精品解析：山西省太原市2024-2025学年高二下学期期中学业诊断数学试题

2024~2025学年第二学期高二年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 等比数列中，，，则的前项和（ ） A. B. C. D. 4. 函数的极小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. 和 B. 和 C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值为-4 C. 有三个零点 D. 的对称中心为（1，-2） 10. 已知数列满足，，是的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 11. 已知等比数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的单调递增区间为______. 13. 已知数列的前项和为，，则_____. 14. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题；共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求的值域. 16. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 18. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意，恒成立，求实数的最大值. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上有零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高二年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知：，又， 所以， 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，即可求导数值. 【详解】由题设，则. 故选：C 3. 等比数列中，，，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求公比，再写出等比数列的前n项和即可. 【详解】若数列的公比为，则，故. 故选：D 4. 函数的极小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，研究其区间单调性，进而求极小值即可. 【详解】由题设， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 5. 已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式. 【详解】由题设，若的公比为，则，， 所以，则. 故选：D 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. 和 B. 和 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数的减区间即可. 【详解】由题设且， 当，则，在上单调递减， 当，则，在上单调递增， 所以单调递减区间是. 故选：C. 7. 已知等差数列的前n项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及等差数列前n项和公式得，且，进而有，得到、，即可判断各项的正误. 【详解】令的公差为，又，则，即， 由的公差为1，且，则， 所以，又，故， 所以，则，故，故、，A、B错； ，则、，C对、D错. 故选：C 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误. 【详解】令，则，即在R上单调递减， 所以，则，，，， 由，则， 所以，，，. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值为-4 C. 有三个零点 D. 的对称中心为（1，-2） 【答案】BD 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性可判断ABC，由对称中心的概念可判断D. 【详解】由， 可得：， 由，可得：或， 由，可得， 所以在和单调递增，在单调递减，A错， 在处取到极小值，B对， 在取得极大值，结合单调性可知有两个零点，C错， 又， 所以的对称中心为，D对， 故选：BD 10. 已知数列满足，，是的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知得是首项、公比均为2的等比数列，进而写出、，再应用等比数列前n项和、裂项相消法求和判断各项的正误. 【详解】由题设，且，则是首项、公比均为2的等比数列， 所以，则，故，A对，B错； 由，则，C对； 由， 所以，D对. 故选：ACD 11. 已知等比数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知有，利用导数研究右侧函数性质得，结合得到可判断C、D；根据恒成立判断A；取，得，并应用作差法判断B. 【详解】令的公比为，则，，故， 所以，令且，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即， 若时，而，矛盾！所以， 对于且，则，即在上单调递增， 所以，则在上恒成立， 故，所以，A对； 由且，则，，C、D对； 当，，则， 所以，即，B错. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【详解】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，，则_____. 【答案】30 【解析】 【分析】根据已知通项公式写出，分组求和即可. 【详解】由题设. 故答案为：30 14. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性得到，再通过参变分离求最值即可. 【详解】由， 可得：， 即， 构造函数，易知单调递增， 所以， 等价于在恒成立， 即在恒成立， 构造函数， ，易得时，， 时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题；共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求的值域. 【答案】（1） 当或，在、上单调递增， 当，的增区间为、，减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间； （2）根据（1）确定区间的单调性，进而求端点值，即可得值域. 【小问1详解】 由题设， 当或，，则在、上单调递增， 当，，则在上单调递减， 所以的增区间为、，减区间为； 【小问2详解】 由（1）知，在、上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 所以时，的值域为. 16. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 ①，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， 所以，， 故， 所以， 两式相减得， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值； （2）根据（1）及的区间值域，结合零点个数确定参数范围. 【小问1详解】 由题设， 当或，，在、上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由时，趋向于，时，趋向于，且， 结合（2）知，在上，且， 要使函数恰有两个零点，则或. 18. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意，恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）当，则，故，所以， 由，故，可得， 由，则， 所以是首项为2，公差为1的等差数列； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，且，进而得到，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）得，讨论的奇偶性，应用分组求和及等差、等比数列的前n项和公式求； （3）由（2）有，不等式化为，作商法研究右侧的单调性，确定参数范围，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，故， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以； 【小问3详解】 由（2）得，原不等式等价于， 令，， 则， 故，即， 所以在上单调递增，故，即实数的最大值. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上有零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）1 （3）1 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导得，再对进行合理分类讨论即可； （3）先验证不合题意，再利用隐零点法证明满足题意即可. 【小问1详解】 当时，，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程， 即； 【小问2详解】 ①当时，即时， 易知的解集为，，的解集为， 所以在，单调递增，在单调递减； ②当时，即，恒成立， 所以在上单调递增； ③当时，即， 易知的解集为，，的解集为， 所以在，单调递增，在单调递减； ④当，即时， 由可得：，由，可得：， 所以在单调递增，在单调递减； 综上：时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在单调递增，在单调递减； 【小问3详解】 由（2）得当时，在上递增，，此时在上无零点，不合题意； 当时，在上递减，在上递增，，取时， 证明不等式，， 设，，则，， 设，，则， 则在上单调递增，则，即在上恒成立， 则在上单调递增，则，即，， 用替换得， 则， ， ， ，使得符合题意； 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $