专题06 四边形55道压轴题型专训（11大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题06 四边形55道压轴题型专训（11大题型） 【题型目录】题型一 多边形内角和综合 题型二 平行四边形的判定与性质压轴题 题型三 矩形的判定与性质压轴题 题型四 菱形的判定与性质压轴题 题型五 正方形的判定与性质压轴题 题型六 平行四边形的动点问题 题型七 平行四边形的存在性问题 题型八 平行四边形中的折叠问题 题型九 平行四边形中的最值问题 题型十 三角形中位线压轴题 题型十一 平行四边形综合 【经典例题一 多边形内角和综合】 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为(   ) A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点、分别是的边、的中点，边分别与、相交于点、，且，，连接、、，现在下列四个结论：①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 ．（填序号） 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是 ° 5．（24-25七年级下·安徽·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【经典例题二 平行四边形的判定与性质压轴题】 6．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，线段相交于点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 7．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 8．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ． 9．（2025·陕西西安·一模）如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接DE，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 10．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图 ①， 在运动过程中， 若平分， 且满足， 求的度数； (2)如图 ②，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点F，连结，若，求的面积． (3)如图 ③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止运动），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形． 【经典例题三 矩形的判定与性质压轴题】 11．（23-24八年级下·安徽六安·期末）在矩形中，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点，下列说法错误的是（    ） A．存在无数个平行四边形 B．当，且四边形是矩形，的长为 C．当四边形是菱形时，的长度为 D．当四边形是正方形时，的长度为 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （    ） A． B． C．11 D．12 13．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为 14．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ． 15．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【经典例题四 菱形的判定与性质压轴题】 16．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 18．（2025·天津和平·一模）如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为 的长为 ； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为 ． 19．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 20．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 【经典例题五 正方形的判定与性质压轴题】 21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 23．（24-25八年级下·上海·期中）四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ． 24．（2025·江西上饶·一模）已知正方形的边长为6，P（不与点A重合）为射线上的动点，点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为 ．    25．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 【经典例题六 平行四边形的动点问题】 26．（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点H在矩形内，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 28．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 29．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ． 30．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）在正方形中，点、分别为边、上的动点，且 ． (1)如图①，求证：； (2)如图②，当点为线段中点，连接，求证：； (3)如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________． 【经典例题七 平行四边形的存在性问题】 31．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 33．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 34．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离为？ (2)当t为何值时，． (3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 平行四边形中的折叠问题】 36．（2025·浙江·模拟预测）如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 37．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为 ． 39．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 40．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． (2)迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【经典例题九 平行四边形中的最值问题】 41．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 42．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    43．（2024·河南安阳·一模）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 44．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               45．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【经典例题十 三角形中位线压轴题】 46．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 47．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，分别为边，上的点，，分别为，的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 48．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 49．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，、分别是、的中点． (1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． (2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． (3)如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 50．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【经典例题十一 平行四边形综合】 51．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知在三角形中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接，将线段绕D点顺时针旋转60°，得到线段（点E不与点B重合）．连接．取的中点P，连接． (1)如图（1），当点E落在线段上时，取的中点G，的中点H，连接， ①求证：； ②求证：． (2)当，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 52．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 53．（2023·四川南充·模拟预测）如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，    (1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； (3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 54．（2022·安徽滁州·模拟预测）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．      (1)如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图，在（）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，直接写出：的面积为 ； (3)如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，，．则 秒时，以，，，四点组成的四边形的面积等于． 55．（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）四边形中，，对角线相交于点E． (1)如图1，若，，求证：； (2)如图2，若平分，点E是的中点，过点B作，垂足为F，点G为的中点，连接． ①求证：； ②连接，试判断四边形的形状，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形55道压轴题型专训（11大题型） 【题型目录】 题型一 多边形内角和综合 题型二 平行四边形的判定与性质压轴题 题型三 矩形的判定与性质压轴题 题型四 菱形的判定与性质压轴题 题型五 正方形的判定与性质压轴题 题型六 平行四边形的动点问题 题型七 平行四边形的存在性问题 题型八 平行四边形中的折叠问题 题型九 平行四边形中的最值问题 题型十 三角形中位线压轴题 题型十一 平行四边形综合 【经典例题一 多边形内角和综合】 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过作于， 点关于的对称点恰好落在上， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为(   ) A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键． 由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答． 【详解】解： 是由翻折得到的， ， 故①正确； 是由翻折得到的，是由翻折得到的， ，， 点E，点F都在的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 故②正确； 是由翻折得到的， 故③正确； 设与交于点H， 是由翻折得到的， 故④正确； 综上，正确的有：①②③④， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点、分别是的边、的中点，边分别与、相交于点、，且，，连接、、，现在下列四个结论：①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据四边形的内角和为，计算便可判断①的结论；②连接、，根据垂直平分线的性质得，，，进而由等腰三角形的性质得结论，从而得出②的结论；③证明，即可判断③的结论；④由，，当时，，，此时，由此判断④的结论． 【详解】解：①，， ， ， ， ①的结论正确； ②连接、，如图， 点，分别是的边、的中点，且，， ，，， ，，，，， ， 平分， ②的结论正确； ③点，分别是的边、的中点，，， ，， ，， ， ， ， ∴③的结论正确； ④，， ， ， 当时，则， ， ， ， 不是等边三角形， ， ④的结论不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是 ° 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和，四边形的内角和，解题的关键是根据轴对称的性质确定点M和点N的位置． 作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接；点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小，先根据四边形的内角和求出，再根据三角形的性质求出，最后根据轴对称的性质求出，即可进行解答． 【详解】解：作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接； ∵点C和点关于的对称，点C和点关于的对称， ∴， 的周长= ∴点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小， ∵在四边形中， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 5．（24-25七年级下·安徽·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图：过E作，结合，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长交于点G，利用平行线性质、三角形外角性质、角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可． （3）如图：延长交于点M，然后利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图：延长交于点M， ∵， ∴， ∵分与的平分线相交于点， ∴，， 设，的交点为N， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形外角性质、对等角相等、四边形内角和定理、角的平分线等知识点，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题的关键． 【经典例题二 平行四边形的判定与性质压轴题】 6．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，线段相交于点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时点在上．过点作，点作，与相交于点，连接，则四边形是平行四边形，是等边三角形，则，，由三角形三边关系可知，当点在上时，取等号，即可求解． 【详解】解：过点作，点作，与相交于点，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 则，当点在上时，取等号， 即的最小值为， 故选：A． 7．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 8．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ． 【答案】2或4或8 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 9．（2025·陕西西安·一模）如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接DE，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】结合题意，再根据角平分线的判定可得平分，利用平行线的判定，可推出四边形是平行四边形，即，根据勾股定理可得，设，再利用，代入数值解方程可得，再利用勾股定理可得． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的判定，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图 ①， 在运动过程中， 若平分， 且满足， 求的度数； (2)如图 ②，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点F，连结，若，求的面积． (3)如图 ③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止运动），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理，等边三角形的判定和性质、角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴ ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：（舍）； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【经典例题三 矩形的判定与性质压轴题】 11．（23-24八年级下·安徽六安·期末）在矩形中，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点，下列说法错误的是（    ） A．存在无数个平行四边形 B．当，且四边形是矩形，的长为 C．当四边形是菱形时，的长度为 D．当四边形是正方形时，的长度为 【答案】B 【分析】由矩形的性质证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要满足 ，那么四边形就是平行四边形，据此可判断A；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得、，由线段的和差即可判断B；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得，设，，由等积法得，再由菱形的性质结合勾股定理解一元二次方程求出，最后由线段的差即可判断C；连接，过作于，由矩形性质及勾股定理求出，从而得到，再由等腰三角形的性质得到，结合勾股定理求得，设，，由等积法得，再由正方形的性质结合勾股定理解一元二次方程求出，即可得到即可判断D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴只要满足 ，那么四边形就是平行四边形， ∵点，是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故A说法正确，但不符合题意； 如图所示，连接，过作于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 综上：的长为或，故B说法错误，符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵ ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴，故C说法正确，但不符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴，故D说法正确，但不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握以上知识点、正确添加辅助线、利用数形结合的方法是解题关键． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （    ） A． B． C．11 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质等知识，过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则，由角平分线性质得到，证明，则，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，再证明，则，由勾股定理得到，则，勾股定理求出，则，由勾股定理求出，即可得到. 【详解】解：过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则， ∵， 平分 ， ∴， ∴， ∵点恰为中点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 13．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理及其逆定理等知识，熟练运用以上知识点，利用中点作出适当的辅助线，构造全等三角形和三角形中位线是解题的关键．过点作交于点，可得是的中位线，，是的中位线，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长． 【详解】解：如图， 过点作交于点， 点是的中点，， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ； 延长交于点， ，， ， ，； 过点作于点， 四边形是矩形，； 点是的中点， ， 在中，，， ． 故答案为 ：． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由四边形为矩形得，即得，得到，可知当最小时，即点在轴上，取得最小值，据此即可求解，利用平行四边形的性质，构造全等三角形，得出长度为定值是解题的关键． 【详解】解：设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，即点在轴上，取得最小值，最小值为， ∴此时点的坐标为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】本题考查矩形的判定以及勾股定理和相似三角形等内容．熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）先得出，进一步进行等量代换得出即可证明四边形是矩形； （2）①由四边形是矩形以及勾股定理得出，即可根据得出的长； ②先证明，得出，进一步由勾股定理，得，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，平分， ∵平分， 即 ∴四边形是矩形． （2）解：① ， 又∵O是的中点， , ． ∵四边形是矩形． ． 在中，由勾股定理，得: ∵O是的中点． ② ， ， 解得 在 中，由勾股定理，得： 解得 ． 【经典例题四 菱形的判定与性质压轴题】 16．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合菱形的性质推出，通过“边角边”证明后，由全等三角形的性质可得，，过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点，结合含的直角三角形的特征、勾股定理求出、，证明四边形是矩形后，结合矩形性质即可得，最后根据即可得解． 【详解】解：菱形中，，，， ， ， 即， 是以为腰的等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点， 则，， ，， 中，，， 中，，，， ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、矩形的判定与性质，解题关键是做出合适的辅助线． 17．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，正确添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接．先根据菱形的性质说明都是等边三角形，再结合已知条件证明可得，进而证明是等边三角形；再根据垂线段最短求得的最小值为，最后求的周长即可． 【详解】解：如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵, ∴, ∴， ∴,即的最小值为， ∴周长的最小值为． 故选B． 18．（2025·天津和平·一模）如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为 的长为 ； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】连接，，，并延长交于P，连接，先证明、是等边三角形，由点、分别是边、的中点和等边三角形的性质得出，，，， 由勾股定理，得，，再证明，得到，从而求得，得出，则，由勾股定理，得， 从而得到，然后证明是等边三角形，得出，最后利用三角形中位线性质求出长即可． 【详解】解：连接，，，并延长交于P，连接，如图， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，， 由勾股定理，得； ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得； ∵G分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：3；；． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的中位线的性质．正确作出辅助线构造全等三角形、等边三角形和直角三角形是解题的关键． 19．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点K，连接，过D作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∴， ∵H是中点， ∴， ∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含30度角的直角三角形，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到． 20．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案； （2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：，， 则，， ，， 在菱形中， ， 在中，， 点是线段的中点， ； （2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点， 连接，则， 由菱形的性质可知，、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小， 当点与重合时，． 当点与不重合时，． 四边形是菱形，， ， 又， ， ， ∴，则， ∵， ， 即的最小值是． 的最小值是． 【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【经典例题五 正方形的判定与性质压轴题】 21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，正方形纸片的边长为9， ， , 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 则可得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为, 把代入可得，解得， 直线的解析式为, 联立方程， 解得， ， 则， ， ， 故选：A． 22．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，连接，利用转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可，解题的关键是理解两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可知，， ， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 故选：C． 23．（24-25八年级下·上海·期中）四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作辅助线构建直角三角形全等是解决问题的关键．分点E在线段上，在线段延长线上，在线段延长线上三种情况，过作交直线于点，作于，证明，通过全等三角形的性质用表示出，求出，由勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形，    ∴，， 四边形与四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴, ∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立； 如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 综上所述，的长为1或． 故答案为：1或． 24．（2025·江西上饶·一模）已知正方形的边长为6，P（不与点A重合）为射线上的动点，点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，推出为等边三角形，证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第三种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质知，， ①如图1，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，   ， 为等边三角形， ，， ，， 在四边形中， ，， ， ， ∴在中， ， ； ②如图2，当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，    由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ∴在中，， ； ③如图3，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，   ， 又， 为等边三角形， ， ， 在中，， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 25．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据题意用t表示与，证明四边形为平行四边形得，由此列出t的方程即可； （2）根据题意用t表示与，证明得，由此列出t的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 当互相平分时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴t的值为． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即t的值为． 【经典例题六 平行四边形的动点问题】 26．（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故选：D． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点H在矩形内，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，证明，得，，设，根据勾股定理用表示，利用解析式特点求得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 四边是正方形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，关键是证明三角形全等，利用解析式特点求得的最小值． 28．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点P的运动轨迹，取中点，连接、，交于点，根据四边形为矩形，得到四边形为矩形，，结合点为的中点，得到直线为点的运动轨迹，则当时，最小，根据等面积法求出即可． 【详解】解：取中点，连接、，交于点，如图， 四边形为矩形， ，，， 点E为中点，点H为中点， ，， 四边形为矩形， ， ， 点为的中点，点F在直线上运动 点P在直线上运动， 当时，最小， 此时， 即， ， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过G作于H，在取点P，使，，得出，，进而得出，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，同理可证，，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解∶过G作于H，在取点P，使， ∵，在正方形中，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动， 当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O， 同理可证，， ∴， ∴， 即点运动的路径长是， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）在正方形中，点、分别为边、上的动点，且 ． (1)如图①，求证：； (2)如图②，当点为线段中点，连接，求证：； (3)如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质易得，证明推出，进而求出，得到，即可证明结论； （2）取中点O，连接，设交于点M，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，推出，证明，同理（1）得，进而证明为中点，垂直平分，推出，得到， 由，即可得出结论； （3）作点关于的对称点，连接，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）证明：取中点O，连接，设交于点M， 由（1）知， ∵点O是中点， ∴， ∵点为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得， ∵， ∴为中点，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作点关于的对称点，连接， 则， 由（1）知， ∵点 M 是的中点， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题七 平行四边形的存在性问题】 31．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在这样的点M，且坐标分别为，，， 【分析】（1）根据直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，得到，运用待定系数法解答即可． （2）过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，先证明为等边三角形，则，找出，，证明四边形为平行四边形，故此时四边形的周长为最小，再运用勾股定理算出，即可作答． （3）分三种情形，结合菱形的性质，两点间的距离公式，解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为，与x轴交于点C． 令，则，解得， ∴ ∴ ∵点A是的中点， ∴， ∵直线上有一点B的横坐标为， 把代入，得 ∴， 设直线的函数表达式， 故， 解得， 故直线的函数表达式． （2）解：过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，如图所示： ∵， ∴， ∴， 故为等边三角形， ∵， ∴令时，，则 即， ∵， ∴ ， 在直角中， 即， ∵ 则， 故， ∵轴对称性质， ∴， 故为等边三角形， 则， ∵， ∴轴， 故点； 将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位，向上平移2个单位，故点， 由点A的平移知，且， ∴四边形为平行四边形，故 此时，四边形的周长为最小， ∵ ∴ 即． （3）解：如图所示，∵直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点， ∴， ∴， ∵ 直线的函数表达式与y轴交于点H， ∴, ∴．， ∴ ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∵ 以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形， ∴菱形的四边相等，对角线互相垂直平分， 当时，根据题意，得 解得或， 故，； 当时，根据题意，得 解得或（舍去）， 故； 当时， ∵， ∴一定经过点B， 故M与点B一定重合， 故．    综上所述，存在这样的点M，且坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称法求线段和的最小值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法，轴对称法求线段和的最小值是解题的关键． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或或或 【分析】（1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标； （2）先求出，根据，得，则有以下两种情况：①当点P在点A的右侧时，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标；②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，则，，，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标，综上所述即可得出答案； （3）先求出点，点，则，，依题意有以下6中情况：①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标；⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出所有满足条件的点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：；； （2）解：在x轴上存在点P，使得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图1所示： 是的一个外角， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； ②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，如图2所示： ，，， 是的一个外角， ， ， ， ， 点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：对于，当时，，当时，， 点C的坐标为，点D的坐标为， ，， 当为等腰直角三角形时，有以下6中情况： ①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，如图3所示： ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，如图4所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，如图5所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，如图6所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，如图7所示： ， 四边形是矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为； ⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，如图8所示： 四边形为矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为， 综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为或或或或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，熟练掌握一次函数的图象，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 33．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，求出点、点的坐标，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）根据解析式求得点，点，点的坐标得，，，可得，设点的坐标为，且，根据，且，列出方程求出点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称可知，则，当点在上时取等号，即的最小值为，结合勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，根据对角线互相平分，结合中点坐标公式，列方程即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得，解得， ∴直线的解析式为； （2）对于直线，当时，，当时，， 即点的坐标为，即点的坐标为， ∴，，则， 对于直线，当时，，即点的坐标为，则， 设点的坐标为，且， ∵，且 ∴，解得：， ∴点的坐标为， 作点关于轴的对称点，连接，， 由轴对称可知， 则，当点在上时取等号， 即的最小值为； （3）设点的坐标为，点的坐标为， 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，坐标与图形的性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 34．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 故答案为：． （2）解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴， 解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． （3）解：由上已得：，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 35．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离为？ (2)当t为何值时，． (3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为时，间的距离是 (2) (3)不存在一个时刻，使得 【分析】（1）过作于，根据路程速度时间，用表示出的值，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的值； （2）根据勾股定理得，然后根据当时，列出方程求出的值即可； （3）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． 【详解】（1）解：如图，过点作于，    ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ， ， ， 解得：或， ， ， ， ∴不符合题意舍去， ∴为时，间的距离是； （2）解：∵， 在中，根据勾股定理得：， 当时，， 整理得，， 解得或（舍去）； 故当的值为时，； （3）解：不存在一个时刻，使得， 理由如下： 如图，过点作于点，得矩形，矩形，   ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， 所以不存在一个时刻，使得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，直角三角形，一元二次方程，关键是数形结合思想解决问题． 【经典例题八 平行四边形中的折叠问题】 36．（2025·浙江·模拟预测）如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，过点B作于点K，则，先证明，再证明，则，，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点K，则， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， 即的周长为正方形边长的2倍，故只需要知道的周长，即可知道正方形的边长，故C符合题意； 对于A、B、D选项条件不足，不能证明， 故选：C． 37．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于H，，根据三角形的面积公式求出，从而求得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出的长，再证明是的高，进而求出的面积． 【详解】解：连接交于H，如图， ∵正方形纸片，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 由折叠可知：点B与点F关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边的高等于， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形的面积，解题的关键是求出的长以及证明的边的高等于，此题有一定的难度． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质．作，，利用平行四边形的面积公式求得，由折叠的性质结合平行四边形的性质求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作，，垂足分别为， ∴， ∵平行四边形纸片，则 ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， 在中，， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， 由折叠有性质知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为． 39．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当D、E、F在同一直线上时，最短， 如图，过点E作于点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：2，． 40．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． (2)迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，   ，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； 根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可知，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出、、，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 取的中点为，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，， ； ，， ， ， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， ， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【经典例题九 平行四边形中的最值问题】 41．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、最短路径问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，在上取一点G，使，连接．再证明四边形为平行四边形，即，进而说明，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，在上取一点G，使，连接．    ∵在矩形中，， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ． 又，， ， 的最小长度为5． 42．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 43．（2024·河南安阳·一模）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 【答案】2 【分析】在上截取，使得，连接，交于点T， 得到，继而得到点F是点N关于直线的对称点，利用三角形不等式，垂线段最短原理，正方形的判定和性质证明即可． 【详解】在上截取，使得， ∵矩形中，的平分线交边于点E， ∴，， 连接，交于点T， ∴， ∴点F是点N关于直线的对称点， ∴， 连接， 则， 根据垂线段最短原理，当三点共线，且时，的值最小， ∵矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证，四边形是正方形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式，垂线段最短，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握三角形不等式，垂线段最短，正方形的判定和性质是解题的关键． 44．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 45．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 【经典例题十 三角形中位线压轴题】 46．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、，作于， 四边形是平行四边形，，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， 点在上， 的最大值为的长，最小值为的长， 的最大值为，最小值为， 的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形、含的直角三角形的特征、三角形中位线定理，解题关键是构造以为中位线的三角形． 47．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，分别为边，上的点，，分别为，的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理．添加合适辅助线，构造三角形中位线是解题的关键． 48．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O，根据勾股定理求出的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出共线，即O与重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程，求出结果即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． 49．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，、分别是、的中点． (1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． (2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． (3)如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证； （3）连接，取的中点，连接、，由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，则，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，再结合，进而可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，然后根据即可得出结论． 【详解】（1）解：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ； （2）证明：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接，取的中点，连接、， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即：是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理及平行线的性质是解题的关键． 50．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【答案】（1）5，3；（2）见解析；（3）见解析，11 【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论； （3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：∵点点都是中点 ∴、都是中位线 （2）证明：如图1中，延长至，使，连结． , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，延长至，使，连结．设． 易证 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．利用倍长线段法，构造全等三角形，是解题的关键． 【经典例题十一 平行四边形综合】 51．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知在三角形中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接，将线段绕D点顺时针旋转60°，得到线段（点E不与点B重合）．连接．取的中点P，连接． (1)如图（1），当点E落在线段上时，取的中点G，的中点H，连接， ①求证：； ②求证：． (2)当，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，线段的长为或 【分析】（1）①由直角三角形斜边中线的性质得，再公共，利用边边边判定即可证明； ②由三角形中位线定理得，，则；由旋转知是等边三角形，且P是中点，则，；再由H是中点，是等边三角形，则，则可证明，即有，从而； （2）分两种情况考虑：当点E在线段上时；当点E在线段延长线上时；利用等边三角形的性质及勾股定理即可计算． 【详解】（1）证明：①∵分别是斜边上的中点， ∴， ∵， ∴； ②∵G、H分别是的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 由旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∵P是的中点， ∴，； ∴； ∵H是中点，， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：当点E在线段上时，如图，过点C作于N； ∵，P是的中点， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴； ∴； 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图，过点C作于N； 同理，得， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，构造出全等三角形是解本题的关键． 52．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证明，，可得，即可证明； （2）连接，取的中点P，连接，根据三角形中位线的定义可得，，，，利用三角形外角可得，从而根据平行线的性质即可证明； （3）连接，根据和中点的定义可得四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）连接，取的中点P，连接 ∵是的中点， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）证明：连接 ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及到角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线等，正确作出辅助线是关键． 53．（2023·四川南充·模拟预测）如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，    (1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； (3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即； （2）如图2中，过点O作于H，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由全等三角形的性质即可得，计算求解即可； （3）如图3，延长到使，连接、，则是以为顶点的等腰直角三角形，同理（1），，，，由分别为的中点，可得是的中位线，则，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点E，    ∵和都是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：如图2，过点O作于H．    ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：，理由如下； 如图3，延长到使，连接、，    ∴，， ∴是以为顶点的等腰直角三角形， 又∵是以为直角顶点的等腰直角三角形， 同理（1），， ∴，， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 54．（2022·安徽滁州·模拟预测）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．      (1)如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图，在（）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，直接写出：的面积为 ； (3)如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，，．则 秒时，以，，，四点组成的四边形的面积等于． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，以及已知条件证明△ABP是等边三角形即可求解； （）根据平行四边形的性质，可得，，进而可得，根据等边三角形的面积即可求解； （）依题意，D，，Q四点组成的四边形是梯形，根据的取值分情况讨论即可求解． 【详解】（1）如图中，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）如图中，过作于点，      ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（）得：是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，有勾股定理得：， ∴， 故答案为：； （3）如图中，过点作， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵动点在边上，以每秒的速度从点向点运动，． ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，，，四点组成的四边形是梯形， ∵，，，四点组成的四边形面积为18， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：， 当时，，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得（不是四边形，舍去）， 综上所述或． 故答案为：或或．    【点睛】此题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． 55．（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）四边形中，，对角线相交于点E． (1)如图1，若，，求证：； (2)如图2，若平分，点E是的中点，过点B作，垂足为F，点G为的中点，连接． ①求证：； ②连接，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等，可得，再由，可得，即可； （2）①延长交于点M，延长交于点H，可证明，可得，从而得到是的中位线，进而得到，继而得到，同理，可得，从而得到是的中位线，进而得到，继而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可；②证明，可得，再由，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图，延长交于点M，延长交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$