专题15：常用分布 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题15 常用分布 知识点一、伯努利试验 1、伯努利试验的概念：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2、n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 知识点二、二项分布 1、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2、两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E[X]＝p，D[X]＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，那么E(X)＝np， D(X)＝np(1－p)． 3、解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 知识点三：超几何分布 1、超几何分布的定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈｛正整数｝，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．记法：X～H(N，n，M)． 分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … 2、若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. 3、超几何分布与二项分布的关系 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 知识点四、正态分布 1、正态曲线。函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 2、正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 3、正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 4、正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 5、3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 知识点五：概率综合题思路 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解. 知识点一：二项分布 题型1：二项分布的概率计算 【方法点拨】对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可. 【例1】设随机变量ξ服从二项分布ξ～B（6，），则P（ξ≤3）等于（　　） A． B． C． D． 【例2】随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知随机变量X服从二项分布B（4，p），，那么一次试验成功的概率p等于 ． 2.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（　　） A． B． C． D． 题型2：二项分布的期望与方差 【方法点拨】根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可. 【例3】设随机变量X～B（9，p），且E（X）＝3，则p＝（　　） A． B． C． D． 【例4】如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 3.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ） A． B． C． D． 题型3：二项分布中的最大值 【方法点拨】对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可. 【例5】已知，当P（X＝k）（k∈N，0≤k≤8）取得最大值时，k的值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【例6】如果ξ～B ，则使P（ξ＝k）取最大值时的k值为（　　） A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错 【跟踪训练】 1.已知随机变量ξ～B（100，），则当P（ξ＝k）取得最大值时，k的值为（　　） A．49 B．50 C．49或50 D．50或51 2.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（    ） A． B． C． D． 题型4：二项分布的实际应用 【方法点拨】利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量是否服从二项分布； (3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值； (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 【例7】甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【跟踪训练】 1.现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为． （1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）； （2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：． 2.冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20男子个人赛的规则如下： ①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直达终点； ②如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟； ③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜. 已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响. (1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率； (2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由. 知识点二：超几何分布 题型5：超几何分布的判断 【方法点拨】 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 【例8】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【跟踪训练】 1.下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 题型6：超几何分布的概率及其分布列 求超几何分布的分布列的步骤 【例9】一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【例10】从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【跟踪训练】 1．有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是（   ） A． B． C． D．以上均不对 2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（　　） A． B． C． D． 3.在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 4.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ． 题型7： 超几何分布的实际应用 【方法点拨】利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量是否服从超几何分布； (3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列； (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 【例11】研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和） 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 新能源汽车销量占比 (1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率； (2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望． 【例12】为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取4个城市， ①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 【跟踪训练】 1.近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）． 厨余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶 厨余垃圾 60 20 20 可回收物 10 40 10 其他垃圾 30 40 170 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望． 知识点三：正态分布 题型8：正态曲线的特点 【方法点拨】根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可. 【例13】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例14】已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1) B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3) C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3) D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2) 【跟踪训练】 1.已知正态分布密度函数，，以下关于正态曲线的说法不正确的是 A．曲线与轴之间的面积为1 B．曲线在处达到峰值 C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移 D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 2.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 4.设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． 题型9： 利用正态曲线的对称性求概率 【方法点拨】 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断. 【例15】在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ） A． B． C． D． 【例16】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（　　） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【跟踪训练】 1.已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____． 2.已知随机变量X服从正态分布，若，则_________． 3.设随机变量，若，则________. 4.已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ） A．0 B． C． D． 题型10：利用正态分布的3原则求概率 【方法点拨】 利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1. 【例17】设，已知随机变量，随机变量.若，则 . 【例18】已知随机变量，则的值约为 （    ） 附：若，则，， A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 2．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 3. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（    ）附：若，则， A． B． C． D． 题型11： 正态分布的实际应用 【方法点拨】 利用服从正态分布N(,)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率，可以解决两类实际问题： 一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可. 另一类是利用3原则作决策. 【例19】王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【例20】某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 【例21】某班级测验均分，根据检测结果可知，若该班级40名学生，则60分以下的人数大约为 ． 【跟踪训练】 1.某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下： 数学成绩 频率 0.16 0.168 0.48 0.16 0.032 (1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？ (2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据： 若，则，，. 2.为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业： 硫排放量X [2.55.5） [5.5，8.5） [8.5，115） [115，14.5） [14.5.175） [175，20.5） [20.523.5） 频数 5 6 9 12 8 6 4 (1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数； (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望. （参考数据：若X~，则，，.） 一、填空题 1．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则_______. 2．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为___ 3.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X，则为_____ 4．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为 .（结果用最简分数表示） 5．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 6．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为______ 7.设随机变量服从正态分布，若，则实数______ 8．若随机变量，且，，则等于_______ 9.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知随机变量服从正态分布，且，则______． 10．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量，且，则___________ 11.设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号） ①； ②； ③； ④. 12．（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为______ 二、选择题 13．若，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．下列关于超几何分布的叙述中，不正确的是（    ） A．X的可能取值为0，1，2，…，20 B． C．X的数学期望 D．当k＝8时，最大 15．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）在某个独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学期末）已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法错误的是（    ） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在处达到峰值 C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 17．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．已知随机变量满足：，则错误的（    ） A． B． C． D． 三、解答题 19．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球． (1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值； (2)求从乙盒取出2个红球的概率． 20．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A､B两名同学中产生，测试方案如下：A､B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率是，A､B两名同学作答问题相互独立. (1)求A､B恰好答对2个问题的概率； (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，说明理由？ 21．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用， (1)从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率； (2)从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为，求的分布列和数学期望. 22．（2022·全国·高三专题练习）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券． 方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖； 方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表： 获得代金券金额（万元） 0 “顾客胜利”次数 0 1 2 3 (1)求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率； (2)若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？ 23．（2022·山西·高三阶段练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下： 时间（小时/周） 0 人数 20 40 30 10 (1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率； (2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题15 常用分布 知识点一、伯努利试验 1、伯努利试验的概念：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2、n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 知识点二、二项分布 1、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2、两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E[X]＝p，D[X]＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，那么E(X)＝np， D(X)＝np(1－p)． 3、解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 知识点三：超几何分布 1、超几何分布的定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈｛正整数｝，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．记法：X～H(N，n，M)． 分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … 2、若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. 3、超几何分布与二项分布的关系 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 知识点四、正态分布 1、正态曲线。函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 2、正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 3、正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 4、正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 5、3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 知识点五：概率综合题思路 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解. 知识点一：二项分布 题型1：二项分布的概率计算 【方法点拨】对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可. 【例1】设随机变量ξ服从二项分布ξ～B（6，），则P（ξ≤3）等于（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项分布的概率公式求解可． 【解答过程】解：因为随机变量ξ服从二项分布ξ～B（6，）， 所以P（ξ≤3）＝P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3） ． 故选：C． 【例2】随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得. 【详解】因，则，，1，2，3. . 故选：A. 【跟踪训练】 1.已知随机变量X服从二项分布B（4，p），，那么一次试验成功的概率p等于 ． 【答案】或 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】， 即，解得或． 故答案为：或. 2.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据随机变量ξ～B（2，p），，写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入η～B（4，p），求出概率． 【解答过程】解：∵随机变量ξ～B（2，p），， ∴1p0•（1﹣p）2， ∴p， ∴η～B（4，）， ∴P（η≥2）， 故选：B． 题型2：二项分布的期望与方差 【方法点拨】根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可. 【例3】设随机变量X～B（9，p），且E（X）＝3，则p＝（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解． 【解答过程】解：∵随机变量X～B（9，p）， ∴E（X）＝np＝9•p＝3，解得p． 故选：A． 【例4】如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据期望的性质可得，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 【跟踪训练】 1．设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式计算可得，再由二项分布的方差公式可得，根据方差性质可得结果. 【详解】由题可得，解得， 即． 又随机变量满足，故． 故选：C 2．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得. 【详解】根据分布列方差的性质得：， 依题意知，满足二项分布， 所以，， 所以，解得，或（舍去）. 故选：D. 3.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为， 因为是有放回的取球，所以， 所以 故选：D 题型3：二项分布中的最大值 【方法点拨】对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可. 【例5】已知，当P（X＝k）（k∈N，0≤k≤8）取得最大值时，k的值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【解题思路】根据变量符号二项分布，写出变量对应的概率的表示式，整理得到在概率的表示式中，只有组合数是一个变量，根据组合数的性质得到结果． 【解答过程】解：∵， ∴P（X＝k） ∴当P（X＝k）（k∈N，0≤k≤8）取得最大值时只有C8k是一个变量， ∴根据组合数的性质得到当k＝4时，概率取得最大值， 故选：D． 【例6】如果ξ～B ，则使P（ξ＝k）取最大值时的k值为（　　） A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错 【解题思路】随机变量ξ～B（20，），当P（ξ＝k）的表达式，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由Eξ＝20，知k＝6，或k＝7都可能是极值，由此能求出p（ξ＝k）取最大值时k的值． 【解答过程】解：随机变量ξ～B（20，）， ∴当P（ξ＝k）（）20﹣k（1）k＝（）20•2k•， 由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值，这和期望的意 义接近． ∵Eξ＝20， ∴k＝6，或k＝7都可能是极值， ∵P（ξ＝6）＝P（ξ＝7）， ∴p（ξ＝k）取最大值时k的值是6或7． 故选：B． 【跟踪训练】 1.已知随机变量ξ～B（100，），则当P（ξ＝k）取得最大值时，k的值为（　　） A．49 B．50 C．49或50 D．50或51 【解题思路】根据二项分布，独立重复试验的概率求解得出P（ξ＝k）（）k（1）100﹣k（）100，转化为取最大值，得出不等式组，且求解即可，利用k∈N，选择答案． 【解答过程】解：∵随机变量ξ～B（100，）， ∴k＝0，1，2，3，…100． ∴P（ξ＝k）（）k（1）100﹣k（）100 ∴当P（ξ＝k）取得最大值时，即取最大值， ∵，且， ∴， ∵k∈N， ∴K＝50， 故选：B． 2.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得该产品能销售的概率为， 易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以， 所以，， ， 故， ， 故选：B． 题型4：二项分布的实际应用 【方法点拨】利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量是否服从二项分布； (3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值； (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 【例7】甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得的可能取值为：，， 所以，，， 所以的分布列为： 1 2 3 由题意可得， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2），. ， ， 因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大. 【跟踪训练】 1.现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为． （1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）； （2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即； （2）先求得，由显然可得，再变形，可证得. 【详解】（1）平均每组人， 设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则， 所以， 所以该组试验只需第一轮注射的概率为． （2）由（1）得， ， 所以 ， 设，则， 又， 所以 ，因为，所以， 又 ，因为，所以， 所以． 2.冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20男子个人赛的规则如下： ①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直达终点； ②如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟； ③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜. 已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响. (1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率； (2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由. 【答案】(1) (2)乙选手水平更高，理由见解析 【分析】（1）求出“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”和“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”的概率即可求解； （2）根据题意可得，，求出时间的期望即可求解. (1) 甲滑雪用时比乙多秒分钟， 因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹. 设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件B， “在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C， 依题意，事件B和事件C是互斥事件， ，    所以，. 所以甲胜乙的概率为. (2) 依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则，， 所以甲被罚时间的期望为（分钟）， 乙被罚时间的期望为（分钟）， 又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，则甲最终用时的期望比乙多分钟， 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 知识点二：超几何分布 题型5：超几何分布的判断 【方法点拨】 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 【例8】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 【跟踪训练】 1.下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 题型6：超几何分布的概率及其分布列 求超几何分布的分布列的步骤 【例9】一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】至少有1件是次品的概率是. 故选：C. 【例10】从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【解析】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是， 故. 故选：C. 【跟踪训练】 1．有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】利用超几何分布求概率即可. 【详解】至多有一个是二等品即没有二等品或者只有一个二等品， 故概率为：. 故选：C 2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出抽取的4人中有3个团员，分别求出从这10人中任选4人参加某种活动方法总数，以及抽取的4人中有3个团员的方法总数，由古典概率的公式即可得出答案 【详解】表示出抽取的4人中有3个团员， 所以. 故选：D. 3.在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 4.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率 【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况. 所求概率为. 故答案为：. 题型7： 超几何分布的实际应用 【方法点拨】利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量是否服从超几何分布； (3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列； (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 【例11】研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和） 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 新能源汽车销量占比 (1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率； (2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望． 【解析】（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆， 则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为． （2）由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 新能源汽年销量 0.0625 0.112 0.168 0.275 0.456 0.54 1.16 新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个， 则随机变量X可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 所以． 【例12】为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取4个城市， ①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 【答案】(1)； (2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析； ②. 【分析】 ⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可； ⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可； ②利用条件概率求概率的方法求概率即可. （1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况， 其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为， 解得（负值舍去）. （2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4， 相应的概率分别记为， ，， ，， . ②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况； 若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况， 所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为. 【跟踪训练】 1.近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）． 厨余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶 厨余垃圾 60 20 20 可回收物 10 40 10 其他垃圾 30 40 170 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列为 X 0 1 2 3 P 期望为 【分析】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解. （2）根据超几何分布,即可得分布列和期望. (1) 由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率； (2) 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3 ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为． 知识点三：正态分布 题型8：正态曲线的特点 【方法点拨】根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可. 【例13】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 【例14】已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1) B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3) C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3) D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2) 【答案】D 【解析】对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分， P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分， 故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误； 对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误； 对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误； 对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关， 故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知正态分布密度函数，，以下关于正态曲线的说法不正确的是 A．曲线与轴之间的面积为1 B．曲线在处达到峰值 C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移 D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 【答案】D 【解析】由正太分布的密度函数的解析式可知：曲线与轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为，其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”．因此答案A，B，C都是正确的，答案D是错误的，应选答案D． 2.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 3．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 4.设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】依题意，由图可得， 对任意正实数，， 因为， 所以，故A错误，B正确； ，故C错误； 因为，所以，故D错误； 故选：B. 题型9： 利用正态曲线的对称性求概率 【方法点拨】 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断. 【例15】在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，， 所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是. 故选：A. 【例16】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（　　） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误， 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____． 【答案】 【解析】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵， ∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为． 故答案为： 2.已知随机变量X服从正态分布，若，则_________． 【答案】0.4【解析】由题可知：， ， 所以． 故答案为：0.4 3.设随机变量，若，则________. 【答案】0.5 【解析】因为随机变量，， 所以， 所以. 故答案为：0.5. 4.已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，则， 又，则，解得 故选：A 题型10：利用正态分布的3原则求概率 【方法点拨】 利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1. 【例17】设，已知随机变量，随机变量.若，则 . 【答案】 【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】由，得， 由，且设， 故有，解得，则. 故答案为： 【例18】已知随机变量，则的值约为 （    ） 附：若，则，， A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知随机变量，故 ， 故 , 故选：A 【跟踪训练】 1.设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】/ 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 2．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【答案】A 【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 3. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（    ）附：若，则， A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为. 故选：A. 题型11： 正态分布的实际应用 【方法点拨】 利用服从正态分布N(,)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率，可以解决两类实际问题： 一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可. 另一类是利用3原则作决策. 【例19】王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 【例20】某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 【答案】10 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 【例21】某班级测验均分，根据检测结果可知，若该班级40名学生，则60分以下的人数大约为 ． 【答案】2 【分析】结合正态分布的性质得到，从而可求出结果. 【详解】因为服从正态分布，所以， 因为， 所以， 所以60分以下的人数为人， 故答案为：2. 【跟踪训练】 1.某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下： 数学成绩 频率 0.16 0.168 0.48 0.16 0.032 (1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？ (2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据： 若，则，，. 【解析】（1）因为语文成绩服从正态分布， 所以语文成绩特别优秀的概率. 由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率， 所以语文成绩特别优秀的学生大约有（人）， 数学成绩特别优秀的学生大约有（人）. （2）语文和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有14人，可取的值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 P 2.为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业： 硫排放量X [2.55.5） [5.5，8.5） [8.5，115） [115，14.5） [14.5.175） [175，20.5） [20.523.5） 频数 5 6 9 12 8 6 4 (1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数； (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望. （参考数据：若X~，则，，.） 【解析】（1）由已知，得，， 所以 因为 所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51. （2）由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且 所以Y的分布列为 Y 1 2 3 4 P 所以 一、填空题 1．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则_______. 【答案】##4.8 【分析】根据二项分布的方差运算公式以及变量间的方差关系公式即可求解. 【详解】因为,所以, 所以. 故答案为:. 2．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为___ 【分析】抛三枚均匀的硬币正面朝上的次数服从二项分布，代入计算可得. 【详解】每枚硬币正面朝上的概率是，正面朝上的次数， 故抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为， 3.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X，则为_____ 【分析】由题可知，然后根据二项分布的期望公式即得. 【详解】因为盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，所以每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为， 又摸球的过程是有放回的，故，所以. 4．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】至少摸出3个白球，即摸出白球的数量为3,4,5，根据超几何分布的概率公式进行求解即可. 【详解】由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3,4,5， 则概率为， 故答案为： 5．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 【答案】 【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【详解】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率， 所以. 故答案为： 6．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为______ 【解析】可能的取值有1，2，3 . 设随机变量服从正态分布，若，则实数______ 【分析】利用正态分布的对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 8．若随机变量，且，，则等于_______ 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 9.（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】 【分析】根据正态分布的特点即可得到答案. 【详解】根据正态分布的对称性得 ， 故答案为：0.12. 10．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量，且，则___________ 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性即可计算求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以， 故答案为：. 11.设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号） ①； ②； ③； ④. 【答案】②④##④② 【分析】随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案. 【详解】因为，所以①不正确； 因为 ， 所以②正确，③不正确； 因为，所以，所以④正确. 故答案为：②④. 12．（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3． ； ； ． ∴． 故选：B． 另设小王正确完成的面试题数为，则，∴． 故选：B． 二、选择题 13．若，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的概率公式及期望与方差的性质求解. 【详解】，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：B. 14．下列关于超几何分布的叙述中，不正确的是（    ） A．X的可能取值为0，1，2，…，20 B． C．X的数学期望 D．当k＝8时，最大 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义和性质即可判断ABC选项；根据最大列不等式，解不等式即可得到，即可判断D选项. 【详解】根据超几何分布的定义得到的可能取值为0，1，2，20，，，故AC正确，B错； ，解得，所以时最大，故D正确.故选：ACD. 15．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）在某个独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相互独立事件的概率及二项分布的期望与方差进行辨析即可. 【详解】由已知，，∴，， ，∴，， ∵事件，相互独立， ∴一次实验中，，同时发生的概率， ∴， ∴，， 对于A，，， 不一定成立，故选项A说法不正确； 对于B，，， ，不一定成立，故选项B说法不正确； 对于C，，， 成立，故选项C说法正确； 对于D，，， 不一定成立，故选项D说法不正确. 故选：C. 16．（2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学期末）已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法错误的是（    ） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在处达到峰值 C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 【答案】D 【分析】利用正态分布的密度曲线的性质，逐项分析判断作答. 【详解】因正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，则A正确； 因，有，因此，当且仅当时取“=”， 即曲线在处达到峰值，B正确； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，C正确； 当一定时，曲线的形状由确定，越小，峰值越高，正态曲线越“瘦高”，D错误. 故选：D 17．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 18．已知随机变量满足：，则错误的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可. 【详解】对A，因为，所以， 解得，故A错误； 对B，由上知，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确． 故选：A． 三、解答题 19．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球． (1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值； (2)求从乙盒取出2个红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解. 【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 分布列如下： 0 1 2 所以. （2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒， 此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0； (ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒， 此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； (iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒， 此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； 所以从乙盒取出2个红球的概率为. 20．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A､B两名同学中产生，测试方案如下：A､B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率是，A､B两名同学作答问题相互独立. (1)求A､B恰好答对2个问题的概率； (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，说明理由？ 【答案】(1) (2)选择A同学，理由见解析 【分析】（1）利用超几何概率求A答对的题数对应概率，利用二项分布概率公式求B答对的题数Y对应概率，进而求A､B恰好答对2个问题的概率即可； （2）根据（1）所得各可能值对应概率分别求出X，Y的期望、方差，比较大小即可下结论. 【详解】（1）设A答对的题数，则，且，， 设B答对的题数Y，则，且，， ，， 所以A､B恰好答对2个问题的概率为. （2）由（1）知：，， 而，， 所以，故选择A. 21．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用， (1)从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率； (2)从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）记事件A为“抽取到3个零件中恰有一个是使用过的”， 则. （2）依题有， 所以X的分布列如下 X 0 1 2 3 P 所以X的期望是 22．（2022·全国·高三专题练习）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券． 方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖； 方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表： 获得代金券金额（万元） 0 “顾客胜利”次数 0 1 2 3 (1)求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率； (2)若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？ 【解析】（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A， 则． 所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为． （2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y， 则，，． 方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为， 则， ， ， ， ∵ ∴统计的角度来分析，小翁该采取方案二． 23．（2022·山西·高三阶段练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下： 时间（小时/周） 0 人数 20 40 30 10 (1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率； (2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值． 【解析】（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为 （2）周阅读时间在小时的频率为，故概率为， 则，所以， 由得：，化简得 解得，又，故， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$