高一数学月考卷02（新高考通用，平面向量+解三角形+复数+立体几何）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得. 故选：B. 2．中角所对的边为，若，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据余弦定理，且， 则角. 故选：C 3．已知复数的模为2，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或4 【答案】D 【解析】由复数， 因为复数的模为，可得，解得. 故选：D. 4．已知各个顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是                                                             A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，正四棱锥的底面正方形的面积为，则其边长为．设球半径为，则球心在底面的射影为正方形的中心，从而可得球心到底面距离为．而正四棱锥的高为3，则，解得．所以球的表面积为，故选A 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】在中，，，，由正弦定理 可知. 又，，∴或. 故选：C. 6．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 7．在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为，    故选：A. 8.如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】对于A选项，如图①所示，在正方体中，   且， 因为分别为的中点， 则且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理可证平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为平面， 故平面,故A满足； 对于B选项，如图②所示，连接，    在正方体中，且， 因为分别为的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为分别为的中点，则， 所以， 因为平面平面， 所以平面，故B满足； 对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点， 连接，    因为且分别为的中点， 所以且，故四边形为平行四边形，则， 因为分别为的中点， 所以，则， 所以四点共面， 因为且，则四边形为平行四边形， 所以， 因为分别为的中点，则， 所以， 因为平面平面， 所以平面故C满足； 对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点， 连接，    因为且分别为的中点， 则且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为分别为的中点， 所以，故， 所以四点共面， 同理可证，故， 同理可得， 反设平面， 因为，且平面，则平面， 但与平面有公共点，这与平面矛盾， 故平面，故D不满足. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．对应的点落在第四象限 C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】由得， 所以，所以A正确， 复数对应的点坐标为，落在第二象限，所以B错误， 复数的共轭复数，所以C正确， 因为， 所以复数是方程的一个根，所以D正确， 故选：ACD 10．已知向量满足，，则（   ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A,B，设与的夹角为，因为，所以， 得，所以，，故A正确，B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故，故D正确． 故选：ACD． 11．在正方体中，下列说法正确的是 （    ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与底面所成的角为 C．直线与垂直 D．二面角 大小为 【答案】ACD 【解析】对于A，连接， 因为，所以是平行四边形，则 是异面直线与 所成的角， ，是等边三角形， 异面直线 与所成的角为，故A正确； 对于B，底面，直线 与底面所成的角为， ，故B错误； 对于C，连接， 平面， 平面，平面，，故C正确； 对于D，平面，是二面角 的平面角， 二面角 大小为 ，故D正确. 故选：ACD.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．请写出一个模为5，虚部为的复数 . 【答案】（或）答案不唯一，写出一个即可 【解析】根据题意，设复数，可得，解得， 所以或. 故答案为：（或）答案不唯一，写出一个即可 13．已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为 . 【答案】 【解析】由题意可知：该球的半径即为等边三角形的内切圆半径， 则，所以此球的体积为. 故答案为：. 14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则 . 【答案】3 【解析】不妨设，则，如图，由题可知. 由， 得，所以，所以，，. 又，所以，所以， 所以，即. 所以，，， 因为，所以， 解得，所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)求的坐标及； (2)若向量，且向量与平行，求的值. 【解析】（1），（2分） 因为，（4分） 所以.（6分） （2），（8分） .（10分） 因为向量与平行，所以， 解得.（13分） 16．（15分）设复数，. (1)若是实数，求； (2)在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，， 若是实数，则，得， 所以，，， 则；（7分） （2）， 因为复数表示第四象限的点，所以， 得.（15分） 17．（15分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面平面，，且，分别是的中点．    (1)证明：∥平面． (2)证明：平面． 【解析】（1）连接，如图所示：    因为是矩形，是的中点， 所以是的中点 因为是的中点， 所以∥， 又平面，平面， 所以∥平面．（7分） （2）因为，且， 所以 所以， 因为平面平面，且平面平面， ，平面 所以平面， 因为平面， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面．（15分） 18．（17分）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 【解析】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得.   （4分） （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为；（11分） （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面.（17分） 19．（17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知，得， 由正弦定理，得， 即， 即， 由于，所以，所以.（4分） （2）设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为. （10分） （3）设， 由（2）在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以，， 即，令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 所以．即的取值范围为．（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．中角所对的边为，若，，则角等于（    ） A． B． C． D． 3．已知复数的模为2，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或4 4．已知各个顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是                                                             A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 7．在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 8.如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．对应的点落在第四象限 C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根 10．已知向量满足，，则（   ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 11．在正方体中，下列说法正确的是 （    ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与底面所成的角为 C．直线与垂直 D．二面角 大小为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．请写出一个模为5，虚部为的复数 . 13．已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为 . 14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)求的坐标及； (2)若向量，且向量与平行，求的值. 16．（15分）设复数，. (1)若是实数，求； (2)在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 17．（15分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面平面，，且，分别是的中点．    (1)证明：∥平面． (2)证明：平面． 18．（17分）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 19．（17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A C D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（或）答案不唯一，写出一个即可 13． 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1），…………2分 因为，…………4分 所以.…………6分 （2），…………8分 .…………10分 因为向量与平行，所以， 解得.…………13分 16．（15分） 【详解】（1）由题意可知，， 若是实数，则，得， 所以，，， 则；…………7分 （2）， 因为复数表示第四象限的点，所以， 得.…………15分 17．（15分） 【详解】（1）连接，如图所示：    因为是矩形，是的中点， 所以是的中点 因为是的中点， 所以∥， 又平面，平面， 所以∥平面．…………7分 （2）因为，且， 所以 所以， 因为平面平面，且平面平面， ，平面 所以平面， 因为平面， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面．…………15分 18．（17分） 【详解】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得.   …………4分 （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为；…………11分 （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面.…………17分 19． （17分） 【详解】（1）由已知，得， 由正弦定理，得， 即， 即， 由于，所以，所以.（4分） （2）设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为. …………10分 （3）设， 由（2）在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以，， 即，令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 所以．即的取值范围为．......................................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．中角所对的边为，若，，则角等于（    ） A． B． C． D． 3．已知复数的模为2，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或4 4．已知各个顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是                                                             A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 7．在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 8.如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．对应的点落在第四象限 C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根 10．已知向量满足，，则（   ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 11．在正方体中，下列说法正确的是 （    ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与底面所成的角为 C．直线与垂直 D．二面角 大小为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．请写出一个模为5，虚部为的复数 . 13．已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为 . 14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)求的坐标及； (2)若向量，且向量与平行，求的值. 16．（15分）设复数，. (1)若是实数，求； (2)在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 17．（15分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面平面，，且，分别是的中点．    (1)证明：∥平面． (2)证明：平面． 18．（17分）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 19．（17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$