．校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况： 投篮数（次） …· 进球数（次） … 则下列说法正确的是（　　） A．小亮每投个球，一定有个球进 B．小亮投球前个进，第，个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为 D．小亮比赛中投球命中率可能超过 2.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，梅雨时节的镇江在雨的衬托下显得别有韵味．某天天气预报说明天的降雨概率为，说明（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性很大 C．明天有的地区在下雨 D．明天有的时间在下雨 3.下列说法错误的是（　　） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 4．如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（　　） A．P（A）＝1 B．P（A）＝0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1 题型4：频率与概率关系 【例9】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【例10】抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（    ） A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上 C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上 【例11】一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【跟踪训练】 1．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 2．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 3．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 4．王老师将8个黑球和若干个红球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色(有放回)，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全上表中的有关数据； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 ；(精确到0.1) (3)试估算袋子中红球的个数？ 题型5：由频率估计概率 【例12】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【例13】不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【例14】为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上条，若其中带有标记的鱼有条，那么估计湖里大约有__________条鱼． 【跟踪训练】 1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数最有可能是（   ） A．6个 B．10个 C．16个 D．18个 2.（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 题型6：概率公式 【例15】布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黑球的概率为 　　． 【例16】在4张卡片的正面分别画上等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，卡片的质地、大小、背面完全相同，现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 　　． 【例17】如果从2、6、12、20、30、42这6个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是 　　． 【例18】四张完全相同的卡片上，分别画有菱形、矩形、等腰梯形和直角梯形，如果从中任意抽取张卡片，抽得的卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是 　　． 【跟踪训练】 1．某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（    ）． A． B． C． D． 2．某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是（    ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为，那么此袋中原有绿球_______个． 4．在一个不透明的盒子中，装有绿球和白球共60个，这些球除颜色外其他完全相同．从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，通过多次摸球试验发现，摸到绿球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（    ） A．48个 B．42个 C．32个 D．18个 5．在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型7：几何概率 【例19】如图，四个转盘分别被分成不同的等份．若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为的转盘是（    ） A． B． C． D． 【例20】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边长分别是和，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，正方形网格中，每个小正方形边长为个单位长度．小明在“”的长方形网格内丢一粒花生（将花生看作一个点），则花生落在阴影部分的概率是___________．    2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是 ； 题型8：列表法或树状图 【例21】为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（    ） A． B． C． D． 【例22】从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是 　　． 【跟踪训练】 1.（2023春•浦东新区期末）某班六一节联欢会设计了即兴表演节目的摆球游戏：用一个不透明的盒子，里面装有四个分别标有数字1、2、3、4的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同，游戏规则是：参加联欢会的所有同学从盒子中随机一次摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行． （1）用树状图表示所有等可能的结果； （2）求参加联欢会的同学表演即兴节目的概率． 2.（2023春•奉贤区期末）木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3、4． （1）从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是 　　； （2）从木盒内连续摸出两个小球组成一个两位数（摸出后不放回），将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，请用树状图或列表法求出这个两位数是3的倍数的概率． 题型9：游戏公平性 【例23】如图，两个相同的可以自由转动的转盘和，转盘被三等分，分别标有数字2，0，；转盘被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘，，转盘停止时，两个指针指向转盘，上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），小明和小刚玩游戏，如果点落在直角坐标系的第一或第三象限则小明胜，如果点落在坐标轴上则小刚胜，请列树状图或表格的方法求出二人各自获胜的概率，并说明游戏是否公平． 【例24】如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）． （1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少? （2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图、列表）说明其公平性． 【例25】张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场劵，各自设计了一种方案： 张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场 劵；否则，王华得到入场劵； 王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从 中随机取出1个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的 小球上的数字之和为偶数，王华得到入场劵；否则，张彬得到入场劵． 请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平． 【跟踪训练】 1．（2020春•宝山区期末）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． （1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ （2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 2．（2022春•龙凤区期末）小华和小军做摸球游戏：袋装有编号为1，2，3的三个小球，袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若袋摸出小球的编号与袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 题型10：综合提升 【例26】寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 一、选择题 1.下列语句正确的是（　 　）A、“上海冬天最低气温低于-5℃”，这是必然事件； B、“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件； C、“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件； D、“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件． 2．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．通常水加热到100℃时沸腾 B．测量孝感某天的最低气温，结果为-150℃ C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球 D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 3.下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（　 　） ． A、瓮中捉鳖； B、守株待兔； C、旭日东升； D、夕阳西下． 4.气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（　 　） A、本市明天将有80%的地区降水； B、本市明天将有80%的时间降水； C、明天肯定下雨； D、明天降水的可能性比较大． 5．在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在左右，则塑料袋中红色球可能有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．下列说法正确的有（　 　） A、在一次抛掷硬币的试验中，甲同学说：“我只做了10次试验就得到了正面朝上的概率为30%”； B、某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次，得到“一正一反”的频率为26.7%，如果再做400次，得到的频率仍然是26.7%； C、在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中，小明得到“1点朝上”的概率为，那么他再做300次试验，一定有50次“1点朝上”； D、在抛掷一枚硬币的试验中，小刚为了节约时间，同时抛掷5枚硬币，这样得到的结果不会受到影响． 2、 填空题 7.一个不透明的口袋中有个白球和个黑球，“任意摸出个球，其中至少有一个白球”是必然事件，最小等于 ． 8.将三粒均匀的分别标有的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为则正好是直角三角形三边长的概率是_______． 9．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是 ，则黄球的个数为（　　） 10.盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个． 11. “鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 12.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是　　 A．4 B．8 C．12 D．16 13. 如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是 ． 14．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y= 上的概率为（　　） A． B． C． D． 15．我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是 ． 16．如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为 ． 17．口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是 ． 18.一矩形场地内有两相邻的正方形，面积分别为2和8，（如图）小明随机地向场地进行丢石子实验，则石子落在阴影部分的概率是 ； 3、 解答题 19．中国古代有着辉煌的数学成就，A《周髀算经》，B《九章算术》，C《海岛算经》，D《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． (1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___； (2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．（用列表法或树状图求解） 20．有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是__________； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是__________； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明） 21.如图，转盘A等分为四个扇形，号码为1、2、3、4；转盘B等分为六个扇形，号码为1、2、3、4、5、6，甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜；判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则． 22．第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析． 23．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌， 小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回． （1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率； （2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率． 24．某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下： 奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾 出现张数（张） 500 1000 2000 6500 （1）求“紫气东来”奖券出现的频率； （2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由． 25．某“披萨”店，共有两种不同的菜谱，一种是单选类菜谱（如表），另一种为套餐类菜谱，分三人套餐或两人套餐两种．有三位同学结伴去此“披萨”店用餐，他们使用了学生证，可享有8折优惠，问： 饮料类 12元（单价） 披萨类 58元（9寸）（单价） 甜点类 24元（单价） 面食类 30元（单价） (1)若所点的是“三人套餐”一份，原价为158元，他们花费了多少元？ (2)若这三位同学选择一份“两人套餐”原价为98元，其中一人还选择了一份饮料，两份甜点和一份面食，则他们花费了多少元？ (3)用餐期间，他们一起参加了一次有奖活动．一圆盘均匀等分成7块，其中有三块为红色区域，三块绿色区域，指针绕着中心旋转，指针落在黄色区域内即为一等奖，问他们获一等奖的可能性大小是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题07 概率初步 知识点1.确定事件与随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件. 确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件. 知识点2.事件发生的可能性 知识点三：频率与概率： 1、在相同条件下的随机试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值为该事件发生的频率。 2、用来表示事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率。 3\频率、概率的区别与联系 （1）频率和概率是两个不同的概念．频率是指在相同的若干次试验中，事件出现的次数与总试验次数的比，它一般随着试验次数的变化而变化，而且既使总试验次数相同的不同试验其频率也可不同；而概率是随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在，它是反映该事件发生可能性大小的值，是一个确定的常数．频率与概率两个数值可能相差很大． （2）在相同条件下，当试验重复次数充分大时，频率就稳定在概率附近，这时我们可用频率来估计概率．与确定事件的规律不同，随机事件发生的规律一般通过大数次的试验得出，而概率正揭示了随机事件发生的规律． （尚孔教知识点四：概率的算法 1、等可能事件：①结果有限个；②各种结果出现的机会均等；③任何两个结果不可能同时出现 2、概率计算公式：如果试验共有n个等可能结果，事件A包含其中k个结果，则事件A的概率。 3、不确定事件发生的可能性的计算方法和步骤 （a）列出所有可能发生的结果，并判定多个结果发生的可能性相等 （b）确定所有可能发生的结果个数为n和其中出现所求事件的结果个数m （c）计算所求事件发生的可能性： 4、计算概率的常用方法： 枚举法：把所有可能的结果一一列出的方法叫做枚举法，如列表法； 树形图：上述的枚举法，就是通过画“树形图”来实现的； 画“树形图”： ※ 如果一个等可能试验是分多步进行，那么树枝相应可以分为多级； ※ 画树形图要注意其中同一级的每条树枝必须是等可能的； ※ 最后一级的“树枝”条数是试验中所有等可能结果的个数。 ①当试验包含两步时，列表法比较方便。当然，此时也可以用树形图法。 ②当试验在三步或三步以上时，用树形图方便。 题型1：事件的分类 【例1】下列事件是必然事件的是（    ） A．投掷一枚正方体骰子，点数“6”朝上 B．如果a、b都是实数，那么 C．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．袋子中有20个红球，5个白球，从中摸出一个球恰好是白球 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握必然事件是一定能够发生的事件是关键．根据必然事件是一定能够发生的事件，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．投掷一枚正方体骰子，点数“6”朝上是随机事件，故A不符合题意； B．如果a、b都是实数，那么是必然事件，故B符合题意； C．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故C不符合题意； D．袋子中有20个红球，5个白球，从中摸出一个恰好是白球是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 【例2】下列描述的事件中，随机事件的是　　 A．方程，在实数范围内有解 B．从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形 C．掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上 D．将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：、方程，在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意； 、从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形，是必然事件，不符合题意； 、掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上，是随机事件，符合题意； 、将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个，是必然事件，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【跟踪训练】 1.下列事件是不确定事件的是　　 A．太阳从西边升起 B．多边形的内角和等于 C．三角形任意两边之差小于第三边 D．三角形任意两边之和大于第三边 【分析】根据随机事件、必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：、太阳从西边升起，是不可能事件，属于确定事件，故不符合题意； 、多边形的内角和等于，是随机事件，属于不确定事件，故符合题意； 、三角形任意两边之差小于第三边，是必然事件，属于确定事件，故不符合题意； 、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，属于确定事件，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B． C．明天太阳从西方升起 D．小明买彩票将获得500万元大奖 【答案】D 【分析】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A. 平行四边形的对角相等，是必然事件，故该选项不符合题意；     B.，是不可能事件，故该选项不符合题意； C. 明天太阳从西方升起，是不可能事件，故该选项不符合题意；     D. 小明买彩票将获得500万元大奖，是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2023春•杨浦区期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属必然事件的是　　 A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 【解答】解：从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色是随机事件； 从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同是随机事件； 从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球是随机事件； 从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球是必然事件， 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 题型2：事件发生的可能性大小 【例3】用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张 【答案】 【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【详解】解：一共有张扑克牌， 满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同， 满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少， 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少， 因此黑色的牌要少于张，黑色的两种牌张数相同， 于是：①黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ②黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ③黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， 因此可能为：，，，或，，，或8，，，（不唯一）， 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键． 【例4】一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到_____球的可能性最大． 【答案】黄 【详解】解：∵袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球， ∴总球数是：个， ∴摸到红球的概率是； 摸到黄球的概率是； 摸到白球的概率是； ∴摸出黄球的可能性最大． 故答案为：黄． 【例5】将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是　　 A．摸到白球和黑球的可能性相等 B．摸到白球比摸到黑球的可能性大 C．摸到红球是不可能事件 D．摸到黑球或白球是确定事件 【分析】根据随机事件发生的可能性（概率）的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得． 【解答】解：．由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意； ．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意； ．摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意； ．摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法和确定性事件的概念． 【跟踪训练】 1．（2020春•奉贤区期末）“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为　　 A．不可能发生 B．必然发生 C．很可能发生 D．不太可能发生 【分析】由骰子只有1、2、3、4、5、6这6个点数可得答案． 【解答】解：因为骰子只有1、2、3、4、5、6这6个点数， 所以“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为不可能发生， 故选：． 【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是了解骰子上的点数及确定性事件和不确定性事件的概念． 2．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 3．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 4．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小． 【详解】∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的概率为 = ； ②抽到“黑桃”的概率为 ； ③抽到“大王”的概率为 ； ④抽到“黑色”的概率为 = ， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式． 题型3：概率的意义与性质 【例7】（2023春•黄浦区期末）下列说法错误的是　　 A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0.5 【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1． 【解答】解：、、正确，不符合题意； 、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故说法错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：，其中必然发生的事件的概率（A）；不可能发生事件的概率（A）；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【例8】“从布袋中取出一只红球的概率是”，这句话的意思是（    ） A．若取出一只球肯定是红球 B．取出一只红球的可能性是 C．若取出一只球肯定不是红球 D．若取出100只球中，一定有99只红球 【答案】B 【分析】根据概率的意义即可解答． 【解析】解：∵从布袋中取出一个红球的概率为， ∴这是一个随机事件，布袋中除了有红球，还有可能有别的球， ∴布袋中取出一只红球的可能性是． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念． 【跟踪训练】 1．校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况： 投篮数（次） …· 进球数（次） … 则下列说法正确的是（　　） A．小亮每投个球，一定有个球进 B．小亮投球前个进，第，个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为 D．小亮比赛中投球命中率可能超过 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的相关知识点，准确判断是解题的关键．根据概率的知识点判断即可． 【详解】解：A、小亮每投个球，不一定有个球进，故错误； B、小亮投球前个进，第、个不一定不进，故错误； C、小亮比赛中的投球命中率可能为，故错误； D、小亮比赛中投球命中率可能为超过，故正确； 故选：D． 2.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，梅雨时节的镇江在雨的衬托下显得别有韵味．某天天气预报说明天的降雨概率为，说明（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性很大 C．明天有的地区在下雨 D．明天有的时间在下雨 【答案】B 【分析】根据概率的意义得知，天气预报中“明天降雨的概率”是指“明天降雨的可能性”，由此得出结论． 【详解】解：“天气预报说明天的降雨概率为”的意义是明天降雨的可能性较大， 故B选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率是事件发生的可能性．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 3.下列说法错误的是（　　） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B； 【解析】解：A、∵必然事件发生的概率为1，故本选项正确；B、∵不确定事件发生的概率介 于1和0之间，故本选项错误；C、∵不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；D、∵随机事 件发生的概率介于0和1之间，故本选项正确；故选：B． 4．如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（　　） A．P（A）＝1 B．P（A）＝0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1 【答案】C 【详解】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知ac2≥bc2成立， ∴A是随机事件， ∴0＜P（A）＜1，故C正确． 故选：C． 题型4：频率与概率关系 【例9】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 【例10】抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（    ） A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上 C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上 【答案】A 【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 【例11】一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】利用大量重复实验的频率估算为概率，估算出概率，再利用概率等于占比求出总数即可． 【解析】估算概率为，得到，解得（可取），符合要求， 故选：B． 【点睛】本题考查用频率估算概率求值，在大量重复实验后可将频率估算为概率，正确的计算是解题的关键． 【跟踪训练】 1．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 2．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 3．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 4．王老师将8个黑球和若干个红球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色(有放回)，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全上表中的有关数据； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 ；(精确到0.1) (3)试估算袋子中红球的个数？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查频率的计算，用频率估计概率，根据概率公式列方程求解等知识，掌握频率和概率的关系是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得答案； （2）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值； （3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数． 【详解】（1）解： 填表如下： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 故答案为：；； （2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数附近， 故“摸到红球”的概率的估计值是． 答：概率为； （3）设袋子中红球的个数为x，则有， 解得：(个)． 答：估算袋子中口袋中约有红球个． 题型5：由频率估计概率 【例12】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得． 【解答】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解且符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）是解题关键． 【例13】不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 【例14】为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上条，若其中带有标记的鱼有条，那么估计湖里大约有__________条鱼． 【答案】2000 【详解】解：100÷(10÷200)=2000(条))． 故答案为2000． 【跟踪训练】 1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数最有可能是（   ） A．6个 B．10个 C．16个 D．18个 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．由题意“小明通过多次摸球试验后发现”知所得频率可以近似地认为是概率，再由概率之和为1计算出白球的频率，最后由数据总数频率频数，计算白球的个数即可． 【详解】解： 摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， 摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故选：C． 2.（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 题型6：概率公式 【例15】布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黑球的概率为 　　． 【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答． 【解答】解：布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式，要明确：如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件的基本事件有个，不构成事件的事件有个，则出现事件的概率为：（A）． 【例16】在4张卡片的正面分别画上等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，卡片的质地、大小、背面完全相同，现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 　　． 【分析】由等边三角形、平行四边形、矩形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，概率是：． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率所求情况数与总情况数之比． 【例17】如果从2、6、12、20、30、42这6个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是 　　． 【分析】2、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20，共2个，利用概率公式计算可得． 【解答】解：、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20，共2个， 任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【例18】四张完全相同的卡片上，分别画有菱形、矩形、等腰梯形和直角梯形，如果从中任意抽取张卡片，抽得的卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是 　　． 【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可． 【解答】解：四张卡片中中心对称图形有菱形、矩形，共2个， 卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查概率公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A），关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数． 【跟踪训练】 1．某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解． 【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是, 故选：B． 2．某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单的概率计算，由概率公式求解即可，得出所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：由题意可知，主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是， ∴在主动轴与后轴的不同齿轮上变换一共有种情况，而自行车处于加速状态的有种， ∴自行车处于加速状态的概率， 故选：D． 20．在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为，那么此袋中原有绿球_______个． 【答案】4 【详解】解：设此袋中原有绿球的个数为m，已知有6个红球，5个白球，那么袋中一共有球（11+m）个． 由题意，＝， 解得m＝4． 经检验，m＝4是原方程的解， 即此袋中原有绿球4个． 故答案为：4． 4．在一个不透明的盒子中，装有绿球和白球共60个，这些球除颜色外其他完全相同．从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，通过多次摸球试验发现，摸到绿球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（    ） A．48个 B．42个 C．32个 D．18个 【答案】B 【分析】 本题考查利用频率估计概率，根据题意得到摸到绿球的概率为，设白球有个，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设白球有个， 由题意，得：， 解得：； 故选B． 5．在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查随机事件的概率．先设有个黑球，分别表示出摸出一白一黑的概率与摸出两黑的概率，再根据（摸出一白一黑）（摸出两黑）即可． 【详解】解：设有个黑球，则 一共出现种情况，其中摸出一白一黑的有种，摸出两黑的有种 （摸出一白一黑），（摸出两黑） （摸出一白一黑）（摸出两黑） ． 经检验：是方程的解 故选：A． 题型7：几何概率 【例19】如图，四个转盘分别被分成不同的等份．若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为的转盘是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何概率．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率即可得到答案． 【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为． 故选：B． 【例20】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边长分别是和，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的两条直角边长分别是和，根据勾股定理，求出大正方形的边长：；根据小正方形的边长为：，求出小正方形的面积，根据针扎到小正方形（阴影）区域的概率为：，即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为：， ∴， ∴针扎到小正方形（阴影）区域的概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的运用，勾股定理的运用． 【跟踪训练】 1.如图，正方形网格中，每个小正方形边长为个单位长度．小明在“”的长方形网格内丢一粒花生（将花生看作一个点），则花生落在阴影部分的概率是___________．    【答案】 【分析】计算阴影部分的面积占正方形面积的多少即可． 【详解】解：阴影部分的面积为， ∴花生落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查几何概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键，概率=相应的面积与总面积之比． 2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是 ； 参考答案： 题型8：列表法或树状图 【例21】为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”这四种课程分别为、、、． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小东、小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、， 小东、小亮两人选择同一门课程的概率是． 故选：D． 【例22】从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是 　　． 【分析】利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的有几种，然后根据概率公式求解． 【解答】解：从长度分别为2，3，4，6的四条线段中任取三条，共有、3、、、3、、、4、、、4、四种可能， 其中能组成三角形有、3、、、4、， 所以能组成三角形的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了列举法求概率：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求解．也考查了三角形三边的关系． 【跟踪训练】 1.（2023春•浦东新区期末）某班六一节联欢会设计了即兴表演节目的摆球游戏：用一个不透明的盒子，里面装有四个分别标有数字1、2、3、4的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同，游戏规则是：参加联欢会的所有同学从盒子中随机一次摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行． （1）用树状图表示所有等可能的结果； （2）求参加联欢会的同学表演即兴节目的概率． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）求得参加联欢会的同学即兴表演节目的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）画树状图得： 由树状图可知，共有12种等可能的结果； （2）共有12种等可能的结果，参加联欢会的某位同学即兴表演节目的结果有4种， 参加联欢会的某位同学即兴表演节目的概率为：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 2.（2023春•奉贤区期末）木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3、4． （1）从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是 　　； （2）从木盒内连续摸出两个小球组成一个两位数（摸出后不放回），将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，请用树状图或列表法求出这个两位数是3的倍数的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中这个两位数是3的倍数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3、4， 从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这个两位数是3的倍数的结果有4种， 这个两位数是3的倍数的概率为． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 题型9：游戏公平性 【例23】如图，两个相同的可以自由转动的转盘和，转盘被三等分，分别标有数字2，0，；转盘被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘，，转盘停止时，两个指针指向转盘，上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），小明和小刚玩游戏，如果点落在直角坐标系的第一或第三象限则小明胜，如果点落在坐标轴上则小刚胜，请列树状图或表格的方法求出二人各自获胜的概率，并说明游戏是否公平． 【分析】用树状图法表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：用树状图表示同时转动转盘，，所组成点的坐标的所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中点落在第一或第三象限的有4种，落在坐标轴上的有4种， 所以小明胜的概率为，小刚胜的概率为， 因此这个游戏规则是公平的． 【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提． 【例24】如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）． （1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少? （2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图、列表）说明其公平性． 【难度】★★★ 【答案】（1），； （2）和为7小夏赢，否则小秋赢． 【解析】（1）经分析，两个指针所指区域内的数之和为： 5、6、6、7、7、8，故，； （2）要使游戏公平，则小夏和小秋的概率要相等，因此若和为7小夏赢，否则小秋赢． 【总结】考察学生对等可能事件的理解和掌握，注意读题分析，公平性强调两个人成功的概 率和失败的概率都要相等才可以． 【例25】张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场劵，各自设计了一种方案： 张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场 劵；否则，王华得到入场劵； 王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从 中随机取出1个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的 小球上的数字之和为偶数，王华得到入场劵；否则，张彬得到入场劵． 请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平． 【难度】★★★ 【答案】都不公平． 【解析】张彬的方案为：，； 王华的方案为：，； 因为双方得到入场券的概率都不相等，所以对双方都不公平． 【总结】公平性强调两个人成功的概率和失败的概率都要相等才可以，这题考察学生对于两 个人获得入场券的概率的掌握． 【跟踪训练】 1．（2020春•宝山区期末）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． （1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ （2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率乙获胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）规则公平，理由如下： 由题意得：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 规则公平； （2）规则公平，理由如下： 共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种， 甲获胜的概率，乙获胜的概率， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 规则公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 2．（2022春•龙凤区期末）小华和小军做摸球游戏：袋装有编号为1，2，3的三个小球，袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若袋摸出小球的编号与袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：不公平， 画树状图得： 共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况， ，， ， 这个游戏对双方不公平． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 题型10：综合提升 【例26】寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 【答案】； 【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算； （2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算. 【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6， 其中，掷出5时可以回到点A， ∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为； （2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点， 则①第一次就掷出5， ②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4， 画树状图如下： 共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种， ∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数. 一、选择题 1.下列语句正确的是（　 　）A、“上海冬天最低气温低于-5℃”，这是必然事件； B、“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件； C、“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件； D、“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件． 参考答案：D 2．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．通常水加热到100℃时沸腾 B．测量孝感某天的最低气温，结果为-150℃ C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球 D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 参考答案：1．D； 3.下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（　 　） ． A、瓮中捉鳖； B、守株待兔； C、旭日东升； D、夕阳西下． 4.气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（　 　） A、本市明天将有80%的地区降水； B、本市明天将有80%的时间降水； C、明天肯定下雨； D、明天降水的可能性比较大． 参考答案：D 5．在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在左右，则塑料袋中红色球可能有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率、已知概率求数量，根据频率得出摸到红球的概率，用总数乘以概率可得红色球个数． 【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率约为， 故红球的个数为（个）， 故选C． 6．下列说法正确的有（　 　） A、在一次抛掷硬币的试验中，甲同学说：“我只做了10次试验就得到了正面朝上的概率为30%”； B、某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次，得到“一正一反”的频率为26.7%，如果再做400次，得到的频率仍然是26.7%； C、在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中，小明得到“1点朝上”的概率为，那么他再做300次试验，一定有50次“1点朝上”； D、在抛掷一枚硬币的试验中，小刚为了节约时间，同时抛掷5枚硬币，这样得到的结果不会受到影响． 2．D． 2、 填空题 7.一个不透明的口袋中有个白球和个黑球，“任意摸出个球，其中至少有一个白球”是必然事件，最小等于 ． 答案： 8.将三粒均匀的分别标有的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为则正好是直角三角形三边长的概率是_______． 【答案】： 9．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是 ，则黄球的个数为（　　） 【答案】D 10.盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个． 【答案】6 【分析】根据摸到红球的可能性较大可知红球比白球多，列不等式即可解答． 【详解】解：∵红球、白球共11个，摸到红球的可能性较大， ∴红球个数>白球个数， 设红球有个，则白球有个， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴红球至少有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了的事件发生可能性的大小及解一元一次不等式，解题的关键是根据题意得出红球个数>白球个数． 11. “鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 【答案】 【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． 12.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是　　 A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】用球的总个数分别乘以摸到红色球和黑色球的频率求出其对应个数，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，红色球的个数为（个，黑色球的个数为（个， 所以口袋中白色球的个数为（个， 故选：． 13. 如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是 ． 考点：概率公式；中心对称图形． 分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答：解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，即B、C，所以摸出的图形是中心对称图形的纸牌的概率是：．故答案：． 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 14．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y= 上的概率为（　　） A． B． C． D． 一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点P落在双曲线y=上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），∴点P落在双曲线y=上的概率为：． 15．我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是 ． 解答：解：分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图得： ∵共有8种等可能的结果，小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种情况， ∴小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是： 16．如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为 ． 解答：解：∵黑色区域的面积占了整个图形面积的， 17．口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是 ． 解答：解：列表得：∵共有20种等可能的结果，这两球都是红色的有2种情况，∴从中摸出两球，这两球都是红色的概率是：． 18.一矩形场地内有两相邻的正方形，面积分别为2和8，（如图）小明随机地向场地进行丢石子实验，则石子落在阴影部分的概率是 ； 参考答案：1．； 3、 解答题 19．中国古代有着辉煌的数学成就，A《周髀算经》，B《九章算术》，C《海岛算经》，D《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． (1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___； (2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．（用列表法或树状图求解） 【答案】(1) (2)图表见解析， 【详解】（1）解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为:； （2）解： 将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB， ∴P（M）=． 20．有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是__________； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是__________； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明） 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）解：∵小球上分别标有数字． ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下， 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）解：树形图如图， 由图可知共有16种等可能的结果，其中两个小球所标数字的和为奇数的有8种， ∴摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是：． 21.如图，转盘A等分为四个扇形，号码为1、2、3、4；转盘B等分为六个扇形，号码为1、2、3、4、5、6，甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜；判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则． 参考答案：不公平（画树状图）；设计举例：两号码的和为奇数那么甲胜，和为偶数那么乙胜． 22．第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析． 分析：根据题意列表，再根据概率公式分别求出都是红球和一红一绿的概率，即可求出答案． 解答：解：根据题意，用A表示红球，B表示绿球，列表如下： 由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果， P（都是红球）=，P（1红1绿球）=， 因此，这个规则对双方是公平的． 23．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌， 小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回． （1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率； （2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率． 考点：列表法与树状图法． 解答：解：（1）画树状图得： ∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种， ∴小齐获胜的概率为P1=； （2）据题意，小明出牌顺序为6、8、10时， 小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7 分 ∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种， ∴小齐获胜的概率为P2=． 点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 24．某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下： 奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾 出现张数（张） 500 1000 2000 6500 （1）求“紫气东来”奖券出现的频率； （2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由． 解答：解：（1）或5%； （2）平均每张奖券获得的购物券金额为 100×+50×+20×+0×=14（元） ∵14＞10 ∴选择抽奖更合算． 25．某“披萨”店，共有两种不同的菜谱，一种是单选类菜谱（如表），另一种为套餐类菜谱，分三人套餐或两人套餐两种．有三位同学结伴去此“披萨”店用餐，他们使用了学生证，可享有8折优惠，问： 饮料类 12元（单价） 披萨类 58元（9寸）（单价） 甜点类 24元（单价） 面食类 30元（单价） (1)若所点的是“三人套餐”一份，原价为158元，他们花费了多少元？ (2)若这三位同学选择一份“两人套餐”原价为98元，其中一人还选择了一份饮料，两份甜点和一份面食，则他们花费了多少元？ (3)用餐期间，他们一起参加了一次有奖活动．一圆盘均匀等分成7块，其中有三块为红色区域，三块绿色区域，指针绕着中心旋转，指针落在黄色区域内即为一等奖，问他们获一等奖的可能性大小是多少？ 【答案】(1)他们花费了126.4元； (2)他们花费了150.4元； (3)获一等奖的可能性大小是 ． 【分析】（1）套餐打8折，是指现价是原价的80%，把“三人套餐”一份的原价看成单位“1”，用原价乘上80%就是他们应付的钱数； （2）先求出一份饮料，两份甜点和一份面食，一共花了多少钱，然后再加上“两人套餐”的原价就是三个人一共花费的原价，然后再乘上80%就是实际一共花费的钱数； （3）三块红色，三块绿色，那么黄色只有一块；指针落到黄色区域的部分就占，那么获得一等奖的可能性就是． (1) 解：158×80%＝126.4（元）； 答：他们花费了126.4元． (2) 12+24×2+30+98 ＝12+48+30+98 ＝90+98 ＝188（元） 188×80%＝150.4（元）； 答：他们花费了150.4元． (3) 7﹣3﹣3＝1（块）； 1÷7＝； 答：获一等奖的可能性大小是． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$