7.2.1 随机变量与分布（同步课件，含交互动画）数学沪教版选择性必修第二册

7.2 随机变量的分布与特征 第七章 概率初步（续） 7.2.1随机变量与分布 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 通过生活中的实例，理解随机变量、随机变量分布的概念. 经历写出一些简单随机变量的分布的过程，归纳总结分布的特征，发展数学运算、数学抽象等核心素养. 感悟随机变量的概念及其分布的含义. 1 温故知新 概率论是研究随机现象背后所蕴藏规律的数学理论. 样本空间 事件 概率 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （1）掷一颗骰子，得到的点数； （2）明天下雨的情况； （3）保险公司某客户一年中有关车辆的损失情况； （4）抛掷一枚硬币10次； （5）从一个放有大小与质地相同的10个白球、10个黑球的罐子中摸出5个球. 引例 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （1）掷一颗骰子，得到的点数； 引例 用X表示掷一颗骰子的得到的点数. 例如，X=6表示掷出6点，X=1表示掷出1点. 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （2）明天下雨的情况； 引例 用X表示明天的降雨量（单位：mm）. 例如，X=1表示明天下雨. 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （3）保险公司某客户一年中有关车辆的损失情况； 引例 用X表示保险公司某客户一年中与车辆相关的经济损失（单位：元）. 例如，X=1000表示某保险公司某客户中因车辆而造成经济损失1000元. 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （4）抛掷一枚硬币10次； 引例 抛掷一枚硬币10次，一定可以从抛掷结果中得到正面出现的次数， 因此可以规定抛掷一枚硬币10次的结果与其中正面出现的次数X相对应. 例如，X=5表示10次中有5次是正面. 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （5）从一个放有大小与质地相同的10个白球、10个黑球的罐子中摸出5个球. 引例 从装有10个白球和10个黑球的罐子中摸出5个球，根据摸球的结果一定可以确定白球的个数，因此可以规定摸球的结果与摸出的5个球中的白球个数X相对应，如X=2表示摸出的5个球中有2个白球. 2 用数来表示以下随机现象的结果： 新知探究 （4）抛掷一枚硬币10次； （5）从一个放有大小与质地相同的10个白球、10个黑球的罐子中摸出5个球. 引例 事实上，对于一个随机现象，我们可以规定某种对应关系，使得该随机现象的每个结果与一个实数对应，也就是引入一个取值依赖于样本空间上每个样本点的变量X，这个变量被称之为随机变量. 由此，我们便可以用数来刻画随机现象. 3 新知讲授 【问题1】如何理解随机变量是一种函数？ 以样本空间作为定义域的一个函数X 称为一个随机变量（randomvariable） ，即对样本空间Ω中任意给定的元素ω，都有 唯一的实数X（ω）与之对应． 1.随机变量 随机变量与函数都是一种对应关系. 函数 随机变量 实数 实数 随机现象的结果 实数 3 新知讲授 1.随机变量 定义域 值域 【问题2】作为函数，随机变量的定义域和值域分别是什么？ 样本空间Ω 随机变量的取值范围 3 新知讲授 2.随机变量的分布 随机变量的取值在随机现象发生前是随机的. 对于随机变量X，将X的值等于n的概率记作P（X = n）. 抛掷1枚硬币，正面朝上枚数X的可能取值为X=0、X=1， 其相应的概率分别为P（X=0）= P(X=1)= 随机变量取某一具体值这一事件的概率是该随机变量在该值上的分布. 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布. 4 举例分析 例1 分别抛掷1，2，3枚硬币，计算其中正面朝上枚数X 的分布． 解：（１）先考虑抛掷１枚硬币的情形． 此时X的可能取值是0，1 因为P（X=0）=P（X=1）= 所以X的分布是 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 4 举例分析 例1 分别抛掷1，2，3枚硬币，计算其中正面朝上枚数X 的分布． 解：（2）再考虑抛掷 2 枚硬币的情形． 此时X的可能取值是0，1，2 因为P（X=0）=P（X=2）= ，P（X=1）= 所以X的分布是 4 举例分析 【问题3】请尝试以“抛掷2枚硬币，正面朝上枚数X的分布”为例详细解释一下随机变量. 样本空间Ω ＝ ｛HH ， HT ，TH ，TT ｝是等可能的. 随机变量X是正面朝上的个数，故 X（HH ） ＝２ ， X（HT） ＝１ ， X（ TH ） ＝１ ， X（T T ） ＝０ 且 ｛X＝０ ｝＝｛T T ｝， ｛X＝１｝＝｛ HT，TH ｝， ｛X＝２ ｝＝｛HH ｝ 4 举例分析 例1 分别抛掷1，2，3枚硬币，计算其中正面朝上枚数X 的分布． 解：（3）若抛掷 3 枚硬币的情形． 此时X的可能取值是0，1，2，3 P（X=0）=P（X=3）= ， P（X=1）=P（X=2）= 所以X的分布是 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将交互式页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 5 新知讲授 2.随机变量的分布 一个如下形式的图表被称为一个分布： 互异的实数 相应的概率 【问题4】随机变量X的分布中，概率值满足什么条件？ 任意事件的概率介于0，1之间，所以 因为样本空间Ω的概率P（Ω）=1，所以随机变量X的所有可能取值的概率和也等于1，即 6 举例应用 例2 掷一颗骰子，观察掷得的点数． （1）求点数 X 的分布； （2）只关心点数6是否出现．若出现，则记 Y＝1，否则记 Y＝0．求Y的分布 解： （1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数 x 的分布为 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将交互式页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 6 举例应用 例2 掷一颗骰子，观察掷得的点数． （1）求点数 X 的分布； （2）只关心点数6是否出现．若出现，则记 Y＝1，否则记 Y＝0．求Y的分布 解：（2）因为P（Y＝1）＝16，而P（Y＝0）＝56，所以Y 的分布为 6 举例应用 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布的，如例１（１）与例２（１）．另外，只取两个值的随机变量称为伯努利型， 其分布称为伯努利分布，如例１（１）与例２（２）. 6 举例应用 例3 统计某地历史上近两百年的年降水量，得到以下数据 请据此构造一个随机变量并求其分布． 解: 用 X 表示年降水量级别， X ＝１、２、３、４、５分别表示年降水量为０～１００、１００～２００、２００～３００、３００～４００和４００以上． X 是一个随机变量，其分布为 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将交互式页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 6 举例应用 例3 统计某地历史上近两百年的年降水量，得到以下数据 请据此构造一个随机变量并求其分布． 解: 分布通常可用更直观的图像来表示，如下面的条形图（图7-2-1）所示 7 巩固练习 1 随机变量的分布列如下表，其中2b=a+c，且c=(ab)/2 X 2 4 6 P 0.2 0.1 0.1 则P(X=2)=( ) A. B. C. D. A 7 巩固练习 2 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数X的分布． 解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率 (2)X的可能取值为0,1,2,3，则 X 0 1 2 3 P 7 巩固练习 3 在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场． （1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数； （2）若胜场次数为X，求X的分布． 解：（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况； 若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况； 若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况； 若胜四场，则只有1种情况． 综上，共有4+18+8+1=31种情况． 7 巩固练习 3 在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场． （1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数； （2）若胜场次数为X，求X的分布． （2）X的可能取值为1,2,3,4，由（1）可知 X 1 2 3 4 P 所以X的分布列为： 课堂小结 随机变量 随机变量的分布 等可能分布和伯努利分布 以样本空间作为定义域的一个函数X 称为一个随机变量（randomvariable） ，即对样本空间Ω中任意给定的元素ω，都有 唯一的实数X（ω）与之对应． 随机变量与分布 沪教版选择性必修二 7.2.1 | 如何用数表示随机现象的结果 1. 掷骰子 2. 明天下雨 3. 车辆损失 4. 抛硬币10次 5. 摸球实验 引例 1：掷一颗骰子，得到的点数 随机现象：掷出一颗均匀的骰子，观察朝上一面的点数。 模拟实验 ? ? ? ? ? ? 掷骰子 等待投掷... 数量化过程 我们定义一个变量 X 来表示这个结果。 令 X = 掷出的点数 则 X 的所有可能取值为： {1, 2, 3, 4, 5, 6} 思考：这里的每一个试验结果（如“三点向上”）都唯一对应了一个实数（3）。这就是随机变量的本质。 引例 2：明天下雨的情况 随机现象：观察明天是否下雨。 模拟实验 ☁️ 天气未知 预测明天天气 数量化过程 天气状况（下雨/不下雨）不是数字，如何量化？ 我们可以人为规定映射规则： 令 X = 1 表示 下雨 令 X = 0 表示 不下雨 此时 X 的取值为：{0, 1} 关键点：随机变量不仅仅是自然存在的数字，也可以是我们为了研究方便，对非数值结果进行的编码。这种只有0和1两个取值的随机变量称为“0-1分布”或“两点分布”。 引例 3：保险公司某客户一年中有关车辆的损失情况 随机现象：记录某客户一年内车辆发生事故造成的经济损失金额。 模拟实验 点击生成该客户一年的随机损失情况： 生成损失数据 - (模拟不同事故等级对应的损失) 数量化过程 损失金额本身就是数值，但它是随机的。 令 X = 该客户一年的车辆损失金额 (元) X 的可能取值范围： [0, +∞) 或具体离散值 {0, 500, 2000, 10000, ...} (取决于是否发生事故及事故大小) 思考：如果我们将损失金额精确到分，它可能有无穷多个取值。这展示了随机变量取值的多样性。在实际保险精算中，我们关注的是 $X$ 取各个值的概率。 引例 4：抛掷一枚硬币10次 随机现象：连续抛掷10次硬币，观察正反面情况。 模拟实验 点击按钮开始 抛掷10次 正面次数：- 数量化过程 试验结果是一个序列（如：正反反正...），我们需要提取一个特征数。 我们关心的特征：正面朝上的次数 令 X = 10次中正面朝上的次数 则 X 的所有可能取值为： {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 对比：同样的试验（抛硬币），如果我们定义 $Y$ 为“首次出现正面所需的次数”，$Y$ 的取值就完全不同了。这说明随机变量的定义取决于我们研究的目的。 引例 5：从罐子中摸出5个球 随机现象：罐中有10白10黑，从中一次性摸出5个球，观察颜色构成。 模拟实验 点击按钮摸球 摸出5个球 白球数：- 数量化过程 结果是5个球的颜色组合，如何用一个数描述？ 通常我们关注其中一种颜色的数量。 令 X = 摸出的5个球中白球的个数 分析取值范围： 最少可能摸到几个白球？（假设全黑）→ 0个 最多可能摸到几个白球？（假设全白）→ 5个 则 X 的取值为：{0, 1, 2, 3, 4, 5} 模型识别：这是典型的超几何分布模型。通过定义随机变量 $X$，我们将复杂的颜色组合问题转化为了数字 $0,1,2,3,4,5$ 的概率计算问题。 抛掷硬币正面朝上枚数分布 沪教版高中数学 选择性必修二 随机变量与分布 例1 1枚硬币 2枚硬币 3枚硬币 请选择硬币数量开始演示 抛掷硬币 所有可能结果： 正面朝上枚数 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 正面朝上枚数 X 随机变量与分布 整合课件 沪教版高中数学 选择性必修二 例1、例2、例3（修正版） 例1：抛硬币 例2：掷骰子 例3：年降水量 例1：抛掷硬币正面朝上枚数分布 分别抛掷1、2、3枚硬币，求正面朝上枚数X的分布 1枚硬币 2枚硬币 3枚硬币 请选择硬币数量 抛掷硬币 所有可能结果： 正面朝上枚数 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 正面朝上枚数 X 例2：掷一颗骰子点数分布 (1) 求点数 X 的分布；(2) 点数6出现记Y=1，否则记Y=0，求Y的分布 ? 🎲 掷骰子 请点击掷骰子 → 同时显示X和Y的结果 (1) 随机变量 X（点数）的分布列 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (2) 随机变量 Y（是否为6点）的分布列 Y 0（非6点） 1（是6点） P 5/6 1/6 概率分布可视化 X（点数）- 均匀分布 Y（是否为6点）- 0-1分布 例3：年降水量随机变量分布 统计某地近200年年降水量，构造随机变量并求其分布 原始统计数据 年降水量/mm 0~100 100~200 200~300 300~400 400以上 年数 10 55 85 35 15 总计：10+55+85+35+15 = 200年 构造随机变量 X 设X为年降水量所属区间，定义： X=1 → 0~100mm，X=2 → 100~200mm，X=3 → 200~300mm，X=4 → 300~400mm，X=5 → 400mm以上 随机变量 X 的分布列 X（区间编码） 1（0~100） 2（100~200） 3（200~300） 4（300~400） 5（400+） 年数 10 55 85 35 15 概率 P 0.05 0.275 0.425 0.175 0.075 年降水量概率分布可视化 X=1(0~100) X=2(100~200) X=3(200~300) X=4(300~400) X=5(400+) 计算X=3的概率 计算X≤2的概率 重置 点击按钮计算对应概率 随机变量与分布 整合课件 沪教版高中数学 选择性必修二 例1、例2、例3（修正版） 例1：抛硬币 例2：掷骰子 例3：年降水量 例1：抛掷硬币正面朝上枚数分布 分别抛掷1、2、3枚硬币，求正面朝上枚数X的分布 1枚硬币 2枚硬币 3枚硬币 请选择硬币数量 抛掷硬币 所有可能结果： 正面朝上枚数 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 正面朝上枚数 X 例2：掷一颗骰子点数分布 (1) 求点数 X 的分布；(2) 点数6出现记Y=1，否则记Y=0，求Y的分布 ? 🎲 掷骰子 请点击掷骰子 → 同时显示X和Y的结果 (1) 随机变量 X（点数）的分布列 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (2) 随机变量 Y（是否为6点）的分布列 Y 0（非6点） 1（是6点） P 5/6 1/6 概率分布可视化 X（点数）- 均匀分布 Y（是否为6点）- 0-1分布 例3：年降水量随机变量分布 统计某地近200年年降水量，构造随机变量并求其分布 原始统计数据 年降水量/mm 0~100 100~200 200~300 300~400 400以上 年数 10 55 85 35 15 总计：10+55+85+35+15 = 200年 构造随机变量 X 设X为年降水量所属区间，定义： X=1 → 0~100mm，X=2 → 100~200mm，X=3 → 200~300mm，X=4 → 300~400mm，X=5 → 400mm以上 随机变量 X 的分布列 X（区间编码） 1（0~100） 2（100~200） 3（200~300） 4（300~400） 5（400+） 年数 10 55 85 35 15 概率 P 0.05 0.275 0.425 0.175 0.075 年降水量概率分布可视化 X=1(0~100) X=2(100~200) X=3(200~300) X=4(300~400) X=5(400+) 计算X=3的概率 计算X≤2的概率 重置 点击按钮计算对应概率 随机变量与分布 整合课件 沪教版高中数学 选择性必修二 例1、例2、例3（修正版） 例1：抛硬币 例2：掷骰子 例3：年降水量 例1：抛掷硬币正面朝上枚数分布 分别抛掷1、2、3枚硬币，求正面朝上枚数X的分布 1枚硬币 2枚硬币 3枚硬币 请选择硬币数量 抛掷硬币 所有可能结果： 正面朝上枚数 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 正面朝上枚数 X 例2：掷一颗骰子点数分布 (1) 求点数 X 的分布；(2) 点数6出现记Y=1，否则记Y=0，求Y的分布 ? 🎲 掷骰子 请点击掷骰子 → 同时显示X和Y的结果 (1) 随机变量 X（点数）的分布列 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (2) 随机变量 Y（是否为6点）的分布列 Y 0（非6点） 1（是6点） P 5/6 1/6 概率分布可视化 X（点数）- 均匀分布 Y（是否为6点）- 0-1分布 例3：年降水量随机变量分布 统计某地近200年年降水量，构造随机变量并求其分布 原始统计数据 年降水量/mm 0~100 100~200 200~300 300~400 400以上 年数 10 55 85 35 15 总计：10+55+85+35+15 = 200年 构造随机变量 X 设X为年降水量所属区间，定义： X=1 → 0~100mm，X=2 → 100~200mm，X=3 → 200~300mm，X=4 → 300~400mm，X=5 → 400mm以上 随机变量 X 的分布列 X（区间编码） 1（0~100） 2（100~200） 3（200~300） 4（300~400） 5（400+） 年数 10 55 85 35 15 概率 P 0.05 0.275 0.425 0.175 0.075 年降水量概率分布可视化 X=1(0~100) X=2(100~200) X=3(200~300) X=4(300~400) X=5(400+) 计算X=3的概率 计算X≤2的概率 重置 点击按钮计算对应概率 $