专题02：平行四边形的性质与判定（八大题型）【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题02 平行四边形的性质与判定 知识点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 知识点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 知识点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 题型1 利用平行四边形的性质求解 【例1】下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形两组对边分别平行 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的两组对边分别相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质依次分析判断即可． 【详解】解：A．平行四边形两组对边分别平行，原说法正确，故该项不符合题意； B．平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，故该项不符合题意； C．平行四边形的对角相等，邻角互补，原说法不正确，故该项符合题意； D．平行四边形的两组对边分别相等，原说法正确，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等，平行四边形的对角相等，邻角互补，平行四边形的对角线互相平分，熟记性质是解题的关键． 【例2】如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（     ）    A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出，则． 【详解】解： ，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理和平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到是等腰三角形，再根据三线合一得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形； ∴，； ∵； ∴； ∴； ∴是等腰三角形； ∵点E是OC的中点； ∴； ∴是直角三角形； ∵点G是AB的中点； ∴，； ∴； ∴； ∵； ∴； 故选：D． 【例4】如图，在中，，点E在上，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可求，由直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【例5】如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得出，，设，，求出，，由平行四边形的对角相等得出方程，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到和之间的关系． 【例6】如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（    ） A．36 B．48 C．63 D．75 【答案】C 【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以3即为平行四边形的面积． 【详解】解：平行四边形的周长为60， ， 设为x， ， ，解得：， 的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底高． 题型2 平行四边形的性质其他运用 【例7】如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（    ）． A．124° B．114° C．104° D．56° 【答案】A 【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案． 【详解】解： 由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键． 【例8】如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到 ，由平行线的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ，推出 是等边三角形，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵将四边形沿翻折，得到四边形， ， ， 即， 是等边三角形， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________． 【答案】(0,2) 【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解． 【详解】解：设点P（0，y）， ∵PD=AP，点A（-3，0）， ∴点D（3，2y）， ∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形， ∴C（6，2y-4）， ∴点C在x=6这条直线上运动， ∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6， 即2y-4=0， ∴y=2， ∴点P（0，2）． 故答案为（0，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【例10】已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）． 【答案】见解析 【分析】将不规则图形面积分为面积相等的两部分，将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件． 【详解】解：（1）如图所示，将图形分成两个平行四边形，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得； （2）如图所示，将图形分成两个平行四边形，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得； （3）如图所示，将不规则图形补全，然后按照（1）（2）方法，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得； 【点睛】题目主要考查中心对称图形的应用及平行四边形的性质，理解题意，掌握中心对称图形的应用是解题关键． 【例11】在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上． （1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数． （2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长是无理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作边长为3，5的平行四边形即可； （2）作边长为，的平行四边形即可； 【详解】解（1）根据网格作出边长为3，4，5的直角三角形，再以4为公共边作边长为3，4，5的直角三角形，如下图： （2）借助网格，作边长为、、的三角形，再以为公共边作边长为、、的三角形，如下图： 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理和平行四边形的判定，正确借助网格是解题关键． 题型3 利用平行四边形的性质证明 【例12】如图，在中，对角线相交于点，垂足分别为．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及垂直的定义，由，即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定是解决问题的关键． 【例13】如图，在中，是的中点，作于点，连接，，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③； ④ 【答案】①②③ 【分析】先证明，延长，交延长线于M，证明，则，由直角三角形的斜边上中线的性质即可判断③；利用角之间的关系得到，，即可判断①；由得，可得，即可判断②；证明，由得到，即可判断④． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长，交延长线于M，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③成立； ∴， ∵，， ∴，， 故①成立； ∵， ∴， ∴， 即，故②成立； ∵， ， ∴， ∵， ∴， 故④不成立， 故答案为：①②③． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证出是解题关键． 【例14】在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG． （1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长； （2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE． 【答案】（1）；（2）见详解． 【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案； （2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上， ∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°， ∴∠CBD=45°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD=45°， ∴∠BDE=∠ADB=45°， ∴∠BED=， ∴三角形BDE是等腰直角三角形，， 在平行四边形ABCD中，则BD=DG， ∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线， ∴EG⊥BD， ∵， ∴， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得 ； （2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG， 在△DMG和△DEG中，有 ， ∴△DMG≌△DEG， ∴∠DMG=∠DEG=∠BCD， ∵∠BCD=∠BAD， ∴∠DMG=∠BAD， ∴MG∥AB， ∴∠BAF=∠AGM， ∵AG＝AB， ∴∠AGB=∠ABG， ∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG， 又∵∠FBG=∠GBC， ∴∠ABF=∠BCG， ∵AD∥BC， ∴∠BCG=∠MAG=∠ABF， 在△AMG和△BFA中，有 ∴， ∴△AMG≌△BFA， ∴AM=BF， ∴AD=AM+MD=BF+DE． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明． 题型4 平行四边形的判定 【例15】如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 【例16】在四边形中，对角线与相交于点，给出五组条件：   ①，；   ②，；     ③，；     ④，；     ⑤，．  能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；  ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】解：①由，，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；   ②由，可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；   ③由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；   ④由，可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；   ⑤由，可知，四边形的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；  综上分析可知，能判定此四边形是平行四边形的有4组． 故选：D．      【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 【例17】下列四边形中分别标注了部分数据，根据所标数据，则不能判断该四边形是平行四边形的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可 【详解】A、对角线互相平分能判断四边形是平行四边形，故不符合题意; B、两组对边相等能判断四边形是平行四边形，故不符合题意; C、根据图可判断出,一组对边相等另一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故符合题意; D、根据图可判断出，两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意; 故选：C 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【例18】在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、由，，判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【例19】▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 【答案】C 【分析】连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【详解】如图，连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可； A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意； B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意； C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意； D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴AF∥CE， 结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【例20】如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 【答案】AE=CF（答案不唯一） 【分析】证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论． 【详解】添加条件为：， 理由：，， ， ， 四边形为平行四边形， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 题型5 证明四边形是平行四边形 【例21】如图，已知相交于．    (1)求证：． (2)作关于直线的对称图形，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据即可证明； （2）证明两组对边分别相等即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ， （2）证明， ， ， ， ， ， 、关于直线对称， ，， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、作图轴对称等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【例22】如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，证明，得出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，即可证明结论； （3）证明是等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，根据平行四边形的面积的面积求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴平行四边形的面积的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【例23】如图，和是平行四边形外的两个三角形，且． 求证：四边形是平行四边形 ．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，解题的关键在于由平行四边形的性质得到，再证明，得到，从而根据平行四边形的判定可得答案． 【详解】证明：  ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 题型6 平行四边形的存在性 【例24】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【例25】在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点C的坐标 ． 【答案】或或 【分析】设C点的坐标为，由四边形时平行四边形，可分以下情况进行分类求解，即①当时，②时，然后根据平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解：设C点的坐标为， ∵四边形时平行四边形， ①当时， ∵ ∴， ∴， ∴C点坐标为或． ②时， ∵，∴， ∴C点坐标为； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握平行四边形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键． 【例26】平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ． (2)如图2，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）由旋转的性质得，，，，由勾股定理求出的长，判断出与x轴平行，进而可得点，点的坐标； （2）作轴于H，如图2，利用旋转的性质得，，则，再在中利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理计算出和的长，进而可得点的坐标； （3）分三种情况：①当、为平行四边形的边时，连接，交于点P，根据，，利用中点坐标公式求出点P的坐标，进而可得点D的坐标；②当为对角线时，③当为对角线时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，， ∴， ∵把绕点B逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∵，，， ∴与x轴平行， ∴， ∵是直角三角形，， ∴的坐标为， 综上，的坐标为，的坐标为，的长为， 故答案为：，，； （2）解：作轴于H，如图2， ∵绕点B逆时针旋转得， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：分三种情况： ①当、为平行四边形的边时，如图， 连接，交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点的坐标为， ∴， ∵点， ∴点D的坐标为； ②当为对角线时，如图， 同理可得，点D的坐标为； ③当为对角线时，如图， 同理可得，点D的坐标为； ． 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，平行四边形的性质和中点坐标公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【例27】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 【答案】(1) 存在点P的坐标，且P(0, )；(2)D运动2秒后四边形ABCD是平行四边形；(3) P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【分析】(1)过A点作关于y轴的对称点M，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，求出BM解析式，再令y=0进而求出P点坐标； (2)只能是AC为一条对角线，BD为另一对角线，设D(m,0)，利用BD的中点与AC的中点为同一个点即可求解； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB为对角线；②AP为对角线；③AQ为对角线共三种情况分别求解即可． 【详解】解：(1)过A点作关于y轴的对称点M(-1，1)，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P， 如下图所示： 设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)， ，解之得， ∴直线BM解析式为， 令x=0，解得y=， ∴存在点P的坐标，且P(0, )， 故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0, )； (2)当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD， 设D(m,0)，由中点坐标公式可知： 线段AC的中点坐标为，即， 线段BD的中点坐标为，即， 又线段AC与BD中点为同一个点， ∴，解得， 故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为(2,0)，又速度为1个单位每秒， ∴经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：2秒； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)， 情况①：AB为对角线时，另一对角线为PQ， 线段AB的中点坐标为，线段PQ的中点坐标为， 又线段AB和线段PQ的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(4,0)，Q(0,3)； 情况②：AQ为对角线时，另一对角线为BP， 线段AQ的中点坐标为，线段BP的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(-2,0)，Q(0,1)； 情况③：AP为对角线时，另一对角线为BQ， 线段AP的中点坐标为，线段BQ的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(2,0)，Q(0,-1)； 综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定、平行四边形的存在性问题等，熟练掌握判定法则及平行四边形的性质是解决本题的关键． 题型7 平行四边形的动点问题 【例28】如图，在四边形ABCD中，，，，，E是DC上一点，且，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），当 时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】1或3 【分析】分两种情况，①点Q在点E的左侧时，当AP=QE时，四边形AQEP是平行四边形，即t=3-2t，解得t=1；②点Q在点E的右侧时，当AP=QE时，四边形AEQP是平行四边形，即t=2t-3，解得t=3． 【详解】解：分两种情况： ①点Q在点E的左侧时， ∵， ∴当AP=QE时，四边形AQEP是平行四边形， 即t=3-2t， 解得：t=1； ②点Q在点E的右侧时， ∵， ∴当AP=QE时，四边形AEQP是平行四边形， 即t=2t-3， 解得：t=3； 综上所述，当t=1或3时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【例29】如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒． (1) ______ 含的代数式表示； (2)如图，连接，，，当时，求的面积； (3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据几何动点的速度和时间可得结论； （2）根据四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，可得，再证明 ，最后利用三角形的面积公式可解答； （3）先证明，再计算两个边界点时点的值；①如图，点与重合，②如图4，在斜边上，由此可得结论. 【详解】（1）解：在中，， 由题意，， . 故答案为：； （2）如图中， 四边形是平行四边形， ∴，， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2，， ， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 如图，点与重合， 由对称得：， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图4，在斜边上，此时， 由对称得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会取边界点解决实际问题，属于中考压轴题. 【例30】【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． (1)【问题】填空：　　； (2)当时，求的值； (3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，是定值 【分析】（1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的值； （3）过点作交延长线于点连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得； 【详解】（1）解：∵ 是边长为的等边三角形， ∴ ， 设 ， 则 ， ， （2）解： ， 解得： （3）解：线段的长度不改变， 如图：过点作交延长线于点连接 ∵点 速度相同， 是等边三角形， ， ∴四边形是平行四边形， 【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． 题型8 平行四边形综合压轴 【例31】在平面直角坐标平面xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+m与直线y＝2x+n都经过点A（2，0），且分别与y轴交于点B和点C． （1）求B、C两点的坐标； （2）设D是直角坐标平面内一点，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且AB是这个平行四边形的边，求点D的坐标． 【答案】（1）B（0，-2），C（0，4）；（2）（2，2）或（-2，6） 【解析】 【分析】（1）将A（-2，0）代入直线y=-x+m与直线y=2x+n，求出m和n，即可求B、C两点的坐标； （2）分类画出图形，由平移的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：（1）∵直线y=-x+m与直线y=2x+n都经过点A（-2，0）， ∴0=-（-2）+m，0=2×（-2）+n， ∴m=-2，n=4， ∴两直线为：y=-x-2，y=2x+4， 令x=0，y=-x-2=-2， y=2x+4=4， ∴B（0，-2），C（0，4）； （2）如图： ①将A（-2，0）向右平移2个单位，再向上平移4个单位可得C（0，4）， 故将线段AB向右平移2个单位，再向上平移4个单位时，B（0，-2）移到D1（2，2）， 此时AB=CD1，AB∥CD1，四边形ABD1C是平行四边形， ∴D1（2，2）， ②同理，将B（0，-2）向上平移6个单位可得C（0，4）， 故将线段AB向上平移6个单位时，A（-2，0）移到D2（-2，6）， 此时AB=CD2，AB∥CD2，四边形ABCD2是平行四边形， ∴D2（-2，6）， 综上所述，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且AB是这个平行四边形的边，D的坐标为（2，2）或（-2，6）． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，分类画图形，并会用平移的性质解决问题． 【例32】（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）在中，，，，点D是AB上的动点，交AC于点E，分别交射线BC、射线AC于点F、G，联结EF． (1)如图1，如果点G恰好平分EC，判断四边形DEFC的形状并证明； (2)如图2，当点F在线段BC的延长线上时，设AD的长为x，梯形DBFE的面积为y，直接写出y关于x的函数关系及其定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)四边形DEFC是平行四边形，证明见解析； (2)y＝x2﹣+500＜x＜）； (3)AD的长为或8． 【分析】（1）由AAS证得△CFG≌△EDG，FG＝DG，又CG＝EG，即可得出四边形DEFC是平行四边形； （2）由含30°角直角三角形的性质得出BC＝AB＝5，DE＝AD＝x，BD＝10﹣x，由勾股定理求出AC＝5 ，AE＝x，推出CE＝5﹣x，再由含30°角直角三角形的性质得出BF＝2BD＝20﹣2x，则y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）•CE＝x2﹣+50，当点F与C重合时，求出AD＝，即可得出结果； （3）①当点F在线段BC的延长线上时，梯形DBFE为等腰梯形；②当点F在线段BC上时，四边形BDEF为平行四边形，分别求出AD即可． （1） 解：四边形DEFC是平行四边形，理由如下： ∵点G恰好平分EC， ∴CG＝EG， ∵DE∥BC， ∴∠CFG＝∠EDG， 在△CFG和△EDG中， ， ∴△CFG≌△EDG（AAS）， ∴FG＝DG， ∴四边形DEFC是平行四边形； （2） 解：∵∠ACB＝90°，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB＝×10＝5，DE＝AD＝x，BD＝AB﹣AD＝10﹣x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝， ∴CE＝AC﹣AE＝， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BFD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴BF＝2BD＝2×（10﹣x）＝20﹣2x， ∴y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）•CE＝×（x+20﹣2x）×（）＝x2﹣+50， 当点F与C重合时，如图3所示： ∵CD⊥AB，则∠ADC＝90°， ∵∠A＝30°， ∴CD＝AC＝， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝， ∴AD的长度x的变化范围为0＜x＜， ∴y＝x2﹣+50（0＜x＜）； （3） 解：①当点F在线段BC的延长线上时，EF＝DB，梯形DBFE为等腰梯形，如图4，, ∴∠BFE＝∠B， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BFE＝∠B＝60°， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝90°﹣∠B＝30°， ∴∠DFE＝∠BFE﹣∠BFD＝60°﹣30°＝30°， ∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠BFD＝30°， ∴∠EDF＝∠DFE＝30°， ∴DE＝EF， ∴DE＝DB， 由（2）可知，当AD＝x时，DE＝x， BD＝10﹣x， ∴x＝10﹣x， 解得：x＝， ∴AD的长为； ②当点F在线段BC上的点 时，如图5所示： 结合图4， ∵EF＝DB＝E, ∴∠FC＝∠F＝∠DBC， ∴DBE, ∵， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴BF＝DE＝x， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝90°－∠B＝30°， ∴BD＝BF＝×x＝x， ∴x＝10﹣x， 解得：x＝8， ∴AD的长为8； 综上所述，AD的长为或8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、列函数关系式、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握含30°角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键． ( 9 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【例33】（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图．四边形是平行四边形，AB=BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域； (3)连接，如果以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)（0＜x＜6） (3) 【分析】（1）连接AC，通过证明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE＝CF； （2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，先根据勾股定理求出AH的长，又CF＝BE＝x，DF＝6−x，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式； （3）根据题意画出图形，并连接BD，先根据四边形BDFA是平行四边形，证出∠BAE为直角，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6，继而即可求出BE的长． 【解析】（1）证明：连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC，AC平分∠BCD，∠BAD，，， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∠BAC＝∠DAC＝60°， 又∵∠BAE＋∠MAC＝60°，∠CAF＋∠MAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE＝CF． （2）解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，如图所示： 在Rt△ADH中，∠D＝60°，∠DAH＝90°−60°＝30°， ∴DH＝AD＝×6＝3，， 又∵CF＝BE＝x，DF＝6−x， ∵S△ADF＝DF•AH， ∴， 即（0＜x＜6）． （3）解：①当点F在CD的延长线上时，连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴，平分∠ADC和∠ABC， ∴∠ADB＝∠ADC＝30°， 当四边形BDFA是平行四边形时，， ∴∠FAD＝∠ADB＝30°， ∴∠DAE＝60°−30°＝30°，∠BAE＝120°−30°＝90°， 在Rt△ABE中，∠ABE＝60°， ∴∠BEA＝90°-60°=30°， ∵AB＝6， ∴BE＝2AB＝2×6＝12； ②当点F与C重合时，点E与点B重合（不合题意舍去）； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用． 一、选择题 1．（2022春•浦东新区校级期中）一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（　　） A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8 【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知． 【解答】解：A、对角线一半分别是2和3，2+3＝5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、对角线一半分别是2和1.5，2+1.5＝3.5＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、对角线一半分别是1和3，1+3＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，注意平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形，另外要熟练三角形的三边关系． 2．（2022春•杨浦区校级期中）在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） ①S△ADO＝S△ABO ②△ADB≌△CBD ③∠BAD＝2∠BAC ④AC＝BD A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【分析】由平行四边形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC， ∴①S△ADO＝S△ABO，正确； ②△ADB≌△CBD正确； ③∠BAD＝2∠BAC，错误； ④AC＝BD，错误． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 3．（2022秋•虹口区校级月考）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为(　　) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2）， ∴AA′=BB′=2， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴A（，）， ∴AA′对应的高为， ∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4． 故选C． 【点睛】本题考查平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题的关键． 4．（2022春•浦东新区校级期末）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB＝CD，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ADB＝∠CBD B．AO＝CO C．∠ABC＝∠ADC D．AD＝BC 【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【解答】解：添加AD＝BC后能判定这个四边形是平行四边形，理由如下： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 5．（2022春•徐汇区校级期中）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行且相等四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形 D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵一组对边平行且相等四边形是平行四边形， ∴选项A不符合题意； B、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴选项B不符合题意； C、∵一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形， ∴选项C不符合题意； D、∵一组对边相等，且另一组对边平行不一定是平行四边形， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6．（2022春•上海期中）下列说法：（1）当多边形边数增加1条时，它的内角和增加180°．（2）在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，那么这个四边形是平行四边形．（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和．（4）n边形共有（n﹣3）条对角线．（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分别根据多边形，三角形的外角，平行四边形的判定以及多边形的内角和公式逐一判断即可． 【解答】解：（1）当多边形边数增加1条时，它的内角和增加180°，说法正确． （2）在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，那么这个四边形是平行四边形，说法错误． （3）三角形的外角和等于其它多边形的外角和，说法错误． （4）n边形共有（n﹣3）条对角线，说法错误． （5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角，说法正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键． 二、填空题 7．（2022秋•虹口区校级月考）已知点A（3，3），B（﹣1，1），C（0，2），以A、B、C、D为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标为 　　． 【分析】分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移的性质可得D点坐标． 【解答】解：当以AC为对角线，此时D（4，4）； 当以AB为对角线时，此时D（2，2）； 当以BC为对角线时，此时点D（﹣4，0）． 则第四个顶点D的坐标是（4，4）或（2，2）或（﹣4，0）． 故答案为：（4，4）或（2，2）或（﹣4，0）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键． 8．（2022秋•奉贤区月考）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，AD＝6，那么△OBC的周长是 　　． 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，求出OD、OA即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC＝3，OD＝OB＝BD＝4，AD＝BC＝6， ∴△△OBC的周长＝OB+OC+BC＝3+4+6＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　　． 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BE，AD＝2DF ∵BE＝2，DF＝3， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20， 故答案为：20． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．（2022春•杨浦区校级期中）如果把对角线与一边垂直的平行四边形称为“联想平行四边形”，现有一个“联想平行四边形”的一组邻边长为4和2，那么它的最小内角为 　　度． 【分析】由勾股定理求出AC＝2，得出∠B＝30°即可． 【解答】解：如图所示： 在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2，BC＝4时，∠B最小， 由勾股定理得：AC＝＝2， ∴AC＝AB， ∴∠B＝30°， 故答案为：30． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、“联想平行四边形”、勾股定理、直角三角形的性质；熟练掌握“联想平行四边形”的性质，求出∠B＝30°是解题的关键． 11．（2022春•徐汇区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是　　cm． 【分析】由在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四边形ABED是平行四边形，即可求得CE的长，又由∠B＝70°，∠C＝40°，易判定△CDE是等腰三角形，继而求得答案． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE＝AD＝5cm， ∴CE＝BC﹣BE＝12﹣5＝7（cm）， ∵∠DEC＝∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝70°， ∴CD＝CE＝7cm． 故答案为：7． 【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质．注意证得四边形ABED是平行四边形，△CDE是等腰三角形是关键． 12．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的内角和是______． 【答案】1620° 【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线可得n−3＝8，计算出n的值，再根据多边形内角和（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）可得答案． 【详解】解：设多边形边数为n，由题意得： n−3＝8， n＝11， 内角和：180°×（11−2）＝1620°． 故答案为1620°． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，多边形内角和公式（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）． 13．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，平行四边形中，，垂足分别是E、F，，则平行四边形的周长为_______． 【答案】20 【分析】由平行四边形的性质得，再证，然后由含角的直角三角形的性质得即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴平行四边形的周长， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______． 【答案】6 【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明，此为解题的关键性结论；运用的周长为，求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形， ，； 由题意得：，； 的周长为，的周长为， ，， ， 即， ，即； ， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答． 15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，于点，于点，，且，则平行四边形的周长为______． 【答案】 【分析】要求平行四边形的周长就要先求出、的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出结果． 【详解】解：， ， ， 则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得，， 同理可得：， 则平行四边形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合等腰直角三角形的性质、勾股定理来解决有关的计算和证明． 16．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____cm． 【答案】3 【分析】先证明CB=CF，再结合平行四边形的性质，计算即可． 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC=AD，ABCF，AB=CD， 所以∠ABF=∠BFC， 因为BF平分∠ABC， 所以∠ABF=∠CBF， 所以∠BFC=∠CBF， 所以CB=CF， 因为CF=CD+DF， 所以AD=AB+DF， 所以AB=7-4=3(cm)， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17．（2022春•青浦区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝　4.8s或8s或9.6s　时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t， 此时方程t＝0，此时不符合题意； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8； ④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t， 解得：t＝9.6； 综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4.8s或8s或9.6s． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 三、解答题 18．（2022春•青浦区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】先根据SSS证出△BEA≌△DFC，从而得到∠EAB＝∠FCD，根据等角的补角相等可得∠BAC＝∠DCA，从而得到AB∥DC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形ABCD是平行四边形． 【解答】证明：在△BEA和△DFC中， ∴△BEA≌△DFC（SSS）， ∴∠EAB＝∠FCD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥DC， ∵AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键在于先通过全等三角形证出AB∥CD． 19．（2022春•上海期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD； （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE， ∴AF＝EF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 20．（2022春•徐汇区校级期中）如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分． 【分析】连接EN、FM，求出EM＝FN，EM∥FN，得出平行四边形EMFN，根据平行四边形的性质得出即可． 【解答】证明：连接EN、FM， ∵EM⊥AC，FN⊥AC， ∴∠AME＝∠EMN＝∠FNC＝∠FNM＝90°， ∴EM∥FN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAM＝∠FCN， ∵DE＝BF， ∴AE＝CF， 在△AEM和△CFN中 ∴△AEM≌△CFN（AAS）， ∴EM＝FN， ∵EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形， ∴EF与MN互相平分． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出四边形EMFN是平行四边形，题目比较好，难度适中． 21．（2022春•浦东新区校级期中）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 在△DAE和△BCF中， ∴△DAE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即DF＝BE， ∵DE＝BF，BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解： ∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∵AE＝3，DE＝4， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∵DE∥BF， ∴∠ABF＝∠AED＝90°， ∴AF＝＝＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 22．（2022春•上海期中）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 【分析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB＝∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB＝CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG＝CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； 法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝DH，根据等式的性质得到OG＝OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证． 【解答】证明：法1：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD， ∵CF⊥AD， ∴CF⊥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE∥CF，即AG∥CH， ∴∠AGH＝∠CHG， ∵∠AGB＝180°﹣∠AGH，∠DHC＝180°﹣∠CHG， ∴∠AGB＝∠DHC， ∵AB∥CD， ∴∠ABG＝∠CDH， ∴△ABG≌CDH， ∴AG＝CH， ∴四边形AGCH是平行四边形； 法2：连接AC，与BD相交于点O， 在□ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，∠ABE＝∠CDF，AB∥CD， ∴∠ABG＝∠CDH， ∵CF⊥AD，AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴∠BAG＝∠DCH， ∴△ABG≌CDH， ∴BG＝DH， ∴BO﹣BG＝DO﹣DH， ∴OG＝OH， ∴四边形AGCH是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 23．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x2-15x+50=0的两根，且OA＞OB．请一起解决下列问题： (1)求直线AB的函数表达式； (2)如果P为线段AB上一点，而且BP=AB，联结OP，求OP的函数的表达式； (3)在（2）的条件下，点Q为坐标平面内一点，如果以B、P、O、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为y=x+5； (2)OP的函数的表达式为y=-x； (3)Q的坐标为（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）． 【分析】（1）先解方程可得A、B坐标，再用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式； （2）过P作PC⊥y轴于C，利用三角形的面积公式可求得PC=8，从而可得P（-8，1），再用待定系数法得OP的函数的表达式为y=-x； （3）分三种情况：①以OB、PQ为一组对边，②以OP、BQ为一组对边，③以OP、BQ为一组对边，分别画出图形，根据平移的知识，即可得Q的坐标为（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）． （1） 解：解方程x2-15x+50=0得x=10或x=5， ∵OA＞OB， ∴A（-10，0），B（0，5）， 设直线AB的函数表达式为y=kx+b，将A（-10，0），B（0，5）代入得： ， 解得， ∴直线AB的函数表达式为y=x+5； （2） 解：过P作PC⊥y轴于C，如图： ∵A（-10，0），B（0，5）， ∴S△ABO=OA×OB=25，AB==5，BP=AB， ∴S△PBO=S△ABO=20， ∵S△PBO=OB×PC=20， ∴PC=8， 当x=-8时，y=x+5=1， ∴P（-8，1）， 设OP的函数的表达式为y=k'x，将P（-8，1）代入得： -8k'=1， 解得k'=-， ∴OP的函数的表达式为y=-x； （3） 解：由（1）（2）可知B（0，5）、P（-8，1）、O（0，0）， ①以OB、PQ为一组对边，如图： 把线段OB平移到QP，则B（0，5）平移到P（-8，1），O（0，0）平移到Q， ∴Q（-8，-4）； ②以OP、BQ为一组对边，如图： 把线段OP平移到QB，则P（-8，1）平移到B（0，5），O（0，0）平移到Q， ∴Q（8，4）； ③以OP、BQ为一组对边，如图： O（0，0）平移到B（0，5），则P（-8，1）平移到Q， ∴Q（-8，6）， 综上所述，Q的坐标为（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质等知识，解题的关键是分类思想和数形结合思想的应用． 24．如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．    (1)当时，求t的值． (2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由． (3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在值 (3) 【分析】（1）由题意得，，由平行四边形的性质得出，，，，证出四边形是平行四边形，得出，得出方程，解方程即可； （2）作于，延长交延长线于，由直角三角形的性质得出，，求出平行四边形的面积，由直角三角形的性质得出，，得出，得出的面积，由题意得出方程，解方程即可； （3）证出四边形是平行四边形，得出，由（2）得，，，，求出，由线段垂直平分线的性质得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解析】（1）由题意得：，， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：（秒； （2）不存在，理由如下： 作于，延长交延长线于，如图2所示：    则， ，， 平行四边形的面积， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积， 若的面积是平行四边形面积的， 则， 整理得：， ， 方程无解， 不存在值，使得的面积是平行四边形面积的； （3）存在，理由如下： 延长交延长线于，如图3所示：    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）得：，， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， 解得：， 存在的值，使得点在线段的垂直平分线上，秒． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形面积公式、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题02 平行四边形的性质与判定 知识点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 知识点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 知识点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 题型1 利用平行四边形的性质求解 【例1】下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形两组对边分别平行 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的两组对边分别相等 【例2】如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A． B．6 C．7 D． 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，，点E在上，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【例6】如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（    ） A．36 B．48 C．63 D．75 题型2 平行四边形的性质其他运用 【例7】如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（    ）． A．124° B．114° C．104° D．56° 【例8】如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （    ） A． B． C． D． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________． 【例10】已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）． 【例11】在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上． （1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数． （2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长是无理数． 题型3 利用平行四边形的性质证明 【例12】如图，在中，对角线相交于点，垂足分别为．求证：    (1)； (2)． 【例13】如图，在中，是的中点，作于点，连接，，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③； ④ 【例14】在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG． （1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长； （2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE． 题型4 平行四边形的判定 【例15】如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【例16】在四边形中，对角线与相交于点，给出五组条件：   ①，；  ②，；     ③，；    ④，；     ⑤，．  能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组． A． B． C． D． 【例17】下列四边形中分别标注了部分数据，根据所标数据，则不能判断该四边形是平行四边形的是（    ） A．  B．  C．   D． 【例18】在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（  ）    A． B． C． D． 【例19】▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 【例20】如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 题型5 证明四边形是平行四边形 【例21】如图，已知相交于．    (1)求证：． (2)作关于直线的对称图形，求证：四边形是平行四边形． 【例22】如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【例23】如图，和是平行四边形外的两个三角形，且． 求证：四边形是平行四边形 ．    题型6 平行四边形的存在性 【例24】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【例25】在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点C的坐标 ． 【例26】平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，的长为 ． (2)如图2，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内有一点D，使A、B、、D四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点D的坐标． 【例27】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 题型7 平行四边形的动点问题 【例28】如图，在四边形ABCD中，，，，，E是DC上一点，且，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），当 时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【例29】如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒． (1) ______ 含的代数式表示； (2)如图，连接，，，当时，求的面积； (3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______. 【例30】【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． (1)【问题】填空：　　； (2)当时，求的值； (3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 题型8 平行四边形综合压轴 【例31】在平面直角坐标平面xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+m与直线y＝2x+n都经过点A（2，0），且分别与y轴交于点B和点C． （1）求B、C两点的坐标； （2）设D是直角坐标平面内一点，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且AB是这个平行四边形的边，求点D的坐标． 【例32】（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）在中，，，，点D是AB上的动点，交AC于点E，分别交射线BC、射线AC于点F、G，联结EF． (1)如图1，如果点G恰好平分EC，判断四边形DEFC的形状并证明； (2)如图2，当点F在线段BC的延长线上时，设AD的长为x，梯形DBFE的面积为y，直接写出y关于x的函数关系及其定义域； (3)当时，求的长． ( 9 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【例33】（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图．四边形是平行四边形，AB=BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域； (3)连接，如果以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长． 一、选择题 1．（2022春•浦东新区期中）一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（　　） A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8 2．（2022春•杨浦区期中）在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） ①S△ADO＝S△ABO ②△ADB≌△CBD ③∠BAD＝2∠BAC ④AC＝BD A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 3．（2022秋•虹口区期末）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为(　　) A．2 B． C．4 D． 4．（2022春•浦东新区期末）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB＝CD，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ADB＝∠CBD B．AO＝CO C．∠ABC＝∠ADC D．AD＝BC 5．（2022春•徐汇区期中）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行且相等四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形 D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形 6．（2022春•上海期中）下列说法：（1）当多边形边数增加1条时，它的内角和增加180°．（2）在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，那么这个四边形是平行四边形．（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和．（4）n边形共有（n﹣3）条对角线．（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（2022秋•虹口区期末）已知点A（3，3），B（﹣1，1），C（0，2），以A、B、C、D为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标为 　　． 8．（2022秋•奉贤区期末）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，AD＝6，那么△OBC的周长是 　　． 9．（2022秋•黄浦区期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　　． 10．（2022春•杨浦区期中）如果把对角线与一边垂直的平行四边形称为“联想平行四边形”，现有一个“联想平行四边形”的一组邻边长为4和2，那么它的最小内角为 　　度． 11．（2022春•徐汇区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是　　cm． 12．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的内角和是______． 13．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，平行四边形中，，垂足分别是E、F，，则平行四边形的周长为_______． 14．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______． 15．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，于点，于点，，且，则平行四边形的周长为______． 16．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____cm． 17．（2022春•青浦区期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝　　时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 三、解答题 18．（2022春•青浦区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形． 19．（2022春•上海期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 20．（2022春•徐汇区期中）如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分． 21．（2022春•浦东新区期中）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 22．（2022春•上海期中）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 23．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x2-15x+50=0的两根，且OA＞OB．请一起解决下列问题： (1)求直线AB的函数表达式； (2)如果P为线段AB上一点，而且BP=AB，联结OP，求OP的函数的表达式； (3)在（2）的条件下，点Q为坐标平面内一点，如果以B、P、O、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 24．如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．    (1)当时，求t的值． (2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由． (3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$