精品解析：2025年北京市大兴区中考数学一模试卷

2025北京市大兴区中考一模 初三数学 考生须知： 1．本试卷共8页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，直三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键． 主视图是指从正面看物体所得到视图，据此求解即可． 【详解】解：图中直三棱柱的主视图为 故选：C． 2. 2025年3月20日，中国首座自主设计建造的核电站——秦山核电站迎来了开工建设40周年．秦山核电站目前共有9台机组，累计安全发电超亿千瓦时，等效减排二氧化碳约8亿吨．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，即可解题． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：B． 3. 如图，A，B两点在数轴上表示的实数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，，，然后根据有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ，，， A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选：D． 4. 如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角板中的角度计算．根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 5. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及摸出1个黑子和1个白子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 黑子 黑子 白子 黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子） 黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子） 白子 （白子，黑子） （白子，黑子） 共有6种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有4种， 摸出1个黑子和1个白子的概率为． 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出a的值. 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故选择：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根. 7. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图：作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，由题意可得点是中点，求得即可解答，熟知是的垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：由题意可得是的垂直平分线， 点是中点， 根据勾股定理可得， ， 故选：B． 8. 已知边长为a正方形，过点B的直线分别交的延长线于点D，E，设，，，，正方形的面积分别为，，．给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，完全平方公式变形公式，先证明，可得，再用完全平方公式变形公式构建不等式判断剩下两个选项，熟练运用完全平方公式变形公式构建不等式是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ，即， ， ，即， ，故①正确； ，当且仅当时，取等号， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，即， 故③错误； 则正确结论为①②， 故选：A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故答案为：． 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原分式方程的解为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键． 把点点和点代入，得出，即可求解． 【详解】解：把点和点代入得， ， ∴， 故答案为：． 13. 将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键． 连接，过点O作于点H，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 14. 2025年六五环境日的主题为“美丽中国我先行”，旨在动员全社会做生态文明的积极传播者和模范践行者，投身美丽中国建设．为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小丽同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如图所示，估计该小区300户家庭这一天投放的可回收物共__________千克． 【答案】260 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，用样本估计总体，求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案． 【详解】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约（千克）， 故答案为：260． 15. 如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则：，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故答案为：5． 16. 小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组_________； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆． 【答案】 ①. （4，4，6，7，9，11，14） ②. 10 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题的关键． （1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题． （2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第一次操作后的有序数组为（5，5，8，10，12，15）； 第二次操作后的有序数组为（4，4，6，7，9，11，14）； 第三次操作后的有序数组为（3，3，5，6，7，8，10，13）； 第四次操作后的有序数组为（2，2，4，5，6，7，8，9，12）； 第五次操作后的有序数组为（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）； 第六次操作后的有序数组为（2，3，4，5，6，7，8，10，10）； ， （2，3，4，5，6，7，8，9，11）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； ， 所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆． 故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）；10． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数、二次根式及三角函数的混合运算，掌握相关运算的运算法则及特殊角的三角形函数值是解题的关键． 根据零次幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数及绝对值的意义分别进行计算，合并后即可得解． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，掌握整体代入是解答的关键．先由条件得到，然后把分化进行化简变形，然后整体代入解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴原式． 20. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）由菱形的性质得，，得为中位线，得；再证明，从而可得结论； （2）由菱形的性质得，由得，设，则，由勾股定理得，，设斜边上的高为h，根据等积关系得，由可求的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为的中点， 又M是中点， ∴为中位线， ∴； 在中，， ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 设斜边上的高为h，则有： ， ∴， ∴， ∴． 21. 列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 22. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． （1）求k与b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）先根据直线向上平移 2 个单位得出，再将点代入，求出的值即可； （2）根据点结合一次函数的性质即可求得． 【小问1详解】 解：∵将函数的图象向上平移 2 个单位得到的直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：把代入，得， 把点代入，得． ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴的取值范围是． 23. 为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动．活动时间为2024—2026年． 体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标．计算方法为BMI＝体重÷身高（体重单位：千克身高单位：米）．我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如图． 某工厂为了解员工的体重指数（BMI）情况，进行了抽样调查，过程如下： a．收集数据 从该工厂男、女职工中各随机抽取30名职工，计算每名职工的BMI值后，按从小到大排序如下： 男职工 17.3 17.6 17.9 18.7 19.0 19.6 20.2 20.6 20.7 20.8 21.3 21.5 21.6 21.8 22.1 22.3 22.4 23.1 23.2 23.4 23.5 23.5 23.6 23.7 24.0 24.1 25.1 27.7 29.3 30.6 女职工 15.4 16.6 16.8 17.4 17.6 18.5 18.6 18.7 19.0 19.1 20.1 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.5 21.5 21.6 21.8 22.8 23.3 23.6 24.4 25.2 25.7 26.1 28.1 28.7 30.8 b．整理数据 BMI（m） 人数 组别 男职工 3 21 4 2 女职工 5 k 4 3 c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 组别 平均数 中位数 众数 男职工 2234 22.2 n 女职工 21.51 p 21.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________，_________； （2）估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为_________； （3）请对该工厂工人提出一条合理的体重管理建议_________． 【答案】（1），， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查中位数和众数、平均数等知识，用样本估计总体是解题关键． （1）根据题中数据计算即可得到；根据众数和中位数的定义进行解答即可；； （2）用调查的男女职工体重正常的人数之和除以调查的总人数之和乘以即可； （3）建议合理即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，（名），即， 30名男职工的值中出现次数最多的是23.5，共出现2次，故， 30名女职工的值从小到大排列后第15个和16个分别是20.6 ，20.8， ∴， 故答案为：，， 【小问2详解】 由题意可得， 即估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为； 【小问3详解】 建议：对工厂职工进行合理、健康的饮食习惯的培养，并加强体育锻炼． 24. 如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点是的直径． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，根据同弧所对圆周角相等，半圆或直径所对圆周角为直角，切线的性质得到是等腰直角三角形，，，，由平行线的判定即可求解； （2）如图所示，连接，过点作于点，得到，，在中，，设，由勾股定理求解得到，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即点是的中点， 又∵点是中点， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，，，， ∴，则四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， ∴， 在中，， 设， ∴，即， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同弧所对圆周角相等，半圆或直径所对圆周角为直角，切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握切线的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析思想是关键． 25. 思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 【答案】（1）6（2）见详解（3）小，．（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，画函数图像，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）根据反比例函数k值的几何意义求解即可． （2）描点连线即可． （3）根据函数图像可知存在最小值，的最小值约为．根据矩形的周长求解即可． （4）求出圆的周长比较大小即可． 【详解】解：（1）∵在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形， ∴矩形的面积为∶． 故答案为：6． （2）以的长为横坐标，的和为纵坐标的函数图如下： （3）图2中描出的点所形成的图象趋势可以发现随着长度的变化，的值先减小后增大，所以存在最小值．从表格数据中可以看出的最小值约为．因为矩形的周长， 当约为时，矩形的周长C约为， 故答案为：小，． （4）面积为6的圆的半径为r， 则 ，则 则， ∵， ∴， 故答案为： 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求该抛物线与轴交点坐标； （2）已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，求得，则该抛物线与轴交点坐标为； （2）根据题意得出且，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则抛物线为． 令，则， ∴该抛物线与轴交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线，对于，，都有， ∴且， 则，即，， 解得：或； ，即，， 解得：或； 综上，或． 27. 已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键． （1）延长交的延长线于点P，根据平行线的性质得出，确定，再由各角之间的等量代换即可得出结果； （2）过点A作且，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， ，确定，继续利用全等三角形的判定和性质证明，结合图形利用勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 解：延长交的延长线于点P，如图所示： ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 过点A作且，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 由（1）得， ∴， ∵将射线绕点A逆时针旋转得到射线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，过上一点P作切线l，在圆的外部过点P分别作射线，，当时，则称，为点P关于该圆的“关联等角射线”．如图1． （1）如图2，的半径为1，已知，，，，在射线，，中，的“关联等角射线”是__________； （2）如图3，的半径为1，点P在第三象限，，为点P关于“关联等角射线”，与x轴平行，与y轴平行，则此时的度数为__________°； （3）如图4，点M的坐标为，的半径为1．点P在第一象限，，为点P关于“关联等角射线”，若过点O，与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为，则的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）45 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“关联等角射线”的定义可得，只有符合题意，即可解答； （2）点P在第三象限，根据与轴平行，与轴平行，画出图象，再根据“关联等角射线”的定义求解即可． （3）根据题意先确定最大值，要使得经过原点，先看左图可知此时不可能经过原点，要使得经过原点，先得找到临界位置（即过点的切线过点），此时，；那么将往下移动，一定能有过点，此时要确保与坐标轴无交点，即与轴没有交点，找到临界状态即轴时即可．画出图形，设，延长交轴于点，直线与轴交于点，则，过点作，得出，设，证明，列出方程求出．过点作轴于点，列出等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，，则的“关联等角射线”是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点P在第三象限，与轴平行，与轴平行，如图， ∴， ∵，为点P关于“关联等角射线”， ． 故答案为：45． 【小问3详解】 解：点M的坐标为，的半径为1， 先确定最大值，要使得经过原点，先看左图可知此时不可能经过原点，要使得经过原点，先得找到临界位置（即过点的切线过点）， 此时， ∴, ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴此时； 那么将往下移动，一定能有过点，此时要确保与坐标轴无交点，即与轴没有交点，找到临界状态即轴时，如图． 设，延长交轴于点，直线与轴交于点， 则， ∵直线与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 此时， ∴，， 过点作， ， 设， ， ， ∴ ， 即， 解得：（负值已舍去）． 过点作轴于点， ∵轴 ， ， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是理解题中新定义，找到临界点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京市大兴区中考一模 初三数学 考生须知： 1．本试卷共8页，共28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，直三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年3月20日，中国首座自主设计建造的核电站——秦山核电站迎来了开工建设40周年．秦山核电站目前共有9台机组，累计安全发电超亿千瓦时，等效减排二氧化碳约8亿吨．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A，B两点在数轴上表示的实数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 7. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2.5 D. 3 8. 已知边长为a的正方形，过点B的直线分别交的延长线于点D，E，设，，，，正方形的面积分别为，，．给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式：=______． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 11. 方程的解为__________． 12. 在平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则__________． 13. 将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为__________ ． 14. 2025年六五环境日的主题为“美丽中国我先行”，旨在动员全社会做生态文明的积极传播者和模范践行者，投身美丽中国建设．为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小丽同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如图所示，估计该小区300户家庭这一天投放的可回收物共__________千克． 15. 如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为__________． 16. 小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组_________； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，，求面积． 21. 列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 22. 在平面直角坐标系中，将函数图象向上平移2个单位得到的直线经过点． （1）求k与b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动．活动时间为2024—2026年． 体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标．计算方法为BMI＝体重÷身高（体重单位：千克身高单位：米）．我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如图． 某工厂为了解员工的体重指数（BMI）情况，进行了抽样调查，过程如下： a．收集数据 从该工厂男、女职工中各随机抽取30名职工，计算每名职工的BMI值后，按从小到大排序如下： 男职工 17.3 17.6 17.9 18.7 19.0 19.6 20.2 20.6 20.7 20.8 21.3 21.5 21.6 21.8 22.1 22.3 22.4 23.1 23.2 23.4 23.5 23.5 23.6 23.7 24.0 24.1 25.1 27.7 29.3 30.6 女职工 15.4 16.6 16.8 17.4 17.6 18.5 18.6 18.7 19.0 19.1 20.1 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.5 21.5 21.6 21.8 22.8 23.3 23.6 24.4 25.2 25.7 26.1 28.1 28.7 30.8 b．整理数据 BMI（m） 人数 组别 男职工 3 21 4 2 女职工 5 k 4 3 c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 组别 平均数 中位数 众数 男职工 22.34 22.2 n 女职工 21.51 p 21.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________，_________； （2）估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为_________； （3）请对该工厂工人提出一条合理的体重管理建议_________． 24. 如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点是的直径． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 550 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求该抛物线与轴交点坐标； （2）已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 27. 已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，过上一点P作切线l，在圆的外部过点P分别作射线，，当时，则称，为点P关于该圆的“关联等角射线”．如图1． （1）如图2，的半径为1，已知，，，，在射线，，中，的“关联等角射线”是__________； （2）如图3，的半径为1，点P在第三象限，，为点P关于“关联等角射线”，与x轴平行，与y轴平行，则此时的度数为__________°； （3）如图4，点M的坐标为，的半径为1．点P在第一象限，，为点P关于“关联等角射线”，若过点O，与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为，则的取值范围是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $