专项 用转化法解决不规则图形和复杂算式-苏教版五年级下册期末专项（小学数学）

1 专项 用转化法解决不规则图形和复杂算式 答案解析 1． 下 2 8平方厘米 【分析】 涂色不规则图形面积转化成规则图形的面积，也就是长方形的面积，长方形的面积＝长×宽。 因为每小格边长是 1厘米，长是 4个格子，则长是 4厘米，宽是 2个格子，则宽是 2厘米。则 面积是 4平方厘米。 【详解】4×2＝8（平方厘米） 将上面的半圆向下平移 2格，就转化成一个长方形。这个长方形的面积是 8平方厘米。 2．①②③ 【分析】①把正六边形转化为三角形，再根据三角形内角和，求出六边形的内角和； ②把异分母分数相加转化为同分母分数相加，再按照同分母分数相加的方法计算异分母分数的 加法； ③把平行四边形转化为长方形，利用长方形面积求出平行四边形的面积。 【详解】根据分析可知：①②③都运用了“转化”思想。 3．D 【分析】观察图形可知，第一个图形有石子（3×1＋1个）；第二个图形有石子（3×2＋2）个； 第三个图形有石子（3×3＋3）个；则第 n个图形有石子（3×n＋n）个，据此即可解答。 【详解】根据题干分析可得： 第一个图形有石子：（3×1＋1）个 第二个图形有石子：（3×2＋2）个 第三个图形有石子：（3×3＋3）个 则第 n个图形有石子： 3×n＋n ＝3n＋n ＝4n（个） 当 n＝6时，有石子：4×6＝24（个） 第 6个图案中有石子 24个。 故答案为：D 2 【点睛】考查了规律型：图形的变化。此类题一定要结合图形发现规律，把这一规律运用字母 表示出来即可。 4．5.8米 【分析】由图可知：楼梯每个台阶的高度和之等于 2.8米，每个台阶的长度之和等于 3米，地 毯需要覆盖住每个台阶的两面，所以地毯的长度实际上为台阶高度和长度之和；据此解答。 【详解】2.8＋3＝5.8（米） 答：至少需要 5.8米长的地毯。 【点睛】理解“楼梯每个台阶的高度这和等于 2.8米，每个台阶的长度之和等于 3米”是解题的 关键。 5．A 【分析】通过平移法，将不规则图形变换成规则图形即可解答。 【详解】B项把两边的横线上下平移、竖线左右平移，C项通过把短横线向上平移、短竖线向 右平移，都可以填补成一个长是 5cm，宽是 2cm的长方形。而 A项把中间的短横线向上平移 后即可填补成长是 5cm，宽是 2cm的长方形，多了两条短竖线，所以周长比其他两个选项长。 故答案为：A。 【点睛】本题主要考查在遇到不规则图形求周长时，要学会利用平移法对图形进行变换解题的 方法。 6．39.25平方厘米 【分析】观察图形可知，将三个扇形拼在一起，是一个半圆，根据圆的面积公式： 2S r ， 求出半径是 5厘米的圆的面积，再除以 2即可。 【详解】将三个扇形拼在一起，是一个半圆，可得： 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 答：这三个扇形的面积是 39.25平方厘米。 【点睛】熟记圆的面积计算公式，是解答此题是关键。 7． 36 34 【分析】仔细观察给出的图形，并结合图中的层数、正方形的个数和周长，可以发现：正方形 3 的个数＝层数×层数；周长＝6×层数－2；据此解答即可。 【详解】6×6＝36（个） 6×6－2 ＝36－2 ＝34（厘米） 第 6个图形要用 36个边长 1厘米的正方形，它的周长是 34厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做 题。 8．3871平方米 【分析】观察图形可知，草坪的面积等于长（80－1）米、宽（50－1）米的长方形的面积，根 据“长方形面积＝长×宽”，即可解题。 【详解】（80－1）×（50－1） ＝79×49 ＝3871（平方米） 答：草坪的面积是 3871平方米。 【点睛】熟记长方形面积计算公式，是解答此题的关键。 9． 14 2（n＋1） 【分析】根据图形的变化规律：图 1是 4个黑方块，图 2比图 1多两个黑方块，图 3比图 1多 （3－1）×2个黑方块，那么第 6个图中黑色方块比第 1个图多（6－1）×2个，第 n个图中黑 色方块比第 1个图多（n－1）×2个，据此解答即可。 【详解】第 6个图中黑色方块有： 4＋（6－1）×2 ＝4＋5×2 ＝4＋10 ＝14（个） 第 n个图中黑色方块有： 4＋（n－1）×2 ＝4＋2n－2 ＝2n＋2 ＝2（n＋1）（个） 4 故答案为：14；2（n＋1） 【点睛】此题考查的是图形的变化规律，主要培养学生的观察力和总结能力。 10．504平方米 【分析】由题意可知：可以将菜地向中间“挤压”，把“小路挤掉”，则剩下的就是菜地的面积， 其长和宽分别为（30－2）米和（20－2）米，利用长方形的面积公式 S＝ab，求出其面积。 【详解】由分析可得，菜地的面积为： （30－2）×（20－2） ＝28×18 ＝504（平方米） 答：菜地的面积是 504平方米。 【点睛】此题考查了长方形面积公式的实际运用，解答此题的关键是：利用“压缩法”，把“小 路挤掉”，求新长方形的面积即为菜地的面积。 11．（1） 7 8 ；（2） 15 16 ；（3） 31 32 规律：后一种加数是前一个加数的一半的连加算式的和是：1减最后一个加数的差，即分母是 最后一个加数的分母，分子比分母少 1。 【分析】这三个算式中每一个相加的加数中后一个加数的分母是前一个加数分母的 2倍，可以 利用拆项法分别算出算式（1）和是 7 8 、算式（2）和是 15 16 、算式（3）和是 31 32 ，通过比较可 知，这三个算式的和正好分别是 1减最后一个加数的差，由此解答。 【详解】（1） 1 1 1 2 4 8   ＝ 1 1 1 1 11 2 2 4 4 8                      ＝1－ 12 ＋ 1 2 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 8 ＝1－ 1 8 ＝ 7 8 5 （2） 12 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 1 16 ＝（1－ 12 ）＋（ 1 2 － 1 4 ）＋（ 1 4 － 1 8 ）＋（ 1 8 － 1 16 ） ＝1 12 ＋ 1 2 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 8 ＋ 1 8 － 1 16 ＝1－ 1 16 ＝ 15 16 （3） 12 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 1 16 ＋ 1 32 ＝（1－ 12 ）＋（ 1 2 － 1 4 ）＋（ 1 4 － 1 8 ）＋（ 1 8 － 1 16 ）＋（ 1 16 － 1 32 ） ＝1－ 12 ＋ 1 2 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 8 ＋ 1 8 － 1 16 ＋ 1 16 － 1 32 ＝1－ 1 32 ＝ 31 32 规律是：后一种加数是前一个加数的一半的连加算式的和是：1减最后一个加数的差，即分母 是最后一个加数的分母，分子比分母少 1。 【点评】此题主要考查利用拆项法求和的方法。 12．850个 【分析】根据已知条件，第一排有 10个座位，后面每排都比前面一排多 2个座位，则：第二 排有：10＋1×2＝12（个）；第三排有：10＋2×2＝14（个）；第四排有：10＋3×2＝16（个）…… 第 n排有：10＋（n－1）×2；所以第 25排有：10＋（25－1）×2＝58（个），据此求出第 25 排有多少个座位； 因为后面每一排的座位都比前一排多 2个，所以座位排列为梯形，梯形的上底长为第一排座位 数，下底长为最后一排座位数，高为排数；利用梯形面积公式“梯形面积＝（上底＋下底）× 6 高÷2”解答。 【详解】10＋（25－1）×2 ＝10＋24×2 ＝10＋48 ＝58（个） （10＋58）×25÷2 ＝68×25÷2 ＝1700÷2 ＝850（个） 答：解放路实验学校的报告厅一共有 850个座位。 【点睛】灵活利用梯形的面积公式是解答题目的关键。 13．（1）48平方厘米；（2）12.56平方厘米；（3）36平方厘米 【分析】（1）通过平移可知，图中涂色部分的面积等于一个上底 6厘米、下底 10厘米，高 6 厘米的梯形的面积。 （2）通过平移可知，图中涂色部分的面积等于半径是 4厘米的 1 4 圆的面积；根据圆的面积公 式： 2S r ，先求出半径是 4厘米的圆的面积，再除以 4即可； （3）通过平移可知，图中涂色部分的面积等于底 12厘米、高 12厘米的三角形面积的一半， 根据“三角形面积＝底×高÷2”，求出这个三角形的面积，再除以 2即可。 【详解】（1）（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （2）3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（平方厘米） （3）12×12÷2÷2 ＝144÷2÷2 ＝72÷2 7 ＝36（平方厘米） 14． 22 4n＋2 【分析】1张桌子可以坐 6人，2张桌子可以坐（6＋4）人，3张桌子可以坐（6＋4×2）人…… 每增加 1张桌子增加 4人，那么 n张桌子可以坐 6＋4（n－1）人，据此解答。 【详解】n张桌子可以坐的人数：6＋4（n－1）＝6＋4n－4＝（4n＋2）人 当 n＝5时，4n＋2＝4×5＋2＝20＋2＝22（人） 【点睛】分析图形找出桌子数量和所坐人数变化的规律是解答题目的关键。 15．C 【分析】观察图形可知，图中涂色部分的面积等于大直角三角形的面积减去左下角空白部分的 面积；左下角空白部分的面积等于正方形面积减去半径是 6厘米的 1 4 圆的面积；根据三角形、 正方形和圆的面积计算公式即可解题。 【详解】左下角空白部分的面积： 6×6－3.14×62÷4 ＝6×6－3.14×36÷4 ＝36－113.04÷4 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 涂色部分的面积： （6＋6）×6÷2－7.74 ＝12×6÷2－7.74 ＝72÷2－7.74 ＝36－7.74 ＝28.26（平方厘米） 所以，涂色部分的面积是 28.26平方厘米。 故答案为：C 【点睛】本题考查了用转化方法求涂色部分的面积，注意观察图形是由哪几个部分组成的。 8 16．7，4，4； ，7，9，5，5 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝8×8＝64 【分析】看图并结合算式，第一个图有（1×1）个小圆，第二个图有（2×2）个小圆，第三个图 有（3×3）个小圆。对应的加法算式是连续奇数的和，几乘几对应的算式就有几个连续奇数相 加。“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”是 8个连续奇数相加，那么它的和与“8×8”相等。 【详解】 1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 1＋3＋5＋7＋9 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 ＝8×8 ＝64 17． 5 6 ； 14 32 【分析】通过观察，此算式中的每个分数都拆成两个分数相减的形式，然后通过加、减相互抵 消，得出结果。 【详解】 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6         （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6          ＝ 11 6  9 ＝ 5 6 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     ＝ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 4 8 16 32         （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） ＝ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 4 8 16 32          ＝ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 4 8 16 32         （ ）（ ） ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32          （ ） ＝ 15 1 32  （ ） ＝ 15 32 -1+ ＝ 14 32 【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳 途径，运用运算技巧灵活解答。 18.(1) 4 5 (2) 156 n（n＋1） 【分析】（1）通过观察序号 1至 4的图形中小圆片个数可知，当序号为 1时，小圆片个数为 （1×2），序号为 2时，小圆片个数为（2×3），……也就是小圆片个数＝序号×（序号＋1）； （2）按照（1）得出的规律，即可得序号为 12 的图形，小圆片个数＝12×（12＋1），据此可 表示出序号为 n的图形一共有的小圆片个数。 【详解】（1）由 2＝1×2，2＋4＝2×3，2＋4＋6＝3×4可知 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）由（1）中排列规律可知，当序号为 12 的图形，其小圆片个数为： 12×（12＋1） ＝12×13 10 ＝156（个） 以此类推，当序号为 n的图形共有 n（n＋1）个小圆片。 【点睛】解答本题的关键是根据所给图示，找出规律，并利用规律进行解答。 1 专项 用转化法解决不规则图形和复杂算式 1．求下面涂色图形的面积，可以把它转化成规则图形，将上面的半圆向( )平移 ( )格，就转化成一个长方形。这个长方形的面积是( )。（每小格边长是 1厘 米） 2．数学思想方法是数学的灵魂，“转化”思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生 活中无处不在。下面运用了“转化”思想的有( )。（填序号） ① 求内角和 ② 1 1 2 1 3 2 4 4 4 4     分数加法 ③ 求面积 3．明明用石子摆出了图中的图案，根据规律判断第 6个图案中石子总数为（ ）。 （1） （2） （3） （4） A．12 B．16 C．20 D．24 4．下图是一个楼梯的剖面图，如果要给这个楼梯铺上地毯，至少需要多少米长的地毯？ 5．下面各图形中，与其它两个图形周长不一样的是（ ）。 2 A． B． C． 6．如下图，李师傅从一张三角形铁皮上剪下三个扇形，将这三个扇形拼在一起，这三个扇形 的面积和是多少平方厘米？ 7．小华用边长 1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第 6个图形要用 ( )个边长 1厘米的正方形，它的周长是( )厘米。 8．一块长 80米、宽 50米的长方形绿化带，中间有两条宽 1米的小路，其余地方为草坪。草 坪的面积是多少平方米？ 9．观察下列图形，找规律再填空。 照这样摆下去，第 6个图中有( )个黑色方块，第 n个图中黑色方块有 ( )个。 10．王叔叔家有块长 30米，宽 20米的长方形菜地，为了便于耕种，铺了两条 2米宽的石子路 将菜地分成 4小块（如图）。菜地的面积是多少平方米？ 3 11．先计算下面各题，然后找出规律。 （1） 1 1 1 2 4 8   ＝ （2） 1 1 1 1 2 4 8 16    ＝ （3） 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32     ＝ 12．解放路实验学校报告厅共有 25排座位。其中第一排有 10个座位，第二排有 12个座位， 后面每一排的座位都比前一排多 2个。解放路实验学校的报告厅一共有多少个座位？ 13．求下面各图形涂色部分的面积。 （1） （2） （3） 14．按照下面的方式摆放桌子和椅子，五张桌子可以坐( )人，n张桌子可以坐( ) 人。 15．如图所示，涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 A．18.84 B．9.42 C．28.26 D．18 4 16．找规律画一画，算一算。 1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋（ ） 1＋3＋5＋（ ）＋（ ） 1×1 2×2 3×3 （ ）×（ ） （ ）×（ ） 根据规律计算： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 17．简便计算。 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     18．计算 2＋4＋6＋8＋10＋12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数 形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。 (1)观察表格，请把下面的等式补充完整。 2 1 2  2 4 2 3   2 4 6 3 4    2 4 6 8    ( )×( ) 5 序号 1 2 3 4 … 图形 … 小圆片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有 156个小圆片，序号为 n的图形共，有 ( )个小圆片。