专题50 鸽巢问题进阶（详解知识点+培优练习）-2025年小升初同步知识点详解培优练（人教版）

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把m个物体放入n个空抽屉里（m>n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。 第一部分 基础知识培优练 一、仔细想，认真填。 1．有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有( )个。 2．实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有( )名队员。 3．某校共2650名学生，这些学生中至少( )人是在同一天过生日。 4．盒子里有同样大小的红球和黄球各5个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出( )个球。 5．桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有( )人。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 6．盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸9个球。( ) 7．盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( ) 8．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。( ) 9．六年级一班有学生50人，男生∶女生＝1∶1，王老师阅了25份试卷。保证男生、女生试卷都有。( ) 10．13名晚报小记者中，至少有2名小记者是同一月出生的。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 11．六（1）班有49个同学，那么班上至少有（    ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 12．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 13．将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了（    ）个苹果。 A．8 B．6 C．7 14．某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票中途统计结果如下： 规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（    ）张票才能当选？ A．6 B．7 C．8 15．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 第二部分 拔高知识培优练 四、解决问题。 16．在下面的每小格中填入“1”或“2”两个数字。 （1）每列有（    ）种不同的填法。 （2）无论怎么填，至少有几列的数字填法完全相同？为什么？ 17．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 18．请你证明：任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 19．给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 20．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 21．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 22．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 参考答案 1．5 分析：根据题意可知，先将每瓶都插（8－1）枝，用39÷（8－1）即可求出有多少个瓶子，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个瓶子，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。 详解：39÷（8－1） ＝39÷7 ＝5（个）……4（枝） 如果鲜花有39枝，花瓶应该有5个。 2．9 分析：一定有一个人至少拿4个，那么其他人至少少拿1个，也就是每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10个人少，据此解答即可。 详解：当篮球队有10名队员时，30÷10＝ 3（个），此时每个队员拿3个可一次抱走； 当篮球队有9名队员时，30÷ 9＝3（个）……3（个），此时需要有队员拿3＋1＝4（个）可一次抱走； 所以篮球队最多有9名队员。 3．8 分析：一年最多有366天，把天数看作抽屉数，把学生人数看作被分放物体数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 详解：2650÷366＝7（人）……88（人） 7＋1＝8（人） 某校共2650名学生，这些学生中至少8人是在同一天过生日。 4．5 分析：红球和黄球各摸出2个后，再摸出1个，不管这个球是什么颜色的，这种颜色的球都会有3个。 详解：2×2＋1＝5（个） 要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出5个球。 点睛：本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 5．21 分析：每人拿走1个或者2个，则只有1支铅笔，1块橡皮，2支铅笔，2块橡皮，1支铅笔和1块橡皮5种不同的情况；根据鸽巢原理，假设每种情况都有4个人，只要再多1个人则保证至少有5人拿到的文具完全相同。 详解：5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 这群学生至少有21人。 点睛：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定有几种情况。 6．× 分析：考虑最倒霉的情况，摸出的前3个都是不同颜色的球，再摸3个还是不同颜色的球，此时每种颜色各2个球，再摸一个，无论什么颜色，都可保证有3个同色的，据此分析。 详解：3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸7个球，所以原题说法错误。 故答案为：× 7．× 分析：由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个，如果一次取4个，最差情况为把其中1种颜色的球取完，又取了另外两种颜色的球各一个，此时没有两种颜色个数相同的球，所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。 详解：4＋1＝5 则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。 故答案为：× 8．√ 分析：假设先从袋子里拿出的5个球都是黄球，那么袋子里只剩下红球，此时任意从袋子里取出一个球，一定是红球，至少拿出6个球才能保证一定有红球，如果每次往外拿3个球，至少要拿2次，据此解答。 详解：5＋1＝6（个） 6÷3＝2（次） 所以，一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。 故答案为：√ 点睛：本题主要考查抽屉问题，从最差情况分析问题是解答题目的关键。 9．× 分析：由题意可知，男生∶女生＝1∶1，则男生和女生的人数分别占全班人数的，所以男生和女生都有50×＝25人，则至少需要阅25＋1＝26份试卷，才能保证男生、女生试卷都有。 详解：50×＝25（人） 25＋1＝26（份） 则至少需要阅26份试卷，才能保证男生、女生试卷都有。原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：本题考查鸽巢问题，求出男、女生的人数是解题的关键。 10．√ 分析：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，13名晚报小记者看做13个元素，考虑最差情况：把13名晚报小记者平均分配在12个抽屉中：13÷12＝1（名）⋯⋯1（名），那么每个抽屉都有1人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现2个人在同一个抽屉里。 详解：13÷12＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 即至少有2名小记者是同一月出生的。原题说法正确。 故答案为：√ 点睛：此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 11．B 分析：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，49个同学看作49个元素，考虑最差情况：把49个同学平均分配在12个抽屉中：49÷12＝4……1，那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。 详解：建立抽屉：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，考虑最差情况： 49÷12＝4（个）……1（人） 4＋1＝5（个） 六（1）班有49个同学，那么班上至少有5个同学的生日在同一个月。 故答案为：B 12．A 分析：先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 详解：订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 故答案为：A 13．C 分析：把3个盘子看作3个抽屉，把20个苹果看作20个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放6个，共需18个苹果，余2个苹果无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里有6＋1＝7个，据此解答。 详解：20÷3＝6（个）……2（个） 6＋1＝7（个） 将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了7个苹果。 故答案为：C 14．C 分析：根据题意知一共48票，已经计了30票，还有48－30＝18票没计。现在小华得了13票，小红得了10票，只要小华得到的票数比小红多1票才能当选。用剩下的票减去小华比小红多的票数13－10＝3票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给小华，就能当选。 详解：48－30＝18（票） 13－10＝3（票） （18－3）÷2 ＝15÷2 ＝7（票）……1（票） 7＋1＝8（票） 小华至少要得8票才能当选。 故答案为：C 15．B 分析：先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。 详解：颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种） 珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1 ＝2×4＋1 ＝8＋1 ＝9（粒） 所以至少要取出9粒。 故答案为：B 点睛：此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 16．填表见详解 （1）8 （2）2列；理由见详解 分析：将数字“1”或“2” 填入表格的每个小格中，写全所有可能的填法。 （1）数出每列有几种不同的填法。 （2）根据鸽巢问题的求法，把8种填法放入9列中，先平均每列放一种填法，还剩下1列，无论放哪一种填法，都会出现2列的数字填法完全相同。 详解：填表如下： 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 （填法不唯一） （1）每列有8种不同的填法。 （2）9÷8＝1（列）……1（列） 1＋1＝2（列） 答：无论怎么填，至少有2列的数字填法完全相同。因为有8种不同的填法，表格共有9列，把8种不同的填法放入9列中，一定至少有2列的数字填法完全相同。 17．11个 分析：把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。 详解：（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝50÷2 ＝45（个） 15－9＝6（个） 9＋1＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。 点睛：解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。 18．证明见详解 分析：根据3的倍数的特征，如果这三个数被3除，余数的和是3的倍数，那这三个数的和就是3的倍数。自然数被3除所得的余数有0、1、2三种情况，据此把全体自然数分成3类，即构成3个抽屉，然后根据抽屉原理分情况讨论。 详解：证明：自然数被3除所得的余数有0、1、2三种情况，据此把全体自然数分成3类，即构成3个抽屉。如果任选的5个自然数中： （1）如果3个抽屉都有数，根据抽屉原理，，那么5个数在3个抽屉中的分配方案必为2个，2个，1个；每个抽屉中各取1个数，余数的和为，因此，它们的和一定是3的倍数。 （2）如果至少有一个抽屉没有数，即将5个数放进2个抽屉或者1个抽屉，根据抽屉原理，，那么至少必有3个数在同一个抽屉，在同一个抽屉里的三个数的和一定是3的倍数。 所以，任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 点睛：结合3的倍数特征和抽屉原理进行分析，在有些抽屉问题中，“抽屉”和“物品”不是很明显，需要精心构造“抽屉”和“物品”。 19．见详解 分析：格子有9列3行，每个格子涂上红色或蓝色，每列的涂法共有8种情况：红红红、红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝蓝蓝、蓝蓝红、蓝红蓝、蓝红红。把这8种情况看成8个鸽巢，9列格子看成9个物体，根据抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 如果只涂两行，每列的涂法共有4种情况：红红、红蓝、蓝蓝、蓝红。把这4种情况看成4个鸽巢，9列格子看成9个物体，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 详解：9÷8＝1……1 1＋1＝2（列） 每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。 9÷4＝2……1 2＋1＝3（列） 如果只涂两行，至少有三列的涂色相同。 20．7名 分析：抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 详解：38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 点睛：解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 21．5人 分析：本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 详解：52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 点睛：此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 22．4位 分析：文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。 详解：情况数一共：（种） （位） 答：至少有4位同学参加的学习小组相同。 点睛：本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$