4.4.1对数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1　对数函数的概念 第四章　指数函数与对数函数 数学 学习目标 ①理解对数函数的定义,会求对数函数的定义域． ②了解对数函数与指数函数之间的联系,培养观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法． ③在学习对数函数的过程中,认识事物的特殊性与一般性之间的关系,培养数学应用的意识,感受数学、理解数学、探索数学,提高学习数学的兴趣,了解对数函数在生产实际中的简单应用． 学习重难点 重点： 对数函数的概念、求对数函数的定义域． 难点： 对数函数与指数函数的关系． 当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”． 按照上述变化规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系? 课堂导入 情境1 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p, 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位, 那么： 死亡1年后,生物体内碳14含量为 死亡2年后,生物体内碳14含量为 死亡3年后,生物体内碳14含量为 …… 死亡5730年后,生物体内碳14含量为 (1−p)1； (1p)2 ； (1−p)3 ； (1−p)5730 ． 课堂导入 情境1 根据已知条件,,从而,所以 设生物死亡年数为,死亡生物体内碳14含量为,那么, 即, ． 这也是一个函数,指数是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以减率衰减．像这样,衰减率为常数的变化方式,我们称为指数衰减．因此,死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 在上述问题中,我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题,在引入对数后,我们还可以从另外的角度,对其蕴含的规律作进一步的研究． 情境1 已知死亡生物体内碳14的含量随死亡时间的变化而衰减的规律,反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢? 进一步地,死亡时间是碳14的含量的函数吗? 课堂导入 根据指数与对数的关系,由(≥0)得到 如图过轴正半轴上任意一点(0,)(≤ 1)作轴的平行线, 与(≥0)的图象有且只有一个交点(,)． 这就说明,对于任意一个,,通过对应关系 ,在,上都有唯一确定的数 和它对应,所以也是的函数． 也就是说,函数刻画了 时间随碳14含量的衰减而变化的规律． 情境1 课堂导入 课堂探究 探究一　对数函数 根据指数与对数的关系,由( ＞0,且≠ 1)可以得到 ( ＞0,且≠１),因此,也是的函数． 通常,我们用表示自变量, 表示函数． 为此,将( ＞0,且≠1)中的字母和对调, 写成( ＞0,且≠1)． 归纳总结 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)． 对概念的深度剖析： (1)对数函数中的底数和对数运算中的底数相同,都是a>0,且a≠1． (2)对数的运算中N>0,对数函数中的自变量x>0,对数函数的定义域是(0,+∞)． (3)对数函数的形式： 　①系数：对数符号前面的系数是1； 　②底数：a>0,且a≠1； 　③真数：对数的真数仅有自变量x． 课堂探究 课堂探究 探究二　对数函数概念的应用 【例题1】 (1)下列给出的函数,其中是对数函数的为( ) ①y=log5x+1；②y=logax2(a>0,且a≠1)；③y=lox； ④y=log3x； ⑤y=logx(x>0,且x≠1)；⑥y=lox． A. ③④⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑤⑥ D. ③⑥ D 解析 (1)由对数函数的定义知,③⑥是对数函数,故选D． 课堂探究 探究二　对数函数概念的应用 【例题1】 (2)若函数y=log(2a−1)x+(a25a+4)是对数函数,则a=　　　　　．  4 解析 (2)因为函数y=log(2a−1)x+(a25a+4)是对数函数, 所以 解得a=4． 规律方法 判断一个函数是对数函数的方法 课堂探究 (1)(多选题)下列函数是对数函数的是( ) 课堂探究 【跟踪训练1】 AD A. y=logax(a>0,且a≠1) B. y=log22x C. y=log2x+1 D. y=lg x 解析 (1)根据对数函数的定义可知A,D选项中的函数为对数函数． (2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,(8)=　　　　．  课堂探究 【跟踪训练1】 3 解析 (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(8)=f(8)=log28=3． (3)若函数f(x)=(a2+a5)logax是对数函数,则a=________．　　　　　 课堂探究 【跟踪训练1】 2 解析 (3)由a2+a5=1,得a=3,或a=2． 又a>0,且a≠1,所以a=2． 课堂探究 探究三　对数函数的定义域 求下列函数的定义域： 【例题2】 解 (1)要使函数有意义,需满足 解得1<x<2,故函数f(x)的定义域为(1,2)． (1)f(x)=+ln(x+1)； (2)f(x)=log(2x−1)(4x+8)． 课堂探究 探究三　对数函数的定义域 求下列函数的定义域： 解 (2)由题意得即解得<x<2,且x≠1． 故函数f(x)的定义域为{x|<x<2,且x≠1}． (1)f(x)=+ln(x+1)； (2)f(x)=log(2x−1)(4x+8)． 【例题2】 规律方法 求对数型函数的定义域时应遵循的原则： 课堂探究 (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时,被开方数非负； (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1． 注意：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0；若自变量在底数上,应保证底数大于0且不等于1． 求下列函数的定义域 课堂探究 【跟踪训练2】 (1)f(x)=lg(x−2)+ (2)f(x)=log(x+1)(164x)． 解 (1)要使函数有意义,需满足解得x>2,且x≠3, 故所求函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞)． 求下列函数的定义域 课堂探究 【跟踪训练2】 (1)f(x)=lg(x−2)+ (2)f(x)=log(x+1)(164x)． 解 (2)要使函数有意义,需满足 解得1<x<0,或0<x<4,故所求函数的定义域为(1,0)∪(0,4)． 课堂探究 探究四　对数函数的实际应用 假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过t年后的物价为． (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律． 【例题3】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0         课堂探究 探究四　对数函数的实际应用 (1)该地的物价经过几年后会翻一番? 【例题3】 解 (1)由题意可知,经过t年后物价为w=(1+5%)t, 即w=1.05t(t∈[0,+∞)) 由对数与指数间的关系,可得t=log1.05w,w∈[1,+∞)． 由计算工具可得,当w=2时,t≈14． 所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0         课堂探究 探究四　对数函数的实际应用 (2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律． 【例题3】 解 (2)根据函数t=log1.05w,w∈[1,+∞),利用计算工具,可填写表格． 由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长,但大约 每增加1所需要的年数在逐渐缩小． 14 23  28 33 37 40 43 45 47 已知集合A={1,2,3,4,···},集合B={2,4,8,16,···},下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是　　　　　． 课堂探究 【跟踪训练3】 ①y=2x ②y=x2 ③y=log2x ④y=2x 解析 观察集合A和集合B的数据,猜测其对应关系为以2为底的指数函数,将数据依次代入函数y=2x进行检验,发现都满足该函数的解析式,故选①． ① 1. 下列函数中,定义域是R的是( ) 评价反馈 A. y= B. y=log2x C. y=x3 D. y= C 解析 函数y=的定义域是[0,+∞),函数y=log2x的定义域是(0,+∞),函数y=x3的定义域是R,函数y=的定义域是{x|x≠0}． 2. 函数f(x)=log2(x2+2x−3)的定义域是( ) 评价反馈 A. [3,1] B. (3,1) C. (∞,3]∪[1,+∞) D. (∞,3)∪(1,+∞) D 解析 由题意,得x2+2x3>0, 解得x>1,或x<3, 所以函数f(x)的定义域是(∞,3)∪(1,+∞)． 3. 若函数f(x)= 则f (8)=　　　,f ( f (8)f (2))=　　　． 评价反馈 4 解析 因为f(x)=所以f (8)=1+log28=4, f (2)=(2)+2=4,所以f ( f (8)f(2))=f(0)=420=3． 3 课堂小结 今天我们学习了什么? 1.对数函数的概念及与指数函数的关系． 2.对数函数的定义域． 3.对数的应用． 布置作业 完成教材第131页练习第1,2题；第140页习题4.4第1,3,5题． 谢谢大家 $$