第07讲 多边形（4个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第07讲 多边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01多边形的概念与分类.......................................................................................................................................................3 题型02多边形对角线的条数问题...............................................................................................................................................4 题型03多边形内角和问题...........................................................................................................................................................6 题型04正多边形的内角问题.......................................................................................................................................................8 题型05多边形截角后的内角和问题...........................................................................................................................................9 题型06正多边形的外角问题.......................................................................................................................................................10 题型07多边形外角和的实际应用...............................................................................................................................................12 题型08多边形内角和与外角和综合...........................................................................................................................................12 题型09平面镶嵌............................................................................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................17 夯实基础.........................................................................................................................................................................................17 能力提升........................................................................................................................................................................................30 知识点1．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点2．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 知识点3．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点4．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 题型01多边形的概念与分类 1．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据四边形的定义“由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形”进行分析判断即可． 【详解】解：A.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意； B.因为，所以能组成四边形，故本选项符合题意； C.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意； D.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了四边形的定义，熟练掌握四边形的定义是解题关键． 2．（20-21八年级下·上海青浦·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【答案】 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 【点睛】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键． 题型02多边形对角线的条数问题 3．（22-23八年级下·上海静安·期中）若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为， 故选C． 【点睛】本题主要考查多边形边数与对角线数量及内角和的关系，熟练掌握相关公式是关键． 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 【答案】12 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 5．（2022八年级下·上海·专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？ 【答案】是十二边形，它的每个内角150° 【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形对角线的条数问题 【分析】根据多边形从一个顶点引出的对角线条数公式（n﹣3）求出多边形的边数，再根据多边形的内角和即可求解每个内角． 【详解】解：设多边形边数为n， ∵从凸多边形的一个顶点出发可以引出9条对角线， ∴n﹣3＝9， 解得n＝12， 所以，它是十二边形， 它的每个内角＝×（12﹣2）×180°＝150°． 答：它是十二边形，它的每个内角150°． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形对角线公式求出边数是解题的关键． 题型03多边形内角和问题 6．（22-23八年级下·上海静安·期中）在一个凸多边形中，它的内角和是，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是掌握边形的内角和等于． 7．（23-24八年级下·上海闵行·期中）一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，多边形对角线有条，据此求出多边形的边数，再根据多边形的内角和定理即可求解，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形是边形，由题意得： ， ∴， ∴这个多边形的内角和， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图所示，求． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查三角形外角的性质，多边形内角和，设与、的交点为、，根据三角形外角的性质得到,，即可求出答案，正确理解三角形外角性质将角度进行转化是解题的关键 【详解】解：设与、的交点为、， ∵, ∴ ∴ 题型04正多边形的内角问题 9．（23-24八年级下·上海青浦·期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形的外角问题、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形外角和为，正多边形的性质；根据多边形的每个内角相等，则其每个外角也相等，再由多边形外角和为即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴正八边形的每个内角相等， ∵正八边形的每个内角与其外角互补， ∴正八边形的每个外角相等， ∵多边形外角和为， ∴； 故选：D． 10．（22-23八年级下·上海徐汇·阶段练习）如果一个正边形的内角和小于外角和，那么等于 ． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题、正多边形的外角问题 【分析】根据任意多边形的外角都为，结合题意即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角都为，如果一个正边形的内角和小于外角和 ∴ 解得： 又∵且为正整数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和，熟练掌握正多边形的内角和与外角和是解题的关键． 题型05多边形截角后的内角和问题 11．（2021·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 12．（21-22八年级下·上海青浦·期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 【答案】17，18或19 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18， 则多边形的边数是17，18或19， 故答案为：17，18或19． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 题型06正多边形的外角问题 13．正多边形的每一个内角都是，那么这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】D 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】根据题意，计算出多边形的外角的度数，再根据外角和除以外角度数得边数即可． 【详解】解：因为正多边形的每一个内角都是， 所以正多边形的每一个外角都是， 所以这个正多边形的边数是， 即：这个正多边形是正八边形， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形外角和是这一知识点；根据题意求出，每个外角的度数是解决本题的关键． 14．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【答案】/度 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【详解】解：向左转的次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 题型07多边形外角和的实际应用 15．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于．利用多边形的外角和特征即可解决问题． 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 16．一个五边形五个外角度数的比是2：3：4：5：6，则这个五边形最大的一个外角的度数是 ． 【答案】108° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据五边形五个外角度数的比是2：3：4：5：6，则可以设最小的一个是2x°，则另外几个角就可用x表示出来，根据五边形的外角和是360度，即可列方程求解． 【详解】设最小的一个是2x°，则另外四个外角的度数分别是：3x°，4x°，5x°，6x°． 根据五边形的外角和定理得到：2x+3x+4x+5x+6x=360， 解得：x=18． 则最大的外角是：6×18=108°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化． 题型08多边形内角和与外角和综合 17．（2024八年级下·上海·专题练习）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解答本题的关键． 设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为，则相邻的内角为，由题意得， ， 解得：， 多边形的外角和为， ， 这个多边形的边数为10． 故选：C． 18．（21-22八年级下·上海·期中）如果一个多边形的每个内角都等于，那么这个多边形是 边形． 【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出每一个外角的度数，再用除以每个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数． 故答案是：． 19．（八年级下·上海·课后作业）附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 【答案】α5=172°；α6=60°，α8=45°，α=． 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】如图，延长BA到F，根据多边形外角和为360°可得∠EAF的度数，根据正多边形内角和可得∠ABC=∠BAE=108°，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA=36°，利用三角形外角性质可得α=∠EAF，即可得正五边形中α的值，讨论可得α6、α8的值，根据所得规律即可得当正多边形的边数是n时α的值. 【详解】如图，延长BA到F， ∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角， ∴∠EAF=360°÷5=72°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°， ∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB， ∴α=∠EAF=72°， 同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°， 当正多边形的边数是n时，α=． 故答案为36°；60°；45°； 【点睛】本题考查多边形内角与外角及等腰三角形的性质．通过特例分析从而归纳总结出一般结论是解题关键. 题型09平面镶嵌 20．（2022八年级下·上海·专题练习）客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，如果要用完整的地砖铺满客厅的地面，那么下列规格的地砖（单位：厘米）中，可以选择（　　） A．48×48 B．50×50 C．60×60 D．80×80 【答案】C 【知识点】平面镶嵌、公因数与最大公因数 【分析】先换算6米＝600厘米，4.8米＝480厘米，再找600和480的公约数即可得到结论． 【详解】解：6米＝600厘米，4.8米＝480厘米， 600和480的最大公约数是120， 选项中只有60是120的因数． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的密铺，找到600和480 的公约数是解题的关键． 21．（2022八年级下·上海·专题练习）商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有 ． 【答案】 ①②③ ①和②；①和③；②和④ 【知识点】平面镶嵌 【分析】几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．据此作答． 【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为 （1）∵ 使用其中的一种规格的地砖，那么有：正方形、正三角形、正六边形，一共3种方案； （2）∵ 使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案； 故答案为：（1）①②③；（2）①和②；①和③；②和④． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°． 22．（2023八年级下·上海·专题练习）小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有，，，（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 【答案】选的正方形地砖，需要80块地砖可以铺满客厅 【知识点】平面镶嵌 【分析】小明家装修新房，准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选的正方形地砖，然后求出块数即可． 【详解】解：∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的， ∴符合要求的是选的正方形地砖； ，， （块）， 答：需要80块地砖可以铺满客厅． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，关键是找到符合要求的公因数． 夯实基础 一、单选题 1．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（   ） A．900° B．720° C．540° D．360° 【答案】C 【分析】n边形的内角和公式为：，再根据内角和公式计算即可． 【详解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540° 因此五边形的内角和是540°． 故选：C 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式（n-2）×180°的灵活运用．熟悉多边形的内角和公式是解本题的关键． 2．下列正多边形中和正三角形组合，不能铺满地面的是（    ） A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A选项，正方形的每个内角等于90°，90°×2+60°×3=360°，故该选项不符合题意； B选项，正八边形的每个内角等于135°，与正三角形不能铺满地面，故该选项符合题意； C选项，正十二边形的每个内角等于150°，150°×2+60°=360°，故该选项不符合题意； D选项，正六边形的每个内角等于120°，120°×2+60°×2=360°，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握“判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能”是解题的关键． 3．一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，根据镶嵌的条件解答即可． 【详解】解：一个正多边形每个内角都等于， ， 需要正三角形， 故选：． 【点睛】此题考查平面图形镶嵌，关键是根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°解答． 4．凸边形中有且仅有两个内角为钝角，则的最大值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据凸多边形的外角和等于，内角与外角互为邻补角即可得出答案． 【详解】凸边形中有且仅有两个内角为钝角 其外角中有且仅有两个锐角，两个锐角之和 剩余的外角之和，其剩余的外角均 则剩余的外角越接近，n就越大 因此，剩余的外角最多有3个 即n的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和、外角的定义等知识点，将内角问题转化为外角问题是解题关键． 5．如图，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、多边形内角和等知识．理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 如图，根据三角形外角的定义和性质可得，，再结合四边形内角和等于，计算求解可得结果． 【详解】解：如图，    ∵， 又∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 7．若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】九 【分析】根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题． 【详解】解：任意n边形的一个顶点可引出的对角线的条数为条． ∴． ∴． ∴这个多边形是九边形． 故答案为：九． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系是解决本题的关键． 8．若n边形共有9条对角线，则n为 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的公式，熟记公式是解题的关键． 根据多边形的对角线公式列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则， 解得， 故答案为：6． 9．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 ． 【答案】9 【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】根据题意，得 （n-2）•180=1260， 解得：n=9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了多边形内角和以及多边形内角和外角的关系，解题的关键是熟练掌握多边形内角和以及多边形内角和外角的关系． 10．过五边形的一个顶点可作 条对角线,可将五边形分成 个三角形． 【答案】 2 3 【分析】过n边形的一个顶点可作(n－3)条对角线，可将n边形分成(n－2)个三角形． 【详解】解：过五边形的一个顶点可作2条对角线，可将五边形分成3个三角形． 故答案为：2，3. 【点睛】本题主要考查的是多边形对角线和分割三角形的个数问题，属于基础题型． 11．多边形的内外角和： n边形(n≥3)的内角和是 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 ． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和定理和外有和定理求解即可． 【详解】解：n边形(n≥3)的内角和是 n边形(n≥3)的外角和是 正n边形的每个外角的度数是的，每个内角的度数是 故答案为：；；； 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和与外角． 12．正多边形的每个内角等于，则这个正多边形的边数为 条． 【答案】12 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 13．在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】n边形的内角和为（n-2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用1105°除以180°，所得余数和去掉的一个内角互补． 【详解】解：∵1105°÷180°=6…25°， ∴去掉的内角为180°-25°=155°， 设这个多边形为n边形， 则（n-2）×180°=1105°+155°， 解得n=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数． 14．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，则这个多边形的边数是 . 【答案】9 【分析】根据多边形的内角和公式°，用1350除以180，商就是n-2，余数就是加上那个外角的度数. 【详解】1350180=790, 解得n=9 故答案为9. 【点睛】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式及计算法则是解题关键. 15．（1）如图1所示， ； （2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为 ． 【答案】 360° 720° 1080° 【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案； （2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M ∵，， ∴； 故答案为：360° （2）如图，连接，交于点M ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴二环四边形的内角和为： ∵二环三角形的内角和为： 二环四边形的内角和为： ∴二环五边形的内角和为： ∴二环n边形的内角和为： 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解． 三、解答题 16．从八边形的一个顶点出发，可以作几条对角线？它们将八边形分成几个三角形？这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系？ 【答案】从八边形的一个顶点出发可以作5条对角线，它们将八边形分成6个三角形，这些三角形的内角和与八边形的内角和相等． 【分析】根据从n边形的一个顶点出发，可以作（n﹣3）条对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形，n边形的内角和＝（n﹣2）×180°进行解答即可． 【详解】解：从八边形的一个顶点出发可以作5条对角线，它们将八边形分成6个三角形，八边形的内角和等于这些三角形的内角和． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的计算和多边形的内角和定理，掌握从n边形的一个顶点出发，可以作（n﹣3）条对角线，它们将n边形分成（n﹣2）个三角形是解题的关键． 17．已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°． (1)求这个外角的度数； (2)求它的边数. 【答案】(1)这个外角的度数是31°； (2)边数为13 【分析】根据多边形的内角和公式，用2011°除以180°，商加上2就是这个多边形的边数，余数是这个多边形的一个外角度数求解即可． 【详解】（1）解：∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°， 2011°÷180°=11…31°， ∴这个外角的度数是31°； （2）解：∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°=11…31°， ∴这个多边形的边数为：11+2=13． 【点睛】此题考查了多边形的内角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 18．一个多边形的内角和比它的外角和的 倍少，求这个多边形的边数． 【答案】11 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数是n， 则（n-2）•180°=360°×5-180°， 解得n=11． 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关． 19．在四边形中，． (1)找出互相平行的边． (2)若与的度数之比是2∶1，求各内角的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据四边形的内角和和平行线的判定定理即可得出结论； （2）根据比例的性质即可得出结论． 【详解】（1），， ，， ，； （2）由（1）知，， 与的度数之比是2∶1， ，， ，． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，四边形内角和定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 20．若一个多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求这个多边形的边数和内角和． 【答案】这个多边形为五边形，内角和为 【分析】本题主要考查多边形内角和公式以及多边形的外角，熟悉公式是解题的关键，由于n边形的内角和是，而多边形的外角大于0度，且小于180度，因而用减去一个外角的度数后，得到的内角和能够被180整除，其商加上2所得的数值，就是多边形的边数，进而即可求解． 【详解】解：设边数为n，一个外角为α， 则； ∴； ∵，n为正整数； ∴为正整数； ∴， ∴， ∴这个多边形为五边形，内角和为． 21．如图，四边形中，，分别是，的中垂线，，求和的度数． 【答案】， 【分析】连接AC．则AB＝AC＝AD，根据等腰三角形性质可求∠BAD＝2∠EAF、∠ABD、∠ADB的度数；根据四边形内角和可求∠C、∠ADC． 【详解】解：如图，连接． ∵分别是，的中垂线， ∴． ∴与关于对称，与关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，由此可推出． ∴； 在四边形中， ． ∴在四边形中， ． 【点睛】此题综合考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、四边形内角和定理等知识点，难度中等．作出辅助线很关键． 22．如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD和CE的交点，求∠BHC的度数. 【答案】120°． 【分析】根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数． 【详解】∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，∴∠ADB=∠AEC=90°， 而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，∴∠EHD=180°﹣60°=120°，∴∠BHC=120°． 【点睛】本题考查了四边形的内角和以及三角形高的意义，解答此类题的关键是利用四边形的内角和为360°． 能力提升 一、单选题 21．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是(    ) (1)正三角形    (2)正五边形   (3)正六边形    (4)正八边形 A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4) 【答案】B 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°,据此解答即可. 【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．∵3×60°＋2×90°＝360°，∴能镶嵌平面； ②正方形的每个内角是90°，正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，90m＋108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，不能镶嵌平面； ③正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m＋120n＝360°，m＝4−，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，不能镶嵌平面； ④正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为180°−360°÷8＝135°，∵90°＋2×135°＝360°，∴能镶嵌平面． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是图形的镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 22．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是（　　） A．这个多边形是十边形 B．这个多边形的内角和是1800° C．这个多边形的每个内角都是144° D．这个多边形的外角和是360° 【答案】B 【分析】用360°除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角与相邻的外角互为补角和多边形的内角和公式与外角和定理对各选项分析判断即可得解． 【详解】多边形的边数为：360°÷36°=10， 所以，多边形的内角和为：（10-2）•180°=1440°， 每一个内角为：180°-36°=144°， 多边形的外角和为：360°， 所以，说法错误的是B选项． 故选B． 【点睛】考查了多边形内角与外角，主要利用了多边形的内角和公式与外角和定理，根据外角和求出边数是解题的关键． 二、填空题 23．多边形的内角中，锐角的最多的个数为a，内角和为的多边形的边数为b，如果以a、b为等腰三角形的两边，则这个三角形的周长为 ． 【答案】67 【分析】先利用多边形的外角和求解，再利用多边形的内角和求解 再分两种情况讨论：以为腰或以为底，再结合三角形的三边关系，从而可得答案. 【详解】解： 多边形的外角和为 任意多边形的外角中最多只有个钝角， 多边形的内角中，锐角的最多的个数为个， 内角和为的多边形的边数为b， 当为等腰三角形的腰时，＜ 舍去， 当为等腰三角形的底边，则为腰，此时三角形成立， 故答案为： 【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练运用以上知识是解题的关键. 24．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则 ． 【答案】84 【分析】根据正三角形和正五边形的内角即可证明. 【详解】解：设图形的交点为A,B,C, 如下图,∵正三角形的每个内角为60°,正五边形的每个内角为108°, ∴∠1=180°-∠BAC-60°, ∠2=180°-∠ABC-108°, ∠3=180°-∠BCA-108°, ∴540°-（∠BAC+∠ABC+∠BCA）-（60°+108°+108°）=84°. 【点睛】本题考查了正多边形的内角,三角形内角和,中等难度,熟悉正多边形概念,是解题关键. 三、解答题 25．若一个多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求这个多边形的边数和内角和． 【答案】这个多边形为五边形，内角和为 【分析】本题主要考查多边形内角和公式以及多边形的外角，熟悉公式是解题的关键，由于n边形的内角和是，而多边形的外角大于0度，且小于180度，因而用减去一个外角的度数后，得到的内角和能够被180整除，其商加上2所得的数值，就是多边形的边数，进而即可求解． 【详解】解：设边数为n，一个外角为α， 则； ∴； ∵，n为正整数； ∴为正整数； ∴， ∴， ∴这个多边形为五边形，内角和为． 26．如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．    (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明即可得出结论； （2）求出，由全等形的性质可得，然后根据三角形外角的性质即可求解； 【详解】（1）证明：多边形是正五边形， ，， 在和中，， ， ； （2）解：多边形是正五边形， ， ， ， 是的外角， ． 【点睛】本题考查了正五边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 多边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01多边形的概念与分类.......................................................................................................................................................3 题型02多边形对角线的条数问题...............................................................................................................................................4 题型03多边形内角和问题...........................................................................................................................................................6 题型04正多边形的内角问题.......................................................................................................................................................8 题型05多边形截角后的内角和问题...........................................................................................................................................9 题型06正多边形的外角问题.......................................................................................................................................................10 题型07多边形外角和的实际应用...............................................................................................................................................12 题型08多边形内角和与外角和综合...........................................................................................................................................12 题型09平面镶嵌............................................................................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................17 夯实基础.........................................................................................................................................................................................17 能力提升........................................................................................................................................................................................30 知识点1．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点2．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 知识点3．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点4．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 题型01多边形的概念与分类 1．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（20-21八年级下·上海青浦·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 题型02多边形对角线的条数问题 3．（22-23八年级下·上海静安·期中）若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 5．（2022八年级下·上海·专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？ 题型03多边形内角和问题 6．（22-23八年级下·上海静安·期中）在一个凸多边形中，它的内角和是，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24八年级下·上海闵行·期中）一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度． 8．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图所示，求． 题型04正多边形的内角问题 9．（23-24八年级下·上海青浦·期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·上海徐汇·阶段练习）如果一个正边形的内角和小于外角和，那么等于 ． 题型05多边形截角后的内角和问题 11．（2021·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 12．（21-22八年级下·上海青浦·期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 题型06正多边形的外角问题 13．正多边形的每一个内角都是，那么这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 14．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 题型07多边形外角和的实际应用 15．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 16．一个五边形五个外角度数的比是2：3：4：5：6，则这个五边形最大的一个外角的度数是 ． 题型08多边形内角和与外角和综合 17．（2024八年级下·上海·专题练习）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 18．（21-22八年级下·上海·期中）如果一个多边形的每个内角都等于，那么这个多边形是 边形． 19．（八年级下·上海·课后作业）附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 题型09平面镶嵌 20．（2022八年级下·上海·专题练习）客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，如果要用完整的地砖铺满客厅的地面，那么下列规格的地砖（单位：厘米）中，可以选择（　　） A．48×48 B．50×50 C．60×60 D．80×80 21．（2022八年级下·上海·专题练习）商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有 ． 22．（2023八年级下·上海·专题练习）小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有，，，（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 夯实基础 一、单选题 1．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（   ） A．900° B．720° C．540° D．360° 2．下列正多边形中和正三角形组合，不能铺满地面的是（    ） A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正六边形 3．一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 4．凸边形中有且仅有两个内角为钝角，则的最大值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 7．若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 边形． 8．若n边形共有9条对角线，则n为 . 9．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 ． 10．过五边形的一个顶点可作 条对角线,可将五边形分成 个三角形． 11．多边形的内外角和： n边形(n≥3)的内角和是 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 ． 12．正多边形的每个内角等于，则这个正多边形的边数为 条． 13．在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为 ． 14．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，则这个多边形的边数是 . 15．（1）如图1所示， ； （2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为 ． 三、解答题 16．从八边形的一个顶点出发，可以作几条对角线？它们将八边形分成几个三角形？这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系？ 17．已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°． (1)求这个外角的度数； (2)求它的边数. 18．一个多边形的内角和比它的外角和的 倍少，求这个多边形的边数． 19．在四边形中，． (1)找出互相平行的边． (2)若与的度数之比是2∶1，求各内角的度数． 20． 若一个多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求这个多边形的边数和内角和． 21．如图，四边形中，，分别是，的中垂线，，求和的度数． 22．如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD和CE的交点，求∠BHC的度数. 能力提升 一、单选题 21．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是(    ) (1)正三角形    (2)正五边形   (3)正六边形    (4)正八边形 A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4) 22．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是（　　） A．这个多边形是十边形 B．这个多边形的内角和是1800° C．这个多边形的每个内角都是144° D．这个多边形的外角和是360° 二、填空题 23．多边形的内角中，锐角的最多的个数为a，内角和为的多边形的边数为b，如果以a、b为等腰三角形的两边，则这个三角形的周长为 ． 24．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则 ． 三、解答题 25．若一个多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求这个多边形的边数和内角和． 26．如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．    (1)求证：． (2)求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$