精品解析：上海市华东政法大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中质量评估数学试题

华政附高2024学年第二学期期中质量评估高一数学 时间：120分钟 满分：150分 可使用计算器 出题人：高一备课组 审题人：高一备课组 一､填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 是第____________象限角. 2. 用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是__________. 3. 在中，若，则的形状为__________. 4. 若，则__________. 5 化简__________. 6. 已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________. 7. 已知，则__________. 8. 函数的定义域为__________. 9. 已知函数的定义域为，值域的函数，则不同的函数共有__________个. 10. 如图，是半径为2圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________. 11. 已知函数，则方程的所有实数解的和为__________. 12. 如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标） 二､选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“是奇函数”（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 15. 下列命题中不正确的是（ ） A. 在中，若，则三角形为钝角三角形 B. 半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C. 若且，则 D. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 16. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共5小题，满分78分） 17. 已知关于的方程的两根为和. （1）求的值； （2）求和的值. 18 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性. （2）若，求角.（用反三角符号表示） 19. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. （2）求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 20 已知. （1）试将表示成的形式. （2）当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. （3）对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 21. 若函数和的定义域均为，则记. （1）已知，证明：是的周期. （2）命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. （3）若.请根据的周期性，求的值域和最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华政附高2024学年第二学期期中质量评估高一数学 时间：120分钟 满分：150分 可使用计算器 出题人：高一备课组 审题人：高一备课组 一､填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 第____________象限角. 【答案】三 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，而终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故答案为：三. 2. 用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据终边上角的定义即可求解. 【详解】终边在直线上的所有角组成的集合为， 故答案为： 3. 在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 4. 若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 5. 化简__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 6. 已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得. 【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3， 代入可得，由正弦函数定义可知. 故答案为：. 7. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 8. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数函数的定义和三角函数的性质即可解得定义域. 【详解】由对数函数的定义可知底数大于0且不为1，且真数大于0，结合三角函数的性质可得： . 故答案为：. 9. 已知函数的定义域为，值域的函数，则不同的函数共有__________个. 【答案】6 【解析】 【分析】通过对的取值进行分类讨论，可得函数的定义域，又值域，根据函数定义即可求解. 【详解】由题意得，，，， ，，， 所以定义域，即定义域有3个元素， 又值域，即值域也有3个元素， 所以函数个数为. 故答案为：6 10. 如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 11. 已知函数，则方程的所有实数解的和为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】分析两个函数性质，发现都关于对称，且在区间和内各存在两解， 结合对称性可得方程的所有实数解的和. 【详解】函数，当时，，所以的图象关于对称； 函数，由反比例函数性质可知，的图象关于对称， 容易发现在区间内，存在一解，即， 而在内，均单调递减，又，， ，故区间内必有一解使得， 在同一平面直角坐标系中作出图象如图所示： 容易发现在区间和内，各存在两解，从小到大不妨设为， 由对称性可知，关于对称，关于对称， 即，故方程的所有实数解的和为. 故答案为：12. 12. 如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标） 【答案】 【解析】 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 二､选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 14. “”是“是奇函数”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 15. 下列命题中不正确的是（ ） A. 在中，若，则三角形为钝角三角形 B. 半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C. 若且，则 D. 已知点坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】由正余弦定理可判断A，由弧长公式可判断B，由余弦函数图象性质可判断C，由旋转公式可判断D. 【详解】对A，，则， 令， ，由余弦定理得最大角为钝角，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，则，故C错误； 对D，设点在角的终边上，且，则，， 点在角的终边上，且， 于是点的坐标满足：，， 所以，故D正确. 故选：C. 16. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知有两解，以整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 三､解答题（本大题共5小题，满分78分） 17. 已知关于的方程的两根为和. （1）求的值； （2）求和的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【小问1详解】 由韦达定理得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 18 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性. （2）若，求角.（用反三角符号表示） 【答案】（1）偶函数；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断； （2）可以先化简内解析式，利用反正弦函数可求得角，再由偶函数可求得另一个解. 【小问1详解】 为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称，， ，为偶函数. 【小问2详解】 ，当， ， 是偶函数， 19. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. （2）求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 【答案】（1） （2）24， 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，进而求解； （2）由（1）得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 如图， 由图可知， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， ， 则 当且仅当时取等号. 此时，所以. 20. 已知. （1）试将表示成的形式. （2）当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. （3）对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【小问1详解】 由二倍角公式及辅助角公式可得 . 【小问2详解】 由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 21. 若函数和的定义域均为，则记. （1）已知，证明：是的周期. （2）命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. （3）若.请根据的周期性，求的值域和最值. 【答案】（1）证明见解析 （2）假命题，答案见解析 （3）答案见解析，值域为，最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数性质和余弦函数性质结合周期性的定义求解即可. （2）先判断原命题是假命题，再利用正弦函数的性质证明即可. （3）利用诱导公式求出，再利用正弦函数和余弦函数的性质求解值域即可. 【小问1详解】 由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. 【小问2详解】 该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. 【小问3详解】 由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$