专题16：第7章概率初步（续）章节复习提升 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题16 第7章概率初步（续）章节复习提升 知识点1：条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 知识点2：全概率公式 知识点3：期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 知识点4：期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 知识点5：方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 知识点6：方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 知识点7：二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 知识点8：超几何分布 定义 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何分布： 知识点9：正态分布 1、正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 2、正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 题型一：条件概率的计算与性质 【例1】（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知，则___________. 【例2】（22·23高二下·上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 【例3】（2024七宝中学高二下期末）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【跟踪训练】 1．（22·23高二下·上海金山·期末）已知，，则 ． 3.（2024复旦附中高二期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求条件概率 【例4】（2024·上海青浦·二模）从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则 ． 【例4】（22·23高二下·上海浦东新·期中）已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 ．（用数值表示） 【跟踪训练】 1. （2023宝山区二模）从装有个红球和个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则 2．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 3．（2023高二·全国·单元测试）已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（    ） A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285 4．（2022·全国·高三专题练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求： (1)第一次取到正品的概率； (2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率. 题型三：全概率公式 【例5】（22·23高三下·上海闵行·阶段练习）设表示事件发生的概率，若，则 . 【例6】（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 【例7】（23·24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【跟踪训练】 1．（2024·上海静安·二模）某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 ．（精确到0.01） 题型四：随机变量的期望与方差 【例8】（2023奉贤区二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______． 【例9】（2023·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【例10】（22·23高三·全国·对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 【例11】（2024春•杨浦区校级期中）随机变量的分布列如下，则　2.4　． 0 1 2 0.3 0.3 【跟踪训练】 1. （2023虹口区二模） 端午节吃粽子是我国的传统习俗. 一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为_______． 2．（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 . 3．（21·22高二下·上海徐汇·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ． 4．（2024春•徐汇区校级期中）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，　　 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 5．（2024春•浦东新区校级期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是　　 A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 题型五：随机变量的分布列与性质 【例12】（2023松江二中月考）设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 【例13】（23·24延安中学阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)求甲赢得比赛的概率； (2)记比赛结束时的总局数为，写出的分布列，并求出的期望值． 【跟踪训练】 1．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列如下： 0 1 2 3 4 5 6 则___________. 2．（23·24高三下·上海黄浦·阶段练习）某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 (1)三个年级参赛人数各为多少？ (2)在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率 (3)记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望 题型六：等可能分布、伯努利分布、二点分布 等可能分布：当随机变量取所有值时概率都相等的分布，又叫均匀分布； 伯努利分布：当只取两个值的随机变量的分布 二点分布：随机变量的概率只有0和1的分布 【例14】已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 【例15】以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【例16】已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【跟踪训练】 1．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 2．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 3．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 题型七：二项分布 【例17】（2023春•浦东新区校级期末）已知随机变量服从二项分布，则　　． 【例18】设随机变量服从二项分布，则 . 【跟踪训练】 1．（2023春•松江区校级月考）已知随机变量服从二项分布，则　　． 2．（2023春•黄浦区校级期末）已知随机变量服从二项分布，，且，则　　． 3．（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则 . 4．（2023春•宝山区校级期中）已知随机变量服从二项分布，若，，则　　． 题型八：超几何分布 【例19】（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【例20】（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.（2021春•徐汇区校级期中）某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件， （1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率； （2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望． 2.（2021春•金山区期末）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数， （1）请列出X的分布列； （2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 题型九：正态分布 【例21】（2023复兴高级中学期末）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（　　） A．P（Y≤μ1）≥P（Y≤μ2） B．P（X≥σ1）≥P（X≥σ2） C．若t＜0，则P（X≤t）≤P（Y≤t） D．若t＜0，则P（X≥t）≤P（Y≥t） 【例22】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【例23】（2024·上海杨浦·二模）某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．350 B．400 C．450 D．500 【跟踪训练】 1．（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 2．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 3．（22·23高二下·上海徐汇·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 人. 题型十：综合应用 【例24】（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 【例25】（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. (1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； (2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【跟踪训练】 1．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 2．（2023·上海徐汇·三模）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 频数 25 150 200 250 225 100 50 (1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求； （附：若，则，，，） (2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为． 现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题16 第7章概率初步（续）章节复习提升 知识点1：条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 知识点2：全概率公式 知识点3：期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 知识点4：期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 知识点5：方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 知识点6：方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 知识点7：二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 知识点8：超几何分布 定义 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何分布： 知识点9：正态分布 1、正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 2、正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 题型一：条件概率的计算与性质 【例1】（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知，则___________. 【答案】 【解析】因为， 所以事件A与事件B相互独立， 则事件与事件也相互独立， 则. 故答案为：. 【例2】（22·23高二下·上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 【答案】/0.75 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得， 而，得， 而，解得， 故答案为：. 【例3】（2024七宝中学高二下期末）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 【跟踪训练】 1．（22·23高二下·上海金山·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，由条件概率公式可得. 故答案为：. 2.（23·24大同中学高二期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 3.（2024复旦附中高二期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由条件概率知：，因为，所以，故A不正确； ，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确； ，所以，故C正确； ，故D不正确. 故选：C. 题型二：求条件概率 【例4】（2024·上海青浦·二模）从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则 ． 【答案】/0.75 【分析】利用互斥事件的概率及排列组合计算公式求出事件的概率，同样利用排列组合计算公式求出事件的概率，然后直接利用条件概率公式求解． 【详解】，． 由条件概率公式得． 故答案为：． 【例4】（22·23高二下·上海浦东新·期中）已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 ．（用数值表示） 【答案】 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解． 【详解】记感染新冠病毒为事件，标本为阳性为事件， 则，， 故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为． 故答案为：． 【跟踪训练】 1. （2023宝山区二模）从装有个红球和个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则 答案： 2．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即. 所以. 故答案为： 3．（2023高二·全国·单元测试）已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（    ） A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285 【答案】A 【分析】记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则由P(AB)＝P(A)·P(B|A)可求. 【详解】记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，则，， 所以． 故选：A． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求： (1)第一次取到正品的概率； (2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率. 【解析】（1）设“第一次取到正品” “第二次取到正品”， 所以，第一次取到正品的概率为； （2）， 所以， 故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为. 题型三：全概率公式 【例5】（22·23高三下·上海闵行·阶段练习）设表示事件发生的概率，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果. 【详解】因为， ， 则 故答案为：. 【例6】（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 【答案】0.18 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（）， 则，且两两互斥，依题意，， ， 所以成绩是优秀的概率为 . 故答案为：0.18 【例7】（23·24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024·上海静安·二模）某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】/0.91； 【分析】根据条件概率公式求解，，，即可利用全概率公式求解． 【详解】设事件表示一批产品中有个次品，1，， 则，，， 设事件表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品， 则，，， 所以． 故答案为：0.91． 题型四：随机变量的期望与方差 【例8】（2023奉贤区二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______． 答案： 【例9】（2023·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【答案】0 【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可. 【详解】根据概率的性质可得解得， 所以， 所以. 故答案为:0. 【例10】（22·23高三·全国·对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 【答案】5 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【详解】依题意可得，解得， 所以， 所以. 故答案为：5. 【例11】（2024春•杨浦区校级期中）随机变量的分布列如下，则　2.4　． 0 1 2 0.3 0.3 【分析】根据题意，先利用分布列的性质求出的值，进而求出，利用方差的性质即可求解． 【解答】解：根据题意，由随机变量的分布列，可得，则有， 则， 则， 故． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于基础题． 【跟踪训练】 1. （2023虹口区二模） 端午节吃粽子是我国的传统习俗. 一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为_______． 答案： 2．（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 . 【答案】 【分析】先利用独立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解． 【详解】由题意可知，，， 所以， 所以． 故答案为：. 3．（21·22高二下·上海徐汇·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ． 【答案】/0.36 【分析】黑球的个数为，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，求出，然后求解记取出3个球中黑球的个数为，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可． 【详解】解：设黑球的个数为，由得， 记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3； ，，， 则分布列如下： 1 2 3 所以， 则． 故答案为：. 4．（2024春•徐汇区校级期中）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，　　 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 【解答】解：， ，先减小后增大 故选：． 【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题． 5．（2024春•浦东新区校级期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是　　 A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【分析】由题意可得，由二项分布的概率公式，期望和方差公式逐项判断即可得解． 【解答】解：由题意可得， 所以，，1，2，3，4，5， 对于，的可能取值为0、1、2、3、4、5，故错； 对于，，故错； 对于，，故正确； 对于，，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查二项分布及其应用，考查运算求解能力，属于基础题． 题型五：随机变量的分布列与性质 【例12】（2023松江二中月考）设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 【答案】 【分析】由概率大于等于0小于等于1，可以得到的范围；根据概率之和为1，可以计算出的值. 【解析】依题意：，解得. 故答案为：. 【例13】（23·24延安中学阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)求甲赢得比赛的概率； (2)记比赛结束时的总局数为，写出的分布列，并求出的期望值． 【答案】(1) (2)分布列见详解，. 【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解； （2）的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可. 【详解】（1）比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况： ①    甲连赢3局：； ②    前3局2胜1负，第4局甲赢：; ③    前4局甲2胜2负，第5局甲赢：， 所以甲赢得比赛的概率为. （2）可以取3，4，5 所以, , , 由此可得的分布列为： 3 4 5 所以. 【跟踪训练】 1．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布列如下： 0 1 2 3 4 5 6 则___________. 【答案】64 【解析】根据概率分布列的概率性质可知， 所以，即，解得. 故答案为： 2．（23·24高三下·上海黄浦·阶段练习）某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 (1)三个年级参赛人数各为多少？ (2)在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率 (3)记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望 【答案】(1)来自高一，高二，高三年级的参赛人数分别为3人，4人和5人 (2) (3) 【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质列式求解即可； （2）分别求得最后一场比赛甲获胜与其前2局获胜的概率，再利用条件概率公式即可得解； （3）依题意得到的所有可能取值，分别求其对应概率得到分布列，再计算数学期望即可得解. 【详解】（1）三个年级的参赛人数分别为， 故来自高一，高二，高三年级的参赛人数分别为3人，4人和5人. （2）记甲在最后一场获胜为事件，其前两局获胜为事件， 则， ， 故. （3）依题意，的所有可能取值为. ；； ；. ∴的概率分布列为： 3 2 1 0 ∴. 题型六：等可能分布、伯努利分布、二点分布 等可能分布：当随机变量取所有值时概率都相等的分布，又叫均匀分布； 伯努利分布：当只取两个值的随机变量的分布 二点分布：随机变量的概率只有0和1的分布 【例14】已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 【答案】 【分析】由均匀分布可知，，求解即可. 【解析】随机变量X分布是均匀分布，所以， ，． 故答案为： 【例15】以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【解析】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 【例16】已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【答案】 0.7/ 0.3/ 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解. 【解析】因为服从参数为0.3的两点分布， 所以， . 当时，，所以. 故答案为：0.7，0.3 【跟踪训练】 1．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解. 【解析】由分布列的性质得，且， 即可解出． 故答案为：. 2．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【解析】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 3．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 【答案】 0.66 0.34 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【解析】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 题型七：二项分布 【例17】（2023春•浦东新区校级期末）已知随机变量服从二项分布，则　　． 【分析】根据二项分布的期望公式计算即可． 【解答】解：随机变量服从二项分布，则． 故答案为：2． 【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题． 【例18】设随机变量服从二项分布，则 . 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023春•松江区校级月考）已知随机变量服从二项分布，则　　． 【分析】利用二项分布期望公式求期望即可． 【解答】解：由二项分布期望公式得． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查二项分布的期望公式，属于基础题． 2．（2023春•黄浦区校级期末）已知随机变量服从二项分布，，且，则　　． 【分析】根据已知条件，二项分布的期望与方差公式，即可求解． 【解答】解：随机变量服从二项分布，，且， 则，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题． 3．（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则 . 【答案】12 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【详解】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 4．（2023春•宝山区校级期中）已知随机变量服从二项分布，若，，则　　． 【分析】利用二项分布的数学期望与方差的计算公式求解即可． 【解答】解：因为随机变量服从二项分布， 又，， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二项分布的数学期望与方差的计算公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 题型八：超几何分布 【例19】（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】至少有1件是次品的概率是. 故选：C. 【例20】（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【解析】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是， 故. 故选：C. 【跟踪训练】 1.（2021春•徐汇区校级期中）某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件， （1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率； （2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望． 【解题思路】设该批产品中次品有x件，由已知，可求次品的件数 （1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为； （2）取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望． 【解答过程】解：设该批产品中次品有x件，由已知， ∴x＝2…（2分） （1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为（4分） （2）∵X可能为0，1，2 ∴ （10分） ∴X的分布为： X 0 1 2 P 则 （13分） 2.（2021春•金山区期末）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数， （1）请列出X的分布列； （2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【解题思路】（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望． （2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果． 【解答过程】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布， 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4． ． ∴所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P （2）由分布列可知至少选3名男生， 即P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）． 题型九：正态分布 【例21】（2023复兴高级中学期末）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（　　） A．P（Y≤μ1）≥P（Y≤μ2） B．P（X≥σ1）≥P（X≥σ2） C．若t＜0，则P（X≤t）≤P（Y≤t） D．若t＜0，则P（X≥t）≤P（Y≥t） 【解题思路】由已知图象可得μ1、μ2，σ1、σ2的大小，然后利用正态分布曲线的对称性得答案． 【解答过程】解：∵正态分布密度曲线图象关于x＝μ对称， ∴μ1＜μ2， 由图象形状可得σ1＞σ2， 由正态分布曲线的对称性可得：若t＜0，则P（X≥t）≤P（Y≥t）． 故选：D． 【例22】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由正态分布的对称性可得. 故答案为：. 【例23】（2024·上海杨浦·二模）某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．350 B．400 C．450 D．500 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出成绩不低于120分的概率，再进行估计得解. 【详解】依题意，，而服从正态分布， 因此， 所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：B 【跟踪训练】 1．（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 2．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 可得. 故答案为：. 3．（22·23高二下·上海徐汇·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 人. 【答案】200 【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案. 【详解】由题意可知，且, 则， 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为， 故答案为：200. 题型十：综合应用 【例24】（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 【答案】(1) (2) (3)先派出甲 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为， 由（2）可知，， 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为， 则， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 【例25】（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. (1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； (2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）先求出事件的概率，在事件发生的条件下事件发生的概率为，再由积事件的概率公式可得； （2）求出事件发生的次数的取值，然后算出对应的概率，可得的分布，再算期望. 【详解】（1）依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为， 则. （2）依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即， 则的分布为： 即， 则， 则所求的的期望. 【跟踪训练】 1．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 【答案】(1)分布列见解析，39 (2)，98:27 【分析】（1）依题意，的所有可能取值为，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解即可； （2）利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为， ， ， ， ， ， 所以的分布为 ， 即的数学期望为39； （2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件， 则，， 由， 可得，所以， 所求比值. 估计60岁及以上人员的合格率约为，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27. 2．（2023·上海徐汇·三模）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 频数 25 150 200 250 225 100 50 (1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求； （附：若，则，，，） (2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为． 现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据题中的统计表，求得，结合，进而求得的值. （2）根据题得到话费可能的值有20，40，60，80元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得： ， 又由， 所以. （2）解：根据题，可得所得话费可能的值有20，40，60，80元， 其中；； ；， 所以随机变量的分布列为： 20 40 60 80 所以期望为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$