专题01：多边形（六大题型） 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题01 多边形 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 知识点二、多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 题型1：多边形的内角和 【例1】正多边形的一个内角等于，则该多边形是正（        ）边形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案． 【详解】解：设正多边形是n边形，由题意得 （n-2）×180°=144°n． 解得n=10， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式． 【例2】如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（    ） A．18° B．25° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】根据多边形内角和公式求出正方形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵正方形的每个内角的度数是90°， 正六边形的每个内角的度数是=120°， ∴∠1=120°-90°=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和等知识点，能分别求出正方形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键． 【例3】有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 【例4】下列命题中，正确的是（    ） A．正多边形都是中心对称图形 B．正多边形一个内角的大小与边数成正比例 C．正多边形一个外角的大小与边数成反比例 D．边数大于3的正多边形的对角线长都相等 【答案】C 【分析】依据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解． 【详解】解：A当正多边形的边数是偶数时，正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，当正多边形的边数是奇数时，正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故正多边形不一定是中心对称图形，选项错误，不符合题意； B．正多边形一个内角的大小是，不符合正比例的关系，故选项错误，不符合题意； C．正多边形一个外角等于，正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例；故选项正确，符合题意； D．边数大于3的正多边形的对角线长不一定相等，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的一些性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 题型2：多边形外角和 【例5】正n边形的每一个外角都不大于，则满足条件的多边形边数最少为（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的外角和等于360°，列不等式即可解答． 【详解】解：由正n边形的每一个外角都不大于，可得： ∴，解得：， 满足条件的多边形边数最少为9． 故选C． 【点睛】本题考查了利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度． 【例6】一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是_____°． 【答案】1440 【分析】由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解． 【详解】， ． 即这个多边形的内角和是， 故答案为：1440． 【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键． 题型3：多边形的内角和与外角和综合问题 【例7】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是_____边形． 【答案】十 【分析】设多边形的边数为n，根据题意列方程求出n的值即可． 【详解】设多边形的边数为n，根据题意列方程得 (n-2)·180º=4×360º 解得n=10 ∴这个多边形是十边形． 故答案为：十 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理和外角和定理，n边形(n≥3)的内角和等于(n-2)·180º，n边形的外角和等于360º．熟练掌握这两个定理是解题的关键． 【例8】如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形是________边形． 【答案】六 【分析】设外角的度数是x，利用外角与相邻内角和为180°求得外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出多边形的边数． 【详解】解：设多边形的外角的度数是x，则内角是2x， 则x+2x=180°， 解得：x=60°， 则这个多边形的边数是：360°÷60°=6． 故答案为：六 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键． 【例9】如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 【答案】(1)15 (2)45 (3) 【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：45 （3）解：根据题意，得， 解得， ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 题型4：多边形的对角线与分成三角形的个数问题 【例10】如图，一个四边形可以分成2个三角形；一个五边形可以分成3个三角形；一个六边形  可以分成4个三角形…．那么，一个边形可以分成_____个三角形． 【答案】8 【分析】根据题意可得一个多边形可以分成的三角形的个数为边数减2，据此求解即可/． 【详解】根据分析可得： （个）； 答：一个边形可以分成8个三角形． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是熟练掌握多边形的性质． 【例11】多边形的共有14条对角线，这个多边形的内角和为__________． 【答案】900°##900度 【分析】设这个正多边形是n边形，根据n边形共有对角线条，即可列出方程：，求解即可；根据多边形的内角和为：（n2）×180°，可求出其内角和． 【详解】解：设这个正多边形是n边形，根据题意得： ， 解得：n1=7，n2=-4（不符题意，舍去）． 故这个多边形是七边形 （72）×180° =5×180° =900°． 故这个多边形内角和的度数是900°． 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，多边形内角与外角．用到的知识点：n边形共有对角线条；多边形的内角和为：（n2）×180°． 【例12】已知从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为10个三角形，则此多边形的内角和是____________ 【答案】1800° 【分析】从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分为10个三角形，则此多边形内角和就是这10个三角形的角的和．因而此多边形内角和是10×180°＝1800°． 【详解】解：10×180°＝1800°， 故答案为：1800°． 【点睛】把一个多边形求内角和的问题转化为三角形的问题，体现了数学中的转化思想． 【例13】如图，为正五边形． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查正多边形性质及全等三角形判定及性质． （1）根据题意，利用正五边形性质公式得出每个内角度数，即为本题答案； （2）根据题意证明，继而得出结论． 【解析】（1）解：∵正五边形的每一个内角的度数为：， ∴； （2）解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 题型5：剪去一个角问题 【例14】从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（  ）. A．15 B．17 C．19 D．13 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理可表示出去除的内角的度数，由多边形的一个内角的度数大于0°而小于180°即可求出n的取值范围，根据n为正整数即可得答案. 【详解】∵一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°， ∴去除的内角的度数为(n-2)180°-2580°， ∴0<(n-2)180°-2580°<180°， 解得：16<n<17， ∵n为正整数， ∴n=17， 故选B. 【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和定理是解题关键. 【例15】若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【答案】130° 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果. 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n， 则（n-2）×180°-x=2570°， n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°， ∵0°＜x＜180°， 解得16.2＜n＜17.2， 又∵n为正整数， ∴n=17， 则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°． 【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围内取正整数即为n的值. 【例16】如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影 新多边形内角和比原多边形的内角和增加了． 新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． 新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了． 将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17． 【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解； ②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解； ③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解； （2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】如图所示： 设新多边形的边数为n， 则， 解得， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 故原多边形的边数可以为15，16或17． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 题型6：平面镶嵌问题 【例17】商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有__ （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有__． 【答案】     ①②③     ①和②；①和③；②和④ 【分析】几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．据此作答． 【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为 （1）∵ 使用其中的一种规格的地砖，那么有：正方形、正三角形、正六边形，一共3种方案； （2）∵ 使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案； 故答案为：（1）①②③；（2）①和②；①和③；②和④． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°． 【例18】如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解． 【详解】解：∵五边形的内角和为 ∴正五边形的每一个内角为 ∴正五边形的每一个外角为 如图，延长正五边形的两边相交于点O，则 ∵已经有3个五边形， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形． 一、选择题 1．（2021春•闵行区期中）如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】n边形的内角和为（n﹣2）180°，由此列方程求n的值． 【解析】设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）180°＝900°， 解得n＝7， 故选：B． 2．（2021春•松江区期中）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点可以作7条对角线 B．凸多边形的外角和与边数成正比例关系 C．凸多边形的内角中最多只有3个锐角 D．凸多边形的内角和一定大于它的外角和 【分析】根据多边形的内角和与外角和等有关知识进行判断即可． 【解析】A，过七边形一个顶点可以作4条对角线，故此选项不符合题意； B，凸多边形的外角和是360°，与边数无关，故此选项不符合题意； C，凸多边形的内角中最多只有3个锐角，故此选项符合题意； D，三角形的内角和小于它的外角和，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（2021•宝山区二模）正多边形的一个内角为144°，那么该正多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数． 【解析】∵正多边形的一个内角是144°， ∴该正多边形的一个外角为36°， ∵多边形的外角之和为360°， ∴边数＝＝10， ∴这个正多边形的边数是10． 故选：C． 4．（2021•徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【解析】剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）•180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）•180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）•180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 5．（2021•青浦区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（　　） A．360° B．720° C．1080° D．1440° 【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解． 【解析】多边形的边数是：360÷45＝8． 则内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°． 故选：C． 6．（2021春•南岗区期末）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【解析】设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°＝2×360， 解得：n＝6． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 二、填空题 7（2024春•浦东新区期末）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是____ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【分析】任何多边形的外角和是360度，n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解析】设这个多边形的边数是n，根据题意得： （n﹣2）•180＝360， 解得：n＝4， 8．（2021春•闵行区期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角是外角的3倍，那么这个多边形的边数是 　　． 【分析】设外角的度数是x，利用外角与相邻内角和为180°求得外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出多边形的边数． 【解析】设多边形的外角的度数是x，则内角是3x， 则x+3x＝180°， 解得：x＝45°， 则这个多边形的边数是：360°÷45°＝8． 故答案为：8． 9．（2021春•静安区期末）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 　　度． 【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作2条对角线，则这个多边形是五边形．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和． 【解析】多边形的边数是2+3＝5， 则内角和是（5﹣2）×180＝540°． 故答案是：540． 10．（2021春•长宁区期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 　　． 【分析】根据多边形的内角和是180的整数倍数求解即可． 【解析】根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180°的整数倍数， 是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720， 故多边形的内角和为720°， 这个凸多边形的边数为：+2＝6， 故答案为：6． 11．（2021春•黄浦区期末）如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于 　． 【分析】根据n边形的外角和为360°得到正五边形的每个外角的度数360°÷5＝72°，然后利用邻补角的定义即可得到正八边形的每个内角为180°﹣72°＝108°． 【解析】由题意知，此五边形为正五边形， ∵正五边形的外角和为360°， ∴正五边形的每个外角的度数为：360°÷5＝72°， ∴正五边形的每个内角的度数为：180°﹣72°＝108°． 故答案为：108． 三、解答题 12．（2021春•浦东新区期中）若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？ 【分析】设这个多边形的边数是n，由题意“一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°”列出方程，解方程即可． 【解析】设这个多边形的边数是n， 由题意得：（n﹣2）×180°＝360°+90°， 解得：n＝12， 答：这个多边形的边数是12． 13．（2023春•浦东新区期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足∠A：∠B：∠C＝5：6：7，求四个内角的度数分别是多少 【分析】先根据四边形ABCD的相对的两个内角互补，及已知求出∠A，从而得出∠C，∠B，∠D的度数． 【解析】∵四边形ABCD的相对的两个内角互补，∠A：∠B：∠C＝5：6：7， ∴∠A＝180°×＝75°， ∴∠C＝180°﹣75°＝105°， ∴∠B＝∠A＝90°， ∴∠D＝180°﹣90°＝90°． 故答案为：75°，90°，105°，90°． 14．（2024普陀区期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠3＝75°，∠2＝∠4＝65°，求∠AED． 【分析】如图，根据任意多边形的外角和等于360°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，那么∠5＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝80°，从而解决此题． 【解析】如图． ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠5＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝80°． ∴∠AED＝180°﹣∠5＝100°． 15．（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为＝2． （2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为＝5． （3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有　9　条，算法为　　． （4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数． 【分析】根据（1）（2）所给算法计算即可． 【解析】（3）六边形，可以作出它的对角线有9条，算法：＝9； 故答案为：9；＝9； （4）n的多边形对角线条数的算法及条数． 16．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正多边形的内角． （1）根据正五边形的内角和公式即可求解； （2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解； （3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可． 【解析】（1）解：正五边形内角和为， 故； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意得：， 解得：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题01 多边形 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 知识点二、多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 题型1：多边形的内角和 【例1】正多边形的一个内角等于，则该多边形是正（        ）边形． A． B． C． D． 【例2】如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（    ） A．18° B．25° C．30° D．45° 【例3】有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【例4】下列命题中，正确的是（    ） A．正多边形都是中心对称图形 B．正多边形一个内角的大小与边数成正比例 C．正多边形一个外角的大小与边数成反比例 D．边数大于3的正多边形的对角线长都相等 题型2：多边形外角和 【例5】正n边形的每一个外角都不大于，则满足条件的多边形边数最少为（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【例6】一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是_____°． 题型3：多边形的内角和与外角和综合问题 【例7】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是_____边形． 【例8】如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形是________边形． 【例9】如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 题型4：多边形的对角线与分成三角形的个数问题 【例10】如图，一个四边形可以分成2个三角形；一个五边形可以分成3个三角形；一个六边形  可以分成4个三角形…．那么，一个边形可以分成_____个三角形． 【例11】多边形的共有14条对角线，这个多边形的内角和为__________． 【例12】已知从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为10个三角形，则此多边形的内角和是__ 【例13】如图，为正五边形． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 题型5：剪去一个角问题 【例14】从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（  ）. A．15 B．17 C．19 D．13 【例15】若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【例16】如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影 新多边形内角和比原多边形的内角和增加了． 新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． 新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了． 将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 题型6：平面镶嵌问题 【例17】商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有__ （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有__． 【例18】如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 一、选择题 1．（2021春•闵行区期中）如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2021春•松江区期中）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点可以作7条对角线 B．凸多边形的外角和与边数成正比例关系 C．凸多边形的内角中最多只有3个锐角 D．凸多边形的内角和一定大于它的外角和 3．（2021•宝山区二模）正多边形的一个内角为144°，那么该正多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2021•徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 5．（2021•青浦区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（　　） A．360° B．720° C．1080° D．1440° 6．（2021春•南岗区期末）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 二、填空题 7（2024春•浦东新区期末）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是_____ 8．（2021春•闵行区期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角是外角的3倍，那么这个多边形的边数是 　　． 9．（2021春•静安区期末）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 　　度． 10．（2021春•长宁区期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 　　． 11．（2021春•黄浦区期末）如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于 　． 三、解答题 12．（2021春•浦东新区期中）若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？ 13．（2023春•浦东新区期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足∠A：∠B：∠C＝5：6：7，求四个内角的度数分别是多少 14．（2024普陀区期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠3＝75°，∠2＝∠4＝65°，求∠AED． 15．（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为＝2． （2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为＝5． （3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有　9　条，算法为　　． （4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数． 16．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$