18.1 勾股定理--练习题-2024-2025学年沪科版八年级数学下册

18.1 勾股定理 一、选择题： 1.用两个完全相同的直角三角板不能拼成(    ) A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 梯形 2.下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，等腰直角三角形中，，是上一点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.已知点在第一象限，若在轴上确定点使得为等腰三角形，则点的坐标有种可能． A. B. C. 或 D. 或 5.如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是(    ) A. 点到直线的距离为 B. 点到直线的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 6.如图，年月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的勾股弦图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如果大正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么小正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如图所示，把一块含角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果，那么的度数是          ． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为          ． 9.在中，，，如果，那么________________． 10.已知直角坐标平面上点和点，则的长为_______________． 11.在长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合，折痕为，则          ． 三、解答题： 12.如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点，，，垂足为． 求证：． 若厘米，厘米，求的长． 13.已知与成正比例，当时，的值为． 求与之间的函数表达式； 求该函数图象与坐标轴围成的三角形周长． 14.如图，中，，，点，分别在，上，过点作，垂足为，且． 若，，求的长； 若时，求证：． 15.如图，在直角三角形中，，点、分别在边、上，且． 画出直角三角形关于直线对称的三角形； 如果，，，用、、的代数式分别表示三角形的面积和四边形的面积，并化简． 16.如图，已知在中，，，． 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得要求：不写作法，保留作图痕迹； 求的长． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形解答即可． 本题考查了勾股定理的证明，轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：设的中点为，连接，如图所示：   点为的中点，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等腰直角三角形，且， ， ． 故选：． 设的中点为，连接，根据直角三角形的性质得，再根据得，由此可判定为等边三角形，则，进而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：以为腰时，以为圆心，长为半径画圆，与轴有两个交点、； 以为圆心，长为半径画圆，与轴有两个交点，其中一个与原点重合，构不成三角形，另一个交点可以构成等腰三角形． 以为底边时，作的垂直平分线交轴为， 综合以上分析，若在轴上确定点使得为等腰三角形，点的坐标有种可能． 故选：． 利用等腰三角形存在性探究方法两圆一直线判断即可． 本题考查等腰三角形存在性问题，分类讨论是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：过作于， 平分，， ，， ≌，则， 又， ， ≌， ，， ，， ， 过点作于， ，， ，则， ，则， 点到直线的距离为，故A选项结论错误； 过作于， ， 点到的距离为，故选项B结论正确； ， 点到直线的距离为，故选项D结论正确； 过作交的延长线于， ， 点到的距离为，故选项C结论正确． 故选：． 根据，，易证≌≌，得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，过点作于，点到直线的距离为，过作于，求得点到的距离为，，点到直线的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为． 本题考查的是含的直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，多次利用含的直角三角形求边的长度是解决问题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理证明有关知识， 由正方形性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【解答】 解：设大正方形的边长为， 大正方形的面积是， ， ， ， ， ， 小正方形的面积． 7.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是的利用．根据两直线平行，内错角相等求出的内错角，再根据三角板的度数求差即可得解． 【解答】 解：如图，因为直尺的对边平行， 所以， 所以． 故答案为． 8.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查等腰三角形的性质、直角三角形两个锐角互余及利用外角定理求角的度数，注意由于原等腰三角形形状的不同，可能存在两种情况． 【解答】 解：当高在等腰三角形的内部时，如图： ，，， ． 当高在等腰三角形的外部时，如图： ，，， ． 故答案为：或． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理，根据题意可知为等腰直角三角形，再根据勾股定理可得答案． 【解答】 解：，，， ， 即， ． 10.【答案】  【解析】解：直角坐标平面上点和点， ． 故答案为：． 根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可． 本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式及勾股定理，熟知两点的距离是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理由题意可知，设，则，在中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意可知， 设，则， ，， 在中，，， ， ，解得． 12.【答案】证明：，， ， ，， 平分， ， ； 解：， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ．  【解析】根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，证明； 根据角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，进而求出． 本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 13.【答案】      【解析】【分析】设  ，当  时，  的值为  ，求出  ，即可求出  与  之间的函数表达式； 求出直线  与  、  轴交点的坐标，即可得到  ，  的长，由勾股定理求出  的长，即可求出函数图象与坐标轴围成的三角形周长． 【详解】解：  与  成正比例，  设  ，  当  时，  的值为  ，  ，  ，  ，  与  之间的函数表达式是  ， 如图，直线  与  、  轴分别交于  、  两点，    当  时，  ，当  时，  ，  的坐标是  ，  的坐标是  ，  ，  ，  ，  函数图象与坐标轴围成的三角形周长是  ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，一次函数的性质． 14.【答案】解：，，， ， ， ， ， ． 证明：，， ，， ， ， ，， ， 又，， ≌， ．  【解析】根据含度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出，的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； 含度角的直角三角形的性质，推出，证明≌，即可得出结论． 本题考查勾股定理，含度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握含度角的直角三角形，以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15.【答案】解：如图所示； ，， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， 的面积； 四边形的面积的面积的面积的面积的面积正方形的面积， ， ．  【解析】作出点、、关于直线的对称点、、，然后顺次连接即可； 先判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半列式进行计算即可得解； 再根据四边形的面积的面积的面积的面积的面积正方形的面积，然后列式进行计算即可得解． 本题考查了利用轴对称变换作图，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，把四边形的面积分成四个三角形的面积和减去正方形的面积是解题的关键，也是本题的难点． 16.【答案】见解答；  ．  【解析】解：如下图：点即为所求； 过作于点，由得：垂直平分， 则，， 在直角三角形中， ，， ， ， ，， ， ， ，即：， 解得：． 根据线段的垂直平分线的性质作图； 根据勾股定理和平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、勾股定理和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$