（从课本到奥数）第八单元 数学广角—搭配（二）奥数思维训练-2024-2025学年三年级下册数学小马虎错题本（人教版）

1 / 8 2024-2025学年三年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第八单元 数学广角—搭配（二）奥数思维训练 一、填空题 1．用数字卡片 1、0、5、2可以组成（ ）个没有重复数字的两位数，其中最大数与最 小数相差（ ）。 2．从 2、4、5中任选两个数字组成一个两位数作被除数，从 3、8中任选一个数作除数，一共 可以组成（ ）个除法算式。 3．2022 年卡塔尔世界杯，一共 32 支球队参加比赛，分成 8个小组，每小组 4支球队进行第 一轮的单循环赛，请问每个小组要比赛（ ）场。 4．开学时 4位好朋友每 2人拥抱一次，共要拥抱（ ）次；他们还要站成一排合影， 小明站在最左边，其他人的位置可自由安排，共有（ ）种站法。 5．有 2名男生和 2名女生如图站成一排拍照，那么他们一共有（ ）种不同的站法。 6．A、B、C、D四个同学要举行乒乓球比赛。他们采用循环赛（每两个赛一场）进行。比赛从 下午 2时开始，每场比赛 15 分钟，请你根据要求安排比赛，把表格填完整。 场次 对阵 时间 第一场 A VS B 14：00—14：15 7．四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第 1号位子，小猴坐在第 2号，小兔坐在第 3号，小 猫坐在第 4号。以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两 2 / 8 排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……，这样一直下去，第十次交换位 子后，小猫在第（ ）号位子上。 8．如图，从甲地到乙地有 3条路可走，从乙地到丁地有 2条路可走；从甲地到丙地有 2条路 可走，从丙地到丁地有 4条路可走；从甲地到丁地有 2条路直达。那么从甲地到丁地有（ ） 条不同的走法。 二、选择题 9．河南省将于 2025 年开始实行新高考，采用 3＋1＋2模式，3指统一考试科目“语文、数学、 英语”，1指“物理、历史”中选择一科，2指“政治、地理、化学、生物”中选择两科，共 有（ ）种选科的可能。 A．10 B．11 C．12 10．四个人下象棋，每个人都要与其他三个人分别下一局，已知 A、B、C三个人已经分别下了 3局、2局、1局，则 D已经下了（ ）局。 A．0 B．1 C．2 D．3 11．下列说法正确的是（ ）。 ①3个小朋友都单独和李老师、陈老师分别拍一张照片，一共要拍 6张照片。 ②小强和小李玩“石头、剪刀、布”的游戏，他们一共有 5种不同的出法。 ③笑笑有 4件上衣，3条裙子，她一共有 12 种不同的穿法。 ④三年级有 4位数学老师，每两个人通一次电话，一共要通 4次电话。 A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 12．有一些 1元、5角和 1角的钱币，要买一支 1.50 元的笔，要使付的钱刚好不用找零，有 （ ）种不同的付钱方法。 3 / 8 A．5 B．4 C．6 13．学校组织春游活动因故提前了，张老师要尽快通知到每一位学生，如果用打电话的方式， 每分钟通知 1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，全班 40 位同学，最 快（ ）分钟才能通知到全班同学。 A．4 B．5 C．6 D．7 14．参观比赛的两队选手，在比赛结束后互相握手，所有的人握了 10 次手，有（ ）人互相 握手。 A．4 B．10 C．5 D．9 15．下图是某城市局部街道示意图，某人想从街道口A 到街道口 B ，要是使走的路程最短，不 同的走法有（ ）。 A．8 B．9 C．10 D．11 16．算盘上的一个上珠表示 5，一个下珠表示 1（如图），现在用 1个上珠和 2个下珠，一共 可以表示出（ ）个不同的三位数。 A．6 B．9 C．12 D．21 三、解答题 17．用 4、1、3、6组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是双数的两位数？ 18．从 1～12 这十二个自然数中选取，把 26 拆分成 4个不同自然数之和，共有多少种不同的 4 / 8 分法？ 19．小甲和小乙两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛，如果最后小甲获胜了，那么比赛的 过程有多少种可能？ 20．如下图，如果小高站在 1号地毯上，他想要走到 5号地毯上，每次只能走到相邻的编号（两 个六边形如果有公共边就成为相邻），而且只能向右边走（例如 1→2→3→5就是一种可能的 走法） ，那么小高一共有多少种不同的走法？ 21．小、莫、萱三人玩传球游戏，每次持球的人都可以把球传给另外两个人中的任何一个，先 由小拿球，经过 4次传球之后，球又回到了小的手里，那么一共有多少种不同的传球过程？ 22．17 支排球队分成三组，其中两组各 6支队，第三组 5支队，第一阶段各组进行单循环比 赛；第二阶段，由各组前两名举行单循环比赛，决出冠亚军，共需举行多少场比赛？若第二阶 5 / 8 段中，原同一组的两队免赛，共需举行多少场比赛？若 17 支球队不分组，直接利用单循环赛 制，共要赛多少场？ 23．（1）体育室有 5个不同的足球和 6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个球，可以有 多少种不同的借法？ （2）体育室有 5个不同的足球和 6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个足球和一个篮球， 可以有多少种不同的借法？ 24．小明想把 4块巧克力放入两个同样的盒子里，允许有的盒子空着不放，你知道一共有多少 种不同的放法么？ 25．如图是中国象棋棋盘的部分局势图。 棋子“ ”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋 子“ ”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象飞田”（ 与 走的规则相同）。 如果两方各走一步，红子方走的是“ ”，黑子方走的是“ ”，可能出现（ ）种不同 6 / 8 的局势图，请你在下图中画出其中一种。 26．李叔叔从济南到北京出差，直达的车票卖完了，他准备从济南西站先乘高铁到天津南站， 再从天津南站站内换乘，乘高铁到北京南站。可以购票的车次如下表。一共有多少种购票方法？ 请你写出到达时间最早的购票方法。 车次 站点 发车时间 到达时间 C1596 济南西→天津南 09：59 11：03 G2582 济南西→天津南 10：33 11：36 G2578 天津南→北京南 11：33 12：08 G1084 天津南→北京南 12：08 12：42 G110 天津南→北京南 12：58 13：32 27． 星期一菜谱 荤菜：盐水鸭、辣子鸡 素菜：黄瓜、茄子 星期四菜谱 荤菜：牛肉、鱼肉 素菜：大白菜、豆角、 花菜 7 / 8 （1）星期一有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 （2）星期四有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 28．看表答题。 书名 《数学家的故事》 《熊猫历险记》 《大自然的奥秘》 《儿童文学》 价格 10.4 元 19.9 元 14.3 元 15.2 元 （1）小明想从上面任选两本书，共有（ ）种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本 其他的书，分别送给小芳和小红，共有（ ）种送法。 （2）聪聪带了 50 元，买一本《大自然的奥秘》和一本《儿童文学》后，还剩多少钱？ （3）根据表中的信息，提出一个数学问题并解答。 29．商场进行玩具促销活动。妈妈要带菲菲到姨妈家看望刚出生的小宝宝。 （1）妈妈准备从上面的 5种玩具中任选 2种玩具，作为礼物送给小宝宝，妈妈有多少种选择 方案？ （2）商场促销活动“满 99 元减 20 元”，（1）题中有几种方案不可以参与活动？ 8 / 8 30．游乐场中的问题。 （1）设计一个你喜欢的游乐场，请把右边所有的游乐项目填进图中的方格里。 （2）你的设计图中（ ）在草坪的西南方，草坪的东北方是（ ）。 （3）每个同学可以选择其中 2个不同的游乐项目游玩，一共有（ ）种选法。 （4）如果游乐场平均每小时的营业额是 400 元。算一算，这一天的营业额是（ ）元。 （5）李老师带三（1）班学生去游乐场，走之前调查了全班男、女生最喜欢的一个游乐项目。 结果如下： 男生：过山车 10 人，摩天轮 3人，碰碰车 4人，旋转木马 5人。 女生：过山车 5人，摩天轮 8人，碰碰车 2人，旋转木马 8人。 请你根据上面的记录填写下表并回答问题。 ①三（1）班一共有学生（ ）人。 ②喜欢（ ）游乐项目的男生最多。 ③游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，你觉得应该拆换哪个游乐项目？说说你的理由。 2024-2025学年三年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第八单元 数学广角—搭配（二）奥数思维训练 参考答案 1．9 42 2．12 3．6 4．6 6 5．24 6． 场次          对阵                         时间                   第一场         A  VS  B                14：00—14：15                     第二场         A  VS  C                         14：15—14：30                     第三场         A  VS  D                  14：30—14：45                     第四场         B  VS  C                        14：45—15：00                     第五场         B  VS  D                         15：00—15：15                    第六场         C  VS  D              15：15—15：30                       7．1 8．16 9．C 10．C 11．C 12．C 13．C 14．C 15．C 16．C 17．列表如下所示： 序号 十位上的数字 个位上的数字 组成的两位数 排列1 1 4 14 排列2 3 4 34 排列3 6 4 64 排列4 1 6 16 排列5 3 6 36 排列6 4 6 46 答：能组成6个个位是双数的两位数。 18．26＝1＋2＋11＋12 26＝1＋3＋10＋12 26＝1＋4＋10＋11 26＝1＋5＋8＋12 26＝1＋6＋9＋10 26＝1＋6＋7＋12 26＝1＋7＋8＋10 26＝3＋4＋9＋10 26＝3＋5＋6＋12 26＝2＋4＋9＋12 26＝5＋6＋7＋8 答：共有11种不同的分法。 19．第一场小甲胜时： 第一场小乙胜时： 综上，共有10种可能。 答：比赛的过程有10种可能。 20．根据题意，画图如下： 数一数可知，一共5种可能。 答：小高一共有5种不同的走法。 21．小先拿球，则第1次可以给莫也可以给萱。 由题意画树形图如下： 由图可知，共有6种情况符合要求。 答：一共有6种不同的传球过程。 22．6×（6－1）÷2×2＋5×（5－1）÷2 ＝6×5÷2×2＋5×4÷2 ＝30＋10 ＝40（场） 40＋6×（6－1）÷2 ＝40＋6×5÷2 ＝40＋15 ＝55（场） 55－3＝52（场） 17×（17－1）÷2 ＝17×16÷2 ＝136（场） 答：第一种情况共需要55场；第二种情况共需要52场；第三种情况共需要136场。 23．（1） 答：可以有11种不同的借法。 （2） 答：可以有30种不同的借法。 24．分类枚举如下： 答：一共有3种。 25．2×4＝8（种） 如果两方各走一步，红子方走的是“”，黑子方走的是“”，可能出现8种不同的局势图。 如图所示： （答案不唯一） 26．如果选择C1596次列车到天津南，有3种购票方案；如果选择G2582次列车到天津南，此时G2578次列车已经发车，有2种购票方案； 3＋2＝5（种） 最早到达北京南的时间是12：08，所以选择C1596次列车先到达天津南，此时是11：03，再选择G2578次列车到达北京南，这样到达北京南的时间最早。 答：一共有5种购票方法。选择C1596次列车和G2578次列车到达北京南的时间最早。 27． （1）星期一荤菜有2种，素菜有2种，当选择1种荤菜时，对应可以选择2种素菜，所以有2个2种选择方法，可以通过连线来搭配.，如下图；根据分析可知，星期一有4种不同的配菜方法，分别是①盐水鸭、黄瓜；②盐水鸭、茄子；③辣子鸡、黄瓜；④辣子鸡、茄子； （2）星期四荤菜有2种，素菜有3种，当选择1种荤菜时，对应可以选择3种素菜，所以有2个3种选择方法，可以通过连线来搭配，如下图；根据分析可知，星期四有6种不同的配菜方法，分别是①牛肉、大白菜；②牛肉、豆角；③牛肉、花菜；④鱼肉、大白菜；⑤鱼肉、豆角；⑥鱼肉、花菜。 28．（1）3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（种） 3×2＝6（种） 小明想从上面任选两本书，共有6种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书，分别送给小芳和小红，共有6种送法。 （2）50－14.3＝35.7（元） 35.7－15.2＝20.5（元） 答：还剩20.5元。 （3）问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险记》，一共需要多少元？ 10.4＋19.9＝30.3（元） 答：一共需要30.3元。（答案不唯一） 29．（1）（5－1）×5÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10（种） 答：妈妈有10种选择方案。 （2）99－85＝14（元） 99－79＝20（元） 46＞37＞23＞20＞14 剩余的玩具价钱均大于20元，所求方案中不能包含小狗和飞机。 小汽车和小熊：46＋37＝83（元） 小汽车和钟表：46＋23＝69（元） 小熊和钟表：37＋23＝60（元） 99＞83＞69＞60 答：（1）题中有3种方案不可以参与活动。 30．（1）设计的游乐项目图如下： （2）观察上面的设计图，碰碰车在草坪的西南方，草坪的东北方是旋转木马。 （3）4×3÷2＝6（种） 所以，每个同学可以选择其中2个不同的游乐项目游玩，一共有6种选法。 （4）上午9时就是9时， 8时＋12时＝20时 20时－9时＝11时 400×11＝4400（元） 如果游乐场平均每小时的营业额是400元。算一算，这一天的营业额是4400元。 （5）绘制统计表如下： ①（10＋3＋4＋5）＋（5＋8＋2＋8） ＝22＋23 ＝45（人） 三（1）班一共有学生45人。   ②10＞5＞4＞3 所以，喜欢过山车游乐项目的男生最多。 ③10＋5＝15（人） 3＋8＝11（人） 4＋2＝6（人） 5＋8＝13（人） 15＞13＞11＞6 答：游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，我觉得应该拆换掉碰碰车，因为喜欢这个的同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年三年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第八单元 数学广角—搭配（二）奥数思维训练 一、填空题 1．用数字卡片1、0、5、2可以组成（ ）个没有重复数字的两位数，其中最大数与最小数相差（ ）。 2．从2、4、5中任选两个数字组成一个两位数作被除数，从3、8中任选一个数作除数，一共可以组成（ ）个除法算式。 3．2022年卡塔尔世界杯，一共32支球队参加比赛，分成8个小组，每小组4支球队进行第一轮的单循环赛，请问每个小组要比赛（ ）场。 4．开学时4位好朋友每2人拥抱一次，共要拥抱（ ）次；他们还要站成一排合影，小明站在最左边，其他人的位置可自由安排，共有（ ）种站法。 5．有2名男生和2名女生如图站成一排拍照，那么他们一共有（ ）种不同的站法。 6．A、B、C、D四个同学要举行乒乓球比赛。他们采用循环赛（每两个赛一场）进行。比赛从下午2时开始，每场比赛15分钟，请你根据要求安排比赛，把表格填完整。 场次 对阵 时间 第一场 A  VS  B 14：00—14：15 7．四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……，这样一直下去，第十次交换位子后，小猫在第（ ）号位子上。 8．如图，从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丁地有2条路可走；从甲地到丙地有2条路可走，从丙地到丁地有4条路可走；从甲地到丁地有2条路直达。那么从甲地到丁地有（ ）条不同的走法。 二、选择题 9．河南省将于2025年开始实行新高考，采用3＋1＋2模式，3指统一考试科目“语文、数学、英语”，1指“物理、历史”中选择一科，2指“政治、地理、化学、生物”中选择两科，共有（    ）种选科的可能。 A．10 B．11 C．12 10．四个人下象棋，每个人都要与其他三个人分别下一局，已知A、B、C三个人已经分别下了3局、2局、1局，则D已经下了（    ）局。 A．0 B．1 C．2 D．3 11．下列说法正确的是（    ）。 ①3个小朋友都单独和李老师、陈老师分别拍一张照片，一共要拍6张照片。 ②小强和小李玩“石头、剪刀、布”的游戏，他们一共有5种不同的出法。 ③笑笑有4件上衣，3条裙子，她一共有12种不同的穿法。 ④三年级有4位数学老师，每两个人通一次电话，一共要通4次电话。 A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 12．有一些1元、5角和1角的钱币，要买一支1.50元的笔，要使付的钱刚好不用找零，有（    ）种不同的付钱方法。 A．5 B．4 C．6 13．学校组织春游活动因故提前了，张老师要尽快通知到每一位学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，全班40位同学，最快（    ）分钟才能通知到全班同学。 A．4 B．5 C．6 D．7 14．参观比赛的两队选手，在比赛结束后互相握手，所有的人握了10次手，有（    ）人互相握手。 A．4 B．10 C．5 D．9 15．下图是某城市局部街道示意图，某人想从街道口到街道口，要是使走的路程最短，不同的走法有（    ）。 A．8 B．9 C．10 D．11 16．算盘上的一个上珠表示5，一个下珠表示1（如图），现在用1个上珠和2个下珠，一共可以表示出（    ）个不同的三位数。 A．6 B．9 C．12 D．21 三、解答题 17．用4、1、3、6组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是双数的两位数？ 18．从1～12这十二个自然数中选取，把26拆分成4个不同自然数之和，共有多少种不同的分法？ 19．小甲和小乙两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛，如果最后小甲获胜了，那么比赛的过程有多少种可能？ 20．如下图，如果小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上，每次只能走到相邻的编号（两个六边形如果有公共边就成为相邻），而且只能向右边走（例如1→2→3→5就是一种可能的走法） ，那么小高一共有多少种不同的走法？ 21．小、莫、萱三人玩传球游戏，每次持球的人都可以把球传给另外两个人中的任何一个，先由小拿球，经过4次传球之后，球又回到了小的手里，那么一共有多少种不同的传球过程？ 22．17支排球队分成三组，其中两组各6支队，第三组5支队，第一阶段各组进行单循环比赛；第二阶段，由各组前两名举行单循环比赛，决出冠亚军，共需举行多少场比赛？若第二阶段中，原同一组的两队免赛，共需举行多少场比赛？若17支球队不分组，直接利用单循环赛制，共要赛多少场？ 23．（1）体育室有5个不同的足球和6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个球，可以有多少种不同的借法？ （2）体育室有5个不同的足球和6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个足球和一个篮球，可以有多少种不同的借法？ 24．小明想把4块巧克力放入两个同样的盒子里，允许有的盒子空着不放，你知道一共有多少种不同的放法么？ 25．如图是中国象棋棋盘的部分局势图。 棋子“”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋子“”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象飞田”（与走的规则相同）。如果两方各走一步，红子方走的是“”，黑子方走的是“”，可能出现（    ）种不同的局势图，请你在下图中画出其中一种。 26．李叔叔从济南到北京出差，直达的车票卖完了，他准备从济南西站先乘高铁到天津南站，再从天津南站站内换乘，乘高铁到北京南站。可以购票的车次如下表。一共有多少种购票方法？请你写出到达时间最早的购票方法。 车次 站点 发车时间 到达时间 C1596 济南西→天津南 09：59 11：03 G2582 济南西→天津南 10：33 11：36 G2578 天津南→北京南 11：33 12：08 G1084 天津南→北京南 12：08 12：42 G110 天津南→北京南 12：58 13：32 27． 星期一菜谱 荤菜：盐水鸭、辣子鸡 素菜：黄瓜、茄子 星期四菜谱 荤菜：牛肉、鱼肉 素菜：大白菜、豆角、花菜 （1）星期一有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 （2）星期四有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 28．看表答题。 书名 《数学家的故事》 《熊猫历险记》 《大自然的奥秘》 《儿童文学》 价格 10.4元 19.9元 14.3元 15.2元 （1）小明想从上面任选两本书，共有（    ）种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书，分别送给小芳和小红，共有（    ）种送法。 （2）聪聪带了50元，买一本《大自然的奥秘》和一本《儿童文学》后，还剩多少钱？ （3）根据表中的信息，提出一个数学问题并解答。 29．商场进行玩具促销活动。妈妈要带菲菲到姨妈家看望刚出生的小宝宝。    （1）妈妈准备从上面的5种玩具中任选2种玩具，作为礼物送给小宝宝，妈妈有多少种选择方案？ （2）商场促销活动“满99元减20元”，（1）题中有几种方案不可以参与活动？ 30．游乐场中的问题。 （1）设计一个你喜欢的游乐场，请把右边所有的游乐项目填进图中的方格里。 （2）你的设计图中（    ）在草坪的西南方，草坪的东北方是（    ）。 （3）每个同学可以选择其中2个不同的游乐项目游玩，一共有（    ）种选法。 （4）如果游乐场平均每小时的营业额是400元。算一算，这一天的营业额是（    ）元。 （5）李老师带三（1）班学生去游乐场，走之前调查了全班男、女生最喜欢的一个游乐项目。结果如下： 男生：过山车10人，摩天轮3人，碰碰车4人，旋转木马5人。 女生：过山车5人，摩天轮8人，碰碰车2人，旋转木马8人。 请你根据上面的记录填写下表并回答问题。 ①三（1）班一共有学生（    ）人。   ②喜欢（    ）游乐项目的男生最多。 ③游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，你觉得应该拆换哪个游乐项目？说说你的理由。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 22 2024-2025学年三年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第八单元 数学广角—搭配（二）奥数思维训练 答案解析 一、填空题 1．用数字卡片 1、0、5、2可以组成（ ）个没有重复数字的两位数，其中最大数与最 小数相差（ ）。 【答案】9 42 【解题思路】用数字卡片 1、0、5、2组成不同的数，可以利用固定法进行排数，让 1在十位， 其它几个数依次在个位，这样组成的两位数有 10，12，15；5 在十位组成的两位数有 51，50， 52；2 在十位组成的两位数有 21，20，25；一共有 9个，这些数中最大的数是 52，最小的数 是 10，用 52－10 即可计算出它们的差是多少。 【详细解答】组成的两位数有：10，12，15，20，21，25，50，51，52，共有 9个数； 52－10＝42 所以用数字卡片 1、0、5、2可以组成 9个没有重复数字的两位数，其中最大数与最小数相差 42。 【考点点评】排列数的组成时一定要注意不遗不漏，有序的排列。 2．从 2、4、5中任选两个数字组成一个两位数作被除数，从 3、8中任选一个数作除数，一共 可以组成（ ）个除法算式。 【答案】12 【解题思路】将 2放在最高位作为被除数，可以组成：24、25，2 个；将 4放在最高位作为被 除数，可以组成：42、45，2 个；将 5放在最高位作为被除数，可以组成：52、54，2 个；一 共可以组成（3×2）个被除数，每个被除数除以 3可以组成（3×2）个除法算式，每个被除数 除以 8也可以组成（3×2）个除法算式，那么用（3×2）乘 2可以计算出一共组成多少个除法 算式；据此解答。 【详细解答】根据分析：3×2×2＝12（个），所以一共可以组成 12 个除法算式。 【考点点评】搭配问题注意做到按顺序、不重复、不遗漏。 3．2022 年卡塔尔世界杯，一共 32 支球队参加比赛，分成 8个小组，每小组 4支球队进行第 一轮的单循环赛，请问每个小组要比赛（ ）场。 2 / 22 【答案】6 【解题思路】每小组 4支球队，每 2个球队踢一场，求一共要踢多少场，就是求一共有几种不 同的组合方法。如下图，把 4个球队一字排开，先把每个球队与其他球队分别连上线，再数一 数一共连了几条线，连了几条线，就要踢几场。 【详细解答】如上图：3＋2＋1＝6（场） 所以每个小组要比赛 6场。 【考点点评】稍复杂的组合问题可以用图示连线的方法来解决，组合过程中不考虑事物的先后 顺序，只需注意不同组合中的元素。 4．开学时 4位好朋友每 2人拥抱一次，共要拥抱（ ）次；他们还要站成一排合影， 小明站在最左边，其他人的位置可自由安排，共有（ ）种站法。 【答案】6 6 【解题思路】4位好朋友每 2人拥抱一次，也就是每个人都要和另外 3人拥抱一次，一共要拥 抱 3×4＝12（次）；又因为两个人只拥抱一次，去掉重复计算的情况，实际只拥抱 12÷2＝6 （次）； 小明的位置是确定的，把小明除外，3个人站在最右边的可能是 3人中的任意一人，有 3 种不 同的方法；第二位上还剩 2人选择，有 2种不同的站法；第三位还有 1人，有 1种方法，它们 的积就是全部的站法。 【详细解答】拥抱次数： （4－1）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝6（次） 站法： 3×2×1＝6（种） 【考点点评】本题考查了搭配问题的实际应用，两两搭配时要注意去掉重复计算的情况，如果 人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：实际次数＝人数×（人数－1） ÷ 3 / 22 2；简单的排列问题可以采用依次列举或连线的方法找出所有不同的排列方法，可以先确定第 一个位置，再确定第二、第三个位置。 5．有 2名男生和 2名女生如图站成一排拍照，那么他们一共有（ ）种不同的站法。 【答案】24 【解题思路】4 人排成一排，第 1个位置可以由 4种选择，第 2个位置有 3种选择，第 3 个位 置有 2种选择，最后 1个位置只有 1种选择，相乘即可。 【详细解答】4×3×2 ＝12×2 ＝24（种） 【考点点评】分步计数原理用乘法计算。 6．A、B、C、D四个同学要举行乒乓球比赛。他们采用循环赛（每两个赛一场）进行。比赛从 下午 2时开始，每场比赛 15 分钟，请你根据要求安排比赛，把表格填完整。 场次 对阵 时间 第一场 A VS B 14：00—14：15 【答案】见详解 【解题思路】根据题意，A同学分别与其它三名同学各比赛一场，即 3场；B同学和剩下的两 名同学分别比赛一场，即 2场（A同学与 B同学已经比赛过，不可重复计算）；C同学与 D 同学 比赛一场，即 1场；所以共比赛了 6场，再按顺序按要求填写表格即可。 【详细解答】2时＋12 时＝14 时 4 / 22 下午 2时就是 14 时。 场次 对阵 时间 第一场 A VS B 14：00—14：15 第二场 A VS C 14：15—14：30 第三场 A VS D 14：30—14：45 第四场 B VS C 14：45—15：00 第五场 B VS D 15：00—15：15 第六场 C VS D 15：15—15：30 【考点点评】本题主要考查了两两搭配问题，注意填统计表时要按一定的顺序进行，不可重复 或遗漏。 7．四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第 1号位子，小猴坐在第 2号，小兔坐在第 3号，小 猫坐在第 4号。以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两 排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……，这样一直下去，第十次交换位 子后，小猫在第（ ）号位子上。 【答案】1 【解题思路】观察图形，由已知小猫坐在第 4号，按要求交换，第一次⇒3，第二次⇒1，第三 次⇒2，第四次回到原位 4，……，得到的规律是每 4次一循环，根据此规律很容易得到第十 次交换位子后，小兔坐在第几号位子上。 【详细解答】由已知和图形得知，小猫自第一次交换位子后依次坐在 2→1→3→4→2……，得 到每 4次一循环， 因为，10÷4＝2……2， 所以，第十次交换位子后，小猫坐在和第二次交换的位子相同，即第 1号位子上。 【考点点评】此题考查的知识点是图形的变化类问题，解题的关键是通过观察图形和已知得到 5 / 22 规律：小兔自第一次交换位子后依次坐在 3→1→2→4→3……，得到每 4次一循环。 8．如图，从甲地到乙地有 3条路可走，从乙地到丁地有 2条路可走；从甲地到丙地有 2条路 可走，从丙地到丁地有 4条路可走；从甲地到丁地有 2条路直达。那么从甲地到丁地有（ ） 条不同的走法。 【答案】16 【解题思路】从甲到丁有三种方式，直接甲到丁，只需一步，经过乙到丁，需要两步，经过丙 到丁，需要三步，求出每一种情况的方法数，相加得到总数。 【详细解答】第一种方法：直接甲到丁，两种方法； 第二种方法：经过乙到丁，3 2 6  种方法； 第三种方法：经过丙到丁，2 4 8  种方法； 2 6 8 16   （条） 【考点点评】加乘原理是求解计数问题最常用的方法，简单说就是加法分类，类类相加，乘法 分步，步步相乘。 二、选择题 9．河南省将于 2025 年开始实行新高考，采用 3＋1＋2模式，3指统一考试科目“语文、数学、 英语”，1指“物理、历史”中选择一科，2指“政治、地理、化学、生物”中选择两科，共有 （ ）种选科的可能。 A．10 B．11 C．12 【答案】C 【解题思路】一共需要三步来完成，分别求出每一步有几种情况，相乘即可。 【详细解答】第一步只有 1种情况，第二步选一个科目有 2种情况，第三步四选二有 6种情况 （政治和地理、政治和化学、政治和生物、地理和化学、地理和生物、化学和生物），一共有 1×2×6＝2×6＝＝12（种）选课组合。 故答案为：C 10．四个人下象棋，每个人都要与其他三个人分别下一局，已知 A、B、C三个人已经分别下了 6 / 22 3 局、2局、1局，则 D已经下了（ ）局。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】用 4个点分别表示下象棋的 4个人，如果某两人已经下过，就用线段把代表这两 个人的点连接起来，因为 A已经下了 3盘，除了 A以外还有 3个点，所以 A与其他 3个点都有 线段相连，根据图即可做出解答。 【详细解答】用 4个点分别表示下象棋的 4个人，如果某两人已经下过，就用线段把代表这两 个人的点连接起来： 如图，连接 D的线段有 2条，说明 D已经下了 2局。 故答案为：C 【考点点评】解答此题的关键是，运用图文结合的方法，将问题简单化。 11．下列说法正确的是（ ）。 ①3个小朋友都单独和李老师、陈老师分别拍一张照片，一共要拍 6张照片。 ②小强和小李玩“石头、剪刀、布”的游戏，他们一共有 5种不同的出法。 ③笑笑有 4件上衣，3条裙子，她一共有 12 种不同的穿法。 ④三年级有 4位数学老师，每两个人通一次电话，一共要通 4次电话。 A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解题思路】根据搭配问题的相关知识，对每个说法进行判断，即可解答。 【详细解答】①从 3个小朋友选 1人，有 3种选择；再从李老师、陈老师中选 1人，有 2 种选 择。根据乘法原理，3×2＝6（种），所以他们一共要拍 6张照片。说法正确； ②小强可以有 3种出法，小李同样也有 3种出法。根据乘法原理，3×3＝9（种），所以他们一 共有 9种不同的出法。说法错误； ③从 4件上衣中选一件有 4种选法，从 3条裙子中选一条有 3种选法。根据乘法原理，4×3 ＝12（种），她一共有 12 种不同的穿法。说法正确； ④4个小朋友每两人通一次电话，则每个小朋友都要和其他 3个人通一次电话，即每个人要打 7 / 22 3 次电话，共有 4个小朋友，所以共打 3×4＝12（次），打电话是在两个人之间进行的，所以 他们互通电话共 12÷2＝6（次）。说法错误。 综上可知，①③的说法正确。 故答案为：C 【考点点评】本题主要考查学生对搭配问题的掌握。熟练掌握搭配问题的相关解题方法是解决 此题的关键。 12．有一些 1元、5角和 1角的钱币，要买一支 1.50 元的笔，要使付的钱刚好不用找零，有 （ ）种不同的付钱方法。 A．5 B．4 C．6 【答案】C 【解题思路】如果选取 1元，1个 1元和 1个 5角、1个 1元和 5个 1角，有 2种付钱方法； 如果选取 5角，3个 5角、2个 5角和 5个 1角、1个 5角和 10 个 1 角，有 3种付钱方法；最 后 15 个 1 角，1种付钱方法；总共有 2＋3＋1＝6（种）付钱方法。 【详细解答】2＋3＋1＝5＋1＝6（种） 故答案为：C 【考点点评】本题主要考查学生对搭配知识的掌握和灵活运用。 13．学校组织春游活动因故提前了，张老师要尽快通知到每一位学生，如果用打电话的方式， 每分钟通知 1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，全班 40 位同学，最 快（ ）分钟才能通知到全班同学。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】老师先用一分钟通知 1个学生，第二分钟由老师和学生分别通知一个学生，现在 通知的是 1＋2＝3＝2×2－1，第三分钟通知的是 3＋4＝2×2×2－1。据此类推解答。 【详细解答】第一分钟通知到 1个学生；第二分钟最多可通知到 2×2－1＝3个学生；第三分 钟最多可通知到 2×2×2－1＝7个学生；第四分钟最多可通知到 2×2×2×2－1＝15 个学生； 第五分钟最多可通知到 2×2×2×2×2－1＝31 个学生；第六分钟可通知到 63 个学生； 最少要用 6分钟可以通知 40 人； 故答案为：C。 【考点点评】此题考查的是应用规律解决实际问题的能力。 8 / 22 14．参观比赛的两队选手，在比赛结束后互相握手，所有的人握了 10 次手，有（ ）人互相 握手。 A．4 B．10 C．5 D．9 【答案】C 【解题思路】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但是两个人之间只握手一次，所有的人 握了 10 次手×2＝人数×人数－1，把选项的人数一一代入等量关系，判断答案。 【详细解答】根据分析可得，总握手次数＝人数×人数－1，10 次是去掉重复后的次数，总握 手次数＝10×2＝20（次） A．4×（4－1） ＝4×3 ＝12（次） B．10×（10－1） ＝10×9 ＝90（次） C．5×（5－1） ＝5×4 ＝20（次） D．9×（9－1） ＝9×8 ＝72（次） 故答案选：C。 【考点点评】本题考查搭配问题，找出等量关系是解题的关键。 15．下图是某城市局部街道示意图，某人想从街道口A到街道口 B ，要是使走的路程最短，不 同的走法有（ ）。 A．8 B．9 C．10 D．11 9 / 22 【答案】C 【解题思路】根据题意，分析可得要从 A地到 B地路程最短，需要向下走 3次，向右 2次，共 5次，则从 5次中选 3次向下，剩下 2次向右即可满足路程最短，由组合数公式计算可得答案。 【详细解答】从 5次中选 3次向下，剩下 2次向右即可，则有 35C ＝10 种不同的走法。 故答案为：C 【考点点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解路程最短的含义，将问题转化为组合的 问题。 16．算盘上的一个上珠表示 5，一个下珠表示 1（如图），现在用 1个上珠和 2个下珠，一共可 以表示出（ ）个不同的三位数。 A．6 B．9 C．12 D．21 【答案】C 【解题思路】用 1个上珠和 2个下珠表示三位数，可以分成四种情况进行讨论。第一种情况， 个位、十位和百位上均有一个珠子。可以组成 151、115、511 三个三位数。第二种情况，一个 上珠和一个下珠在同一个数位上。可以组成 106、160、601、610 四个三位数。第三种情况， 两个下珠在同一个数位上。可以组成 502、520、205、250 四个三位数。第四种情况，三个珠 子在同一个数位上。可以组成 700 一个三位数。则一共可以组成 3＋4＋4＋1＝12 个不同的三 位数。 【详细解答】现在用 1个上珠和 2个下珠，一共可以表示出 12 个不同的三位数。 故答案为：C 【考点点评】本题考查组合问题，可以采用枚举法解答。应按照顺序分情况进行讨论。 三、解答题 17．用 4、1、3、6组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是双数的两位数？ 【答案】能组成 6个个位是双数的两位数。 【解题思路】数字 4、1、3、6，是双数的有 4、6，将 4和 6放在个位数；已知用 4、1、3、6 组成没有重复数字的两位数，如果个位上放 4，则十位上为 1、3、6；如果个位上放 6，则十 10 / 22 位上放 1、3、4，据此即可解答。 【详细解答】列表如下所示： 序号 十位上的数字 个位上的数字 组成的两位数 排列 1 1 4 14 排列 2 3 4 34 排列 3 6 4 64 排列 4 1 6 16 排列 5 3 6 36 排列 6 4 6 46 答：能组成 6个个位是双数的两位数。 【考点点评】本题主要考查搭配问题，解答本题的关键在于知道哪几个数为双数。 18．从 1～12 这十二个自然数中选取，把 26 拆分成 4个不同自然数之和，共有多少种不同的 分法？ 【答案】11 种 【解题思路】不大于 12 的整数有 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，从 1～12 中每 次选出 4个数，使这 4个数的和是 12，列举出各种可能的分法。 【详细解答】26＝1＋2＋11＋12 26＝1＋3＋10＋12 26＝1＋4＋10＋11 26＝1＋5＋8＋12 26＝1＋6＋9＋10 26＝1＋6＋7＋12 26＝1＋7＋8＋10 26＝3＋4＋9＋10 26＝3＋5＋6＋12 26＝2＋4＋9＋12 26＝5＋6＋7＋8 11 / 22 答：共有 11 种不同的分法。 【考点点评】有序列举才能做到不重复、不遗漏。 19．小甲和小乙两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛，如果最后小甲获胜了，那么比赛的 过程有多少种可能？ 【答案】10 种 【解题思路】试着把每场比赛的结果用树形图表示出来。注意：不会有“小乙－小甲－小乙－ 小乙－小甲”这样的过程出现，因为这种情况下，塞完第 4场后小乙已经获胜，不合题意。 【详细解答】第一场小甲胜时： 第一场小乙胜时： 综上，共有 10 种可能。 答：比赛的过程有 10 种可能。 【考点点评】树形图是枚举法的一种，可以使我们的枚举过程更加直观，有条理又不易重复或 遗漏。 20．如下图，如果小高站在 1号地毯上，他想要走到 5号地毯上，每次只能走到相邻的编号（两 个六边形如果有公共边就成为相邻），而且只能向右边走（例如 1→2→3→5就是一种可能的走 法） ，那么小高一共有多少种不同的走法？ 12 / 22 【答案】5种 【解题思路】根据题意，小高第一步可以走到 2号地毯或 3号地毯，据此注意分析即可，注意 题目中的限定条件：相邻编号地毯和只能向右走，另外只有结束在 5号地毯的才符合题意。 【详细解答】根据题意，画图如下： 数一数可知，一共 5种可能。 答：小高一共有 5种不同的走法。 【考点点评】解答此类问题，按照树形图的画法逐一画出所有的分叉即可。注意不重复不遗漏。 21．小、莫、萱三人玩传球游戏，每次持球的人都可以把球传给另外两个人中的任何一个，先 由小拿球，经过 4次传球之后，球又回到了小的手里，那么一共有多少种不同的传球过程？ 【答案】6种 【解题思路】先考虑第 1次有多少种传法？然后用树形图画出每次传球后给谁。要注意只有第 4次传球后回到小手上的才是符合题意的传法。 【详细解答】由题意可知，小先拿球，则第 1次可以给莫也可以给萱。 由题意画树形图如下： 13 / 22 由图可知，共有 6种情况符合要求。 答：一共有 6种不同的传球过程。 【考点点评】根据题意分析出第 1次只能给莫或萱，据此正确画出树形图是解题关键。 22．17 支排球队分成三组，其中两组各 6支队，第三组 5支队，第一阶段各组进行单循环比 赛；第二阶段，由各组前两名举行单循环比赛，决出冠亚军，共需举行多少场比赛？若第二阶 段中，原同一组的两队免赛，共需举行多少场比赛？若 17 支球队不分组，直接利用单循环赛 制，共要赛多少场？ 【答案】55 场；52 场；136 场 【解题思路】单循环赛制的场数＝队伍数×（队伍数－1）÷2，根据这个公式分别计算；注意 第二种情况下，三组各有两队不需要再比赛，因此要减少 3场比赛。 【详细解答】6×（6－1）÷2×2＋5×（5－1）÷2 ＝6×5÷2×2＋5×4÷2 ＝30＋10 ＝40（场） 40＋6×（6－1）÷2 ＝40＋6×5÷2 ＝40＋15 ＝55（场） 55－3＝52（场） 17×（17－1）÷2 ＝17×16÷2 ＝136（场） 答：第一种情况共需要 55 场；第二种情况共需要 52 场；第三种情况共需要 136 场。 【考点点评】本题考查排列组合的知识，关键是掌握循环赛问题的求解方法。 23．（1）体育室有 5个不同的足球和 6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个球，可以有多 少种不同的借法？ （2）体育室有 5个不同的足球和 6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个足球和一个篮球， 可以有多少种不同的借法？ 【答案】（1）11 种 14 / 22 （2）30 种 【解题思路】（1）完成借球这件事情只需要一步，从 11 只球里面挑一个即可； （2）完成借球这件事情只需要两步，每步又有不同的几种方法。 【详细解答】（1）5 6 11  （种） 答：可以有 11 种不同的借法。 （2）5 6 30  （种） 答：可以有 30 种不同的借法。 【考点点评】“加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘”，对于加乘原理计数问题，先分清 楚到底是相加还是相乘。 24．小明想把 4块巧克力放入两个同样的盒子里，允许有的盒子空着不放，你知道一共有多少 种不同的放法么？ 【答案】3种 【解题思路】由于两个盒子是同样的，且允许有的盒子空着不放，那么可以从一个盒子取 0 开始枚举，求出所有的可能。 【详细解答】分类枚举如下： 4 4 0 3 1 2 2      答：一共有 3种。 【考点点评】由于不考虑顺序，所以相当于是数的分拆的问题，可以按照一定的顺序进行分拆， 注意不能重复。 25．如图是中国象棋棋盘的部分局势图。 棋子“ ”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋 子“ ”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象飞田”（ 与 走的规则相同）。 如果两方各走一步，红子方走的是“ ”，黑子方走的是“ ”，可能出现（ ）种不同的 局势图，请你在下图中画出其中一种。 15 / 22 【答案】8；图见详解 【解题思路】 根据题意，棋子“ ”走的路线共有 2种走法，棋子“ ”走的路线共有 4种走法；把“ ” 的 2种走法和“ ”的 4 种走法搭配在一起，一共有 2×4＝8（种）不同的局势图；据此解 答即可。 【详细解答】据分析可得： 2×4＝8（种） 如果两方各走一步，红子方走的是“ ”，黑子方走的是“ ”，可能出现 8种不同的局势 图。 如图所示： （答案不唯一） 26．李叔叔从济南到北京出差，直达的车票卖完了，他准备从济南西站先乘高铁到天津南站， 再从天津南站站内换乘，乘高铁到北京南站。可以购票的车次如下表。一共有多少种购票方法？ 请你写出到达时间最早的购票方法。 车次 站点 发车时间 到达时间 C1596 济南西→天津南 09：59 11：03 G2582 济南西→天津南 10：33 11：36 G2578 天津南→北京南 11：33 12：08 G1084 天津南→北京南 12：08 12：42 16 / 22 G110 天津南→北京南 12：58 13：32 【答案】5种；购买 C1596 次和 G2578 次列车 【解题思路】由题意得，从济南西到天津南有 2个班次列车可以选择，从天津南到北京南有 3 个班次列车可以选择。如果选择 C1596 次列车到天津南，此时是 11：03，从天津南到北京南 的列车均未发车，所以可以选择 G2578、G1084 或 G110 次列车到达北京南，有 3种购票方案； 如果选择 G2582 次列车到天津南，此时已经是 11：36，从天津南到北京南的 G2578 次列车已 发车，G1084 或 G110 次列车还未发车，所以可以选择 G1084 或 G110 次列车到达北京南，有 2 种购票方案； 要想到达时间最早，那么应该选择时间较早的 C1596 次列车到达天津南，此时，最早发车的一 班列车是 G2578 次，可以乘坐该列车到达北京南。据此作答。 【详细解答】如果选择 C1596 次列车到天津南，有 3种购票方案；如果选择 G2582 次列车到天 津南，此时 G2578 次列车已经发车，有 2种购票方案； 3＋2＝5（种） 最早到达北京南的时间是 12：08，所以选择 C1596 次列车先到达天津南，此时是 11：03，再 选择 G2578 次列车到达北京南，这样到达北京南的时间最早。 答：一共有 5种购票方法。选择 C1596 次列车和 G2578 次列车到达北京南的时间最早。 27． 星期一菜谱 荤菜：盐水鸭、辣子鸡 素菜：黄瓜、茄子 星期四菜谱 荤菜：牛肉、鱼肉 素菜：大白菜、豆角、 花菜 （1）星期一有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 （2）星期四有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 【答案】（1）①盐水鸭、黄瓜；②盐水鸭、茄子；③辣子鸡、黄瓜；④辣子鸡、茄子；共 4 种。 （2）①牛肉、大白菜；②牛肉、豆角；③牛肉、花菜；④鱼肉、大白菜；⑤鱼肉、豆角；⑥ 鱼肉、花菜；共 6种。 【解题思路】（1）星期一荤菜有 2种，素菜有 2种，当选择 1种荤菜时，对应可以选择 2 种素 菜，所以有 2个 2种选择方法，可以通过连线来搭配.，如下图；（2）星期四荤菜有 2种，素 17 / 22 菜有 3种，当选择 1种荤菜时，对应可以选择 3种素菜，所以有 2个 3种选择方法，可以通过 连线来搭配，如下图； 【详细解答】（1）根据分析可知，星期一有 4种不同的配菜方法，分别是①盐水鸭、黄瓜；② 盐水鸭、茄子；③辣子鸡、黄瓜；④辣子鸡、茄子； （2）根据分析可知，星期四有 6种不同的配菜方法，分别是①牛肉、大白菜；②牛肉、豆角； ③牛肉、花菜；④鱼肉、大白菜；⑤鱼肉、豆角；⑥鱼肉、花菜。 28．看表答题。 书名 《数学家的故事》 《熊猫历险记》 《大自然的奥秘》 《儿童文学》 价格 10.4 元 19.9 元 14.3 元 15.2 元 （1）小明想从上面任选两本书，共有（ ）种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本 其他的书，分别送给小芳和小红，共有（ ）种送法。 （2）聪聪带了 50 元，买一本《大自然的奥秘》和一本《儿童文学》后，还剩多少钱？ （3）根据表中的信息，提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）6；6 （2）20.5 元 （3）问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险记》，一共需要多少元？30.3 元（答 案不唯一） 【解题思路】（1）根据题意“任选两本书”，可以先确定选第一本书和后面 3本书搭配，有 3 种选法；再确定第二本书和后面 2本书搭配，有 2种选法；再确定第三本书和后面 1本书搭配， 有 1种选法；所以一共有 3＋2＋1＝6（种）选法； 聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书，则 1本其他的书只能从剩下的 3本中选择， 有 3种选法；如果将每一种选法的 2本书分别送给小芳和小红，有 2种送法；则一共有 3×2 ＝6（种）送法； （2）用聪聪带的 50 元减去买一本《大自然的奥秘》的价钱，再减去买一本《儿童文学》的价 钱，即可求出还剩多少钱； 18 / 22 （3）根据表中的信息，可以提出一个数学问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险 记》，一共需要多少元？根据加法的意义，把一本《数学家的故事》的价钱和一本《熊猫历险 记》的价钱相加求和即可解答；本题问题不唯一，符合题意即可。 【详细解答】（1）3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（种） 3×2＝6（种） 小明想从上面任选两本书，共有 6种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书， 分别送给小芳和小红，共有 6种送法。 （2）50－14.3＝35.7（元） 35.7－15.2＝20.5（元） 答：还剩 20.5 元。 （3）问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险记》，一共需要多少元？ 10.4＋19.9＝30.3（元） 答：一共需要 30.3 元。（答案不唯一） 29．商场进行玩具促销活动。妈妈要带菲菲到姨妈家看望刚出生的小宝宝。 （1）妈妈准备从上面的 5种玩具中任选 2种玩具，作为礼物送给小宝宝，妈妈有多少种选择 方案？ （2）商场促销活动“满 99 元减 20 元”，（1）题中有几种方案不可以参与活动？ 【答案】（1）10 种 （2）3种 【解题思路】（1）每种玩具都可以和剩余 4种玩具中的一种组合在一起，有 4种选法，一共有 5种玩具，共有（4×5）种选法。任意两种玩具组合在一起，只算作一种选法，则共有（4×5 ÷2）种选法。 （2）要想方案不参加活动，这个方案中两种玩具的价钱和应小于 99 元。99－85＝14（元）， 99－79＝20（元），剩余的玩具价钱均大于 20 元，小狗以及飞机与任何玩具组合在一起，都参 19 / 22 与活动。那么不参与活动的方案中可能由小汽车、小熊、钟表中的两种组合在一起。分别求出 小汽车和小熊、小汽车和钟表、小熊和钟表这三个方案的价钱，再找出价钱小于 99 元的方案 即可。 【详细解答】（1）（5－1）×5÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10（种） 答：妈妈有 10 种选择方案。 （2）99－85＝14（元） 99－79＝20（元） 46＞37＞23＞20＞14 剩余的玩具价钱均大于 20 元，所求方案中不能包含小狗和飞机。 小汽车和小熊：46＋37＝83（元） 小汽车和钟表：46＋23＝69（元） 小熊和钟表：37＋23＝60（元） 99＞83＞69＞60 答：（1）题中有 3种方案不可以参与活动。 【考点点评】本题考查搭配问题，第 1小问解答时，注意去掉重复计算的选法。第 2小问的关 键是明确所求方案中不能包含小狗和飞机，列出可能的条件，再进一步解答。 30．游乐场中的问题。 （1）设计一个你喜欢的游乐场，请把右边所有的游乐项目填进图中的方格里。 （2）你的设计图中（ ）在草坪的西南方，草坪的东北方是（ ）。 （3）每个同学可以选择其中 2个不同的游乐项目游玩，一共有（ ）种选法。 （4）如果游乐场平均每小时的营业额是 400 元。算一算，这一天的营业额是（ ）元。 （5）李老师带三（1）班学生去游乐场，走之前调查了全班男、女生最喜欢的一个游乐项目。 20 / 22 结果如下： 男生：过山车 10 人，摩天轮 3人，碰碰车 4人，旋转木马 5人。 女生：过山车 5人，摩天轮 8人，碰碰车 2人，旋转木马 8人。 请你根据上面的记录填写下表并回答问题。 ①三（1）班一共有学生（ ）人。 ②喜欢（ ）游乐项目的男生最多。 ③游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，你觉得应该拆换哪个游乐项目？说说你的理由。 【答案】（1）见详解； （2）碰碰车；旋转木马； （3）6 （4）4400 （5）统计表见解析； ①45； ②过山车； ③应该拆换掉碰碰车；因为喜欢这个的同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 【解题思路】（1）画出设计图如下。 （2）观察上面的设计图，碰碰车在草坪的西南方，草坪的东北方是旋转木马。 （3）共有 4个项目，如果每个项目与另外 3个项目搭配一次，则有（4×3）种选法，去掉重 复的，即有（4×3÷2）种不同的玩法。所以，每个同学可以选择其中 2个不同的游乐项目游 玩，一共有 6种选法。 （4）首先把开始营业的时间和停止营业的时间转化成用 24 时计时法表示的时间，再用停止营 业的时间减去开始营业的时间，求出一天的营业时间，再乘 400 元，就是这一天的营业额。 （5）根据统计的数据，整理并绘制统计表如下。 ①用加法先分别求出喜欢这四个项目的男生和女生的总人数，再相加，就是这个班的总人数。 ②观察统计图，比较可知，喜欢过山车游乐项目的男生有 10 人，人数最多。 21 / 22 ③先分别计算出喜欢各个项目的学生数，比较可知喜欢碰碰车项目的学生人数最少，说明这个 项目的受欢迎度不高。所以，游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，我觉得应该拆换掉 碰碰车，因为喜欢这个的同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 【详细解答】（1）设计的游乐项目图如下： （2）观察上面的设计图，碰碰车在草坪的西南方，草坪的东北方是旋转木马。 （3）4×3÷2＝6（种） 所以，每个同学可以选择其中 2个不同的游乐项目游玩，一共有 6种选法。 （4）上午 9时就是 9时， 8时＋12 时＝20 时 20 时－9时＝11 时 400×11＝4400（元） 如果游乐场平均每小时的营业额是 400 元。算一算，这一天的营业额是 4400 元。 （5）绘制统计表如下： ①（10＋3＋4＋5）＋（5＋8＋2＋8） ＝22＋23 ＝45（人） 三（1）班一共有学生 45 人。 ②10＞5＞4＞3 所以，喜欢过山车游乐项目的男生最多。 ③10＋5＝15（人） 22 / 22 3＋8＝11（人） 4＋2＝6（人） 5＋8＝13（人） 15＞13＞11＞6 答：游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，我觉得应该拆换掉碰碰车，因为喜欢这个的 同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 【考点点评】本题主要考查了统计表的绘制、位置和方向、及搭配问题的解题方法，内容较多， 左图时要细心。 2024-2025学年三年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第八单元 数学广角—搭配（二）奥数思维训练 答案解析 一、填空题 1．用数字卡片1、0、5、2可以组成（ ）个没有重复数字的两位数，其中最大数与最小数相差（ ）。 【答案】9 42 【解题思路】用数字卡片1、0、5、2组成不同的数，可以利用固定法进行排数，让1在十位，其它几个数依次在个位，这样组成的两位数有10，12，15；5在十位组成的两位数有51，50，52；2在十位组成的两位数有21，20，25；一共有9个，这些数中最大的数是52，最小的数是10，用52－10即可计算出它们的差是多少。 【详细解答】组成的两位数有：10，12，15，20，21，25，50，51，52，共有9个数； 52－10＝42 所以用数字卡片1、0、5、2可以组成9个没有重复数字的两位数，其中最大数与最小数相差42。 【考点点评】排列数的组成时一定要注意不遗不漏，有序的排列。 2．从2、4、5中任选两个数字组成一个两位数作被除数，从3、8中任选一个数作除数，一共可以组成（ ）个除法算式。 【答案】12 【解题思路】将2放在最高位作为被除数，可以组成：24、25，2个；将4放在最高位作为被除数，可以组成：42、45，2个；将5放在最高位作为被除数，可以组成：52、54，2个；一共可以组成（3×2）个被除数，每个被除数除以3可以组成（3×2）个除法算式，每个被除数除以8也可以组成（3×2）个除法算式，那么用（3×2）乘2可以计算出一共组成多少个除法算式；据此解答。 【详细解答】根据分析：3×2×2＝12（个），所以一共可以组成12个除法算式。 【考点点评】搭配问题注意做到按顺序、不重复、不遗漏。 3．2022年卡塔尔世界杯，一共32支球队参加比赛，分成8个小组，每小组4支球队进行第一轮的单循环赛，请问每个小组要比赛（ ）场。 【答案】6 【解题思路】每小组4支球队，每2个球队踢一场，求一共要踢多少场，就是求一共有几种不同的组合方法。如下图，把4个球队一字排开，先把每个球队与其他球队分别连上线，再数一数一共连了几条线，连了几条线，就要踢几场。 【详细解答】如上图：3＋2＋1＝6（场） 所以每个小组要比赛6场。 【考点点评】稍复杂的组合问题可以用图示连线的方法来解决，组合过程中不考虑事物的先后顺序，只需注意不同组合中的元素。 4．开学时4位好朋友每2人拥抱一次，共要拥抱（ ）次；他们还要站成一排合影，小明站在最左边，其他人的位置可自由安排，共有（ ）种站法。 【答案】6 6 【解题思路】4位好朋友每2人拥抱一次，也就是每个人都要和另外3人拥抱一次，一共要拥抱3×4＝12（次）；又因为两个人只拥抱一次，去掉重复计算的情况，实际只拥抱12÷2＝6（次）； 小明的位置是确定的，把小明除外，3个人站在最右边的可能是3人中的任意一人，有3种不同的方法；第二位上还剩2人选择，有2种不同的站法；第三位还有1人，有1种方法，它们的积就是全部的站法。 【详细解答】拥抱次数： （4－1）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝6（次） 站法： 3×2×1＝6（种） 【考点点评】本题考查了搭配问题的实际应用，两两搭配时要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：实际次数＝人数×（人数－1） ÷2；简单的排列问题可以采用依次列举或连线的方法找出所有不同的排列方法，可以先确定第一个位置，再确定第二、第三个位置。 5．有2名男生和2名女生如图站成一排拍照，那么他们一共有（ ）种不同的站法。 【答案】24 【解题思路】4人排成一排，第1个位置可以由4种选择，第2个位置有3种选择，第3个位置有2种选择，最后1个位置只有1种选择，相乘即可。 【详细解答】4×3×2 ＝12×2 ＝24（种） 【考点点评】分步计数原理用乘法计算。 6．A、B、C、D四个同学要举行乒乓球比赛。他们采用循环赛（每两个赛一场）进行。比赛从下午2时开始，每场比赛15分钟，请你根据要求安排比赛，把表格填完整。 场次 对阵 时间 第一场 A  VS  B 14：00—14：15 【答案】见详解 【解题思路】根据题意，A同学分别与其它三名同学各比赛一场，即3场；B同学和剩下的两名同学分别比赛一场，即2场（A同学与B同学已经比赛过，不可重复计算）；C同学与D同学比赛一场，即1场；所以共比赛了6场，再按顺序按要求填写表格即可。 【详细解答】2时＋12时＝14时 下午2时就是14时。 场次          对阵                         时间                   第一场         A  VS  B                14：00—14：15                     第二场         A  VS  C                         14：15—14：30                     第三场         A  VS  D                  14：30—14：45                     第四场         B  VS  C                        14：45—15：00                     第五场         B  VS  D                         15：00—15：15                    第六场         C  VS  D              15：15—15：30                       【考点点评】本题主要考查了两两搭配问题，注意填统计表时要按一定的顺序进行，不可重复或遗漏。 7．四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……，这样一直下去，第十次交换位子后，小猫在第（ ）号位子上。 【答案】1 【解题思路】观察图形，由已知小猫坐在第4号，按要求交换，第一次⇒3，第二次⇒1，第三次⇒2，第四次回到原位4，……，得到的规律是每4次一循环，根据此规律很容易得到第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上。 【详细解答】由已知和图形得知，小猫自第一次交换位子后依次坐在2→1→3→4→2……，得到每4次一循环， 因为，10÷4＝2……2， 所以，第十次交换位子后，小猫坐在和第二次交换的位子相同，即第1号位子上。 【考点点评】此题考查的知识点是图形的变化类问题，解题的关键是通过观察图形和已知得到规律：小兔自第一次交换位子后依次坐在3→1→2→4→3……，得到每4次一循环。 8．如图，从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丁地有2条路可走；从甲地到丙地有2条路可走，从丙地到丁地有4条路可走；从甲地到丁地有2条路直达。那么从甲地到丁地有（ ）条不同的走法。 【答案】16 【解题思路】从甲到丁有三种方式，直接甲到丁，只需一步，经过乙到丁，需要两步，经过丙到丁，需要三步，求出每一种情况的方法数，相加得到总数。 【详细解答】第一种方法：直接甲到丁，两种方法； 第二种方法：经过乙到丁，种方法； 第三种方法：经过丙到丁，种方法； （条） 【考点点评】加乘原理是求解计数问题最常用的方法，简单说就是加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘。 二、选择题 9．河南省将于2025年开始实行新高考，采用3＋1＋2模式，3指统一考试科目“语文、数学、英语”，1指“物理、历史”中选择一科，2指“政治、地理、化学、生物”中选择两科，共有（    ）种选科的可能。 A．10 B．11 C．12 【答案】C 【解题思路】一共需要三步来完成，分别求出每一步有几种情况，相乘即可。 【详细解答】第一步只有1种情况，第二步选一个科目有2种情况，第三步四选二有6种情况（政治和地理、政治和化学、政治和生物、地理和化学、地理和生物、化学和生物），一共有1×2×6＝2×6＝＝12（种）选课组合。 故答案为：C 10．四个人下象棋，每个人都要与其他三个人分别下一局，已知A、B、C三个人已经分别下了3局、2局、1局，则D已经下了（    ）局。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】用4个点分别表示下象棋的4个人，如果某两人已经下过，就用线段把代表这两个人的点连接起来，因为A已经下了3盘，除了A以外还有3个点，所以A与其他3个点都有线段相连，根据图即可做出解答。 【详细解答】用4个点分别表示下象棋的4个人，如果某两人已经下过，就用线段把代表这两个人的点连接起来： 如图，连接D的线段有2条，说明D已经下了2局。 故答案为：C 【考点点评】解答此题的关键是，运用图文结合的方法，将问题简单化。 11．下列说法正确的是（    ）。 ①3个小朋友都单独和李老师、陈老师分别拍一张照片，一共要拍6张照片。 ②小强和小李玩“石头、剪刀、布”的游戏，他们一共有5种不同的出法。 ③笑笑有4件上衣，3条裙子，她一共有12种不同的穿法。 ④三年级有4位数学老师，每两个人通一次电话，一共要通4次电话。 A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解题思路】根据搭配问题的相关知识，对每个说法进行判断，即可解答。 【详细解答】①从3个小朋友选1人，有3种选择；再从李老师、陈老师中选1人，有2种选择。根据乘法原理，3×2＝6（种），所以他们一共要拍6张照片。说法正确； ②小强可以有3种出法，小李同样也有3种出法。根据乘法原理，3×3＝9（种），所以他们一共有9种不同的出法。说法错误； ③从4件上衣中选一件有4种选法，从3条裙子中选一条有3种选法。根据乘法原理，4×3＝12（种），她一共有12种不同的穿法。说法正确； ④4个小朋友每两人通一次电话，则每个小朋友都要和其他3个人通一次电话，即每个人要打3次电话，共有4个小朋友，所以共打3×4＝12（次），打电话是在两个人之间进行的，所以他们互通电话共12÷2＝6（次）。说法错误。 综上可知，①③的说法正确。 故答案为：C 【考点点评】本题主要考查学生对搭配问题的掌握。熟练掌握搭配问题的相关解题方法是解决此题的关键。 12．有一些1元、5角和1角的钱币，要买一支1.50元的笔，要使付的钱刚好不用找零，有（    ）种不同的付钱方法。 A．5 B．4 C．6 【答案】C 【解题思路】如果选取1元，1个1元和1个5角、1个1元和5个1角，有2种付钱方法；如果选取5角，3个5角、2个5角和5个1角、1个5角和10个1角，有3种付钱方法；最后15个1角，1种付钱方法；总共有2＋3＋1＝6（种）付钱方法。 【详细解答】2＋3＋1＝5＋1＝6（种） 故答案为：C 【考点点评】本题主要考查学生对搭配知识的掌握和灵活运用。 13．学校组织春游活动因故提前了，张老师要尽快通知到每一位学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，全班40位同学，最快（    ）分钟才能通知到全班同学。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】老师先用一分钟通知1个学生，第二分钟由老师和学生分别通知一个学生，现在通知的是1＋2＝3＝2×2－1，第三分钟通知的是3＋4＝2×2×2－1。据此类推解答。 【详细解答】第一分钟通知到1个学生；第二分钟最多可通知到2×2－1＝3个学生；第三分钟最多可通知到2×2×2－1＝7个学生；第四分钟最多可通知到2×2×2×2－1＝15个学生；第五分钟最多可通知到2×2×2×2×2－1＝31个学生；第六分钟可通知到63个学生； 最少要用6分钟可以通知40人； 故答案为：C。 【考点点评】此题考查的是应用规律解决实际问题的能力。 14．参观比赛的两队选手，在比赛结束后互相握手，所有的人握了10次手，有（    ）人互相握手。 A．4 B．10 C．5 D．9 【答案】C 【解题思路】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但是两个人之间只握手一次，所有的人握了10次手×2＝人数×人数－1，把选项的人数一一代入等量关系，判断答案。 【详细解答】根据分析可得，总握手次数＝人数×人数－1，10次是去掉重复后的次数，总握手次数＝10×2＝20（次） A．4×（4－1） ＝4×3 ＝12（次） B．10×（10－1） ＝10×9 ＝90（次） C．5×（5－1） ＝5×4 ＝20（次） D．9×（9－1） ＝9×8 ＝72（次） 故答案选：C。 【考点点评】本题考查搭配问题，找出等量关系是解题的关键。 15．下图是某城市局部街道示意图，某人想从街道口到街道口，要是使走的路程最短，不同的走法有（    ）。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解题思路】根据题意，分析可得要从A地到B地路程最短，需要向下走3次，向右2次，共5次，则从5次中选3次向下，剩下2次向右即可满足路程最短，由组合数公式计算可得答案。 【详细解答】从5次中选3次向下，剩下2次向右即可，则有＝10种不同的走法。 故答案为：C 【考点点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解路程最短的含义，将问题转化为组合的问题。 16．算盘上的一个上珠表示5，一个下珠表示1（如图），现在用1个上珠和2个下珠，一共可以表示出（    ）个不同的三位数。 A．6 B．9 C．12 D．21 【答案】C 【解题思路】用1个上珠和2个下珠表示三位数，可以分成四种情况进行讨论。第一种情况，个位、十位和百位上均有一个珠子。可以组成151、115、511三个三位数。第二种情况，一个上珠和一个下珠在同一个数位上。可以组成106、160、601、610四个三位数。第三种情况，两个下珠在同一个数位上。可以组成502、520、205、250四个三位数。第四种情况，三个珠子在同一个数位上。可以组成700一个三位数。则一共可以组成3＋4＋4＋1＝12个不同的三位数。 【详细解答】现在用1个上珠和2个下珠，一共可以表示出12个不同的三位数。 故答案为：C 【考点点评】本题考查组合问题，可以采用枚举法解答。应按照顺序分情况进行讨论。 三、解答题 17．用4、1、3、6组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是双数的两位数？ 【答案】能组成6个个位是双数的两位数。 【解题思路】数字4、1、3、6，是双数的有4、6，将4和6放在个位数；已知用4、1、3、6组成没有重复数字的两位数，如果个位上放4，则十位上为1、3、6；如果个位上放6，则十位上放1、3、4，据此即可解答。 【详细解答】列表如下所示： 序号 十位上的数字 个位上的数字 组成的两位数 排列1 1 4 14 排列2 3 4 34 排列3 6 4 64 排列4 1 6 16 排列5 3 6 36 排列6 4 6 46 答：能组成6个个位是双数的两位数。 【考点点评】本题主要考查搭配问题，解答本题的关键在于知道哪几个数为双数。 18．从1～12这十二个自然数中选取，把26拆分成4个不同自然数之和，共有多少种不同的分法？ 【答案】11种 【解题思路】不大于12的整数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，从1～12中每次选出4个数，使这4个数的和是12，列举出各种可能的分法。 【详细解答】26＝1＋2＋11＋12 26＝1＋3＋10＋12 26＝1＋4＋10＋11 26＝1＋5＋8＋12 26＝1＋6＋9＋10 26＝1＋6＋7＋12 26＝1＋7＋8＋10 26＝3＋4＋9＋10 26＝3＋5＋6＋12 26＝2＋4＋9＋12 26＝5＋6＋7＋8 答：共有11种不同的分法。 【考点点评】有序列举才能做到不重复、不遗漏。 19．小甲和小乙两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛，如果最后小甲获胜了，那么比赛的过程有多少种可能？ 【答案】10种 【解题思路】试着把每场比赛的结果用树形图表示出来。注意：不会有“小乙－小甲－小乙－小乙－小甲”这样的过程出现，因为这种情况下，塞完第4场后小乙已经获胜，不合题意。 【详细解答】第一场小甲胜时： 第一场小乙胜时： 综上，共有10种可能。 答：比赛的过程有10种可能。 【考点点评】树形图是枚举法的一种，可以使我们的枚举过程更加直观，有条理又不易重复或遗漏。 20．如下图，如果小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上，每次只能走到相邻的编号（两个六边形如果有公共边就成为相邻），而且只能向右边走（例如1→2→3→5就是一种可能的走法） ，那么小高一共有多少种不同的走法？ 【答案】5种 【解题思路】根据题意，小高第一步可以走到2号地毯或3号地毯，据此注意分析即可，注意题目中的限定条件：相邻编号地毯和只能向右走，另外只有结束在5号地毯的才符合题意。 【详细解答】根据题意，画图如下： 数一数可知，一共5种可能。 答：小高一共有5种不同的走法。 【考点点评】解答此类问题，按照树形图的画法逐一画出所有的分叉即可。注意不重复不遗漏。 21．小、莫、萱三人玩传球游戏，每次持球的人都可以把球传给另外两个人中的任何一个，先由小拿球，经过4次传球之后，球又回到了小的手里，那么一共有多少种不同的传球过程？ 【答案】6种 【解题思路】先考虑第1次有多少种传法？然后用树形图画出每次传球后给谁。要注意只有第4次传球后回到小手上的才是符合题意的传法。 【详细解答】由题意可知，小先拿球，则第1次可以给莫也可以给萱。 由题意画树形图如下： 由图可知，共有6种情况符合要求。 答：一共有6种不同的传球过程。 【考点点评】根据题意分析出第1次只能给莫或萱，据此正确画出树形图是解题关键。 22．17支排球队分成三组，其中两组各6支队，第三组5支队，第一阶段各组进行单循环比赛；第二阶段，由各组前两名举行单循环比赛，决出冠亚军，共需举行多少场比赛？若第二阶段中，原同一组的两队免赛，共需举行多少场比赛？若17支球队不分组，直接利用单循环赛制，共要赛多少场？ 【答案】55场；52场；136场 【解题思路】单循环赛制的场数＝队伍数×（队伍数－1）÷2，根据这个公式分别计算；注意第二种情况下，三组各有两队不需要再比赛，因此要减少3场比赛。 【详细解答】6×（6－1）÷2×2＋5×（5－1）÷2 ＝6×5÷2×2＋5×4÷2 ＝30＋10 ＝40（场） 40＋6×（6－1）÷2 ＝40＋6×5÷2 ＝40＋15 ＝55（场） 55－3＝52（场） 17×（17－1）÷2 ＝17×16÷2 ＝136（场） 答：第一种情况共需要55场；第二种情况共需要52场；第三种情况共需要136场。 【考点点评】本题考查排列组合的知识，关键是掌握循环赛问题的求解方法。 23．（1）体育室有5个不同的足球和6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个球，可以有多少种不同的借法？ （2）体育室有5个不同的足球和6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个足球和一个篮球，可以有多少种不同的借法？ 【答案】（1）11种 （2）30种 【解题思路】（1）完成借球这件事情只需要一步，从11只球里面挑一个即可； （2）完成借球这件事情只需要两步，每步又有不同的几种方法。 【详细解答】（1） 答：可以有11种不同的借法。 （2） 答：可以有30种不同的借法。 【考点点评】“加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘”，对于加乘原理计数问题，先分清楚到底是相加还是相乘。 24．小明想把4块巧克力放入两个同样的盒子里，允许有的盒子空着不放，你知道一共有多少种不同的放法么？ 【答案】3种 【解题思路】由于两个盒子是同样的，且允许有的盒子空着不放，那么可以从一个盒子取0开始枚举，求出所有的可能。 【详细解答】分类枚举如下： 答：一共有3种。 【考点点评】由于不考虑顺序，所以相当于是数的分拆的问题，可以按照一定的顺序进行分拆，注意不能重复。 25．如图是中国象棋棋盘的部分局势图。 棋子“”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋子“”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象飞田”（与走的规则相同）。如果两方各走一步，红子方走的是“”，黑子方走的是“”，可能出现（    ）种不同的局势图，请你在下图中画出其中一种。 【答案】8；图见详解 【解题思路】 根据题意，棋子“”走的路线共有2种走法，棋子“”走的路线共有4种走法；把“”的2种走法和“”的4种走法搭配在一起，一共有2×4＝8（种）不同的局势图；据此解答即可。 【详细解答】据分析可得： 2×4＝8（种） 如果两方各走一步，红子方走的是“”，黑子方走的是“”，可能出现8种不同的局势图。 如图所示： （答案不唯一） 26．李叔叔从济南到北京出差，直达的车票卖完了，他准备从济南西站先乘高铁到天津南站，再从天津南站站内换乘，乘高铁到北京南站。可以购票的车次如下表。一共有多少种购票方法？请你写出到达时间最早的购票方法。 车次 站点 发车时间 到达时间 C1596 济南西→天津南 09：59 11：03 G2582 济南西→天津南 10：33 11：36 G2578 天津南→北京南 11：33 12：08 G1084 天津南→北京南 12：08 12：42 G110 天津南→北京南 12：58 13：32 【答案】5种；购买C1596次和G2578次列车 【解题思路】由题意得，从济南西到天津南有2个班次列车可以选择，从天津南到北京南有3个班次列车可以选择。如果选择C1596次列车到天津南，此时是11：03，从天津南到北京南的列车均未发车，所以可以选择G2578、G1084或G110次列车到达北京南，有3种购票方案；如果选择G2582次列车到天津南，此时已经是11：36，从天津南到北京南的G2578次列车已发车，G1084或G110次列车还未发车，所以可以选择G1084或G110次列车到达北京南，有2种购票方案； 要想到达时间最早，那么应该选择时间较早的C1596次列车到达天津南，此时，最早发车的一班列车是G2578次，可以乘坐该列车到达北京南。据此作答。 【详细解答】如果选择C1596次列车到天津南，有3种购票方案；如果选择G2582次列车到天津南，此时G2578次列车已经发车，有2种购票方案； 3＋2＝5（种） 最早到达北京南的时间是12：08，所以选择C1596次列车先到达天津南，此时是11：03，再选择G2578次列车到达北京南，这样到达北京南的时间最早。 答：一共有5种购票方法。选择C1596次列车和G2578次列车到达北京南的时间最早。 27． 星期一菜谱 荤菜：盐水鸭、辣子鸡 素菜：黄瓜、茄子 星期四菜谱 荤菜：牛肉、鱼肉 素菜：大白菜、豆角、花菜 （1）星期一有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 （2）星期四有多少种不同的配菜方法？请一一写出来。 【答案】（1）①盐水鸭、黄瓜；②盐水鸭、茄子；③辣子鸡、黄瓜；④辣子鸡、茄子；共4种。 （2）①牛肉、大白菜；②牛肉、豆角；③牛肉、花菜；④鱼肉、大白菜；⑤鱼肉、豆角；⑥鱼肉、花菜；共6种。 【解题思路】（1）星期一荤菜有2种，素菜有2种，当选择1种荤菜时，对应可以选择2种素菜，所以有2个2种选择方法，可以通过连线来搭配.，如下图；（2）星期四荤菜有2种，素菜有3种，当选择1种荤菜时，对应可以选择3种素菜，所以有2个3种选择方法，可以通过连线来搭配，如下图； 【详细解答】（1）根据分析可知，星期一有4种不同的配菜方法，分别是①盐水鸭、黄瓜；②盐水鸭、茄子；③辣子鸡、黄瓜；④辣子鸡、茄子； （2）根据分析可知，星期四有6种不同的配菜方法，分别是①牛肉、大白菜；②牛肉、豆角；③牛肉、花菜；④鱼肉、大白菜；⑤鱼肉、豆角；⑥鱼肉、花菜。 28．看表答题。 书名 《数学家的故事》 《熊猫历险记》 《大自然的奥秘》 《儿童文学》 价格 10.4元 19.9元 14.3元 15.2元 （1）小明想从上面任选两本书，共有（    ）种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书，分别送给小芳和小红，共有（    ）种送法。 （2）聪聪带了50元，买一本《大自然的奥秘》和一本《儿童文学》后，还剩多少钱？ （3）根据表中的信息，提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）6；6 （2）20.5元 （3）问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险记》，一共需要多少元？30.3元（答案不唯一） 【解题思路】（1）根据题意“任选两本书”，可以先确定选第一本书和后面3本书搭配，有3种选法；再确定第二本书和后面2本书搭配，有2种选法；再确定第三本书和后面1本书搭配，有1种选法；所以一共有3＋2＋1＝6（种）选法； 聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书，则1本其他的书只能从剩下的3本中选择，有3种选法；如果将每一种选法的2本书分别送给小芳和小红，有2种送法；则一共有3×2＝6（种）送法； （2）用聪聪带的50元减去买一本《大自然的奥秘》的价钱，再减去买一本《儿童文学》的价钱，即可求出还剩多少钱； （3）根据表中的信息，可以提出一个数学问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险记》，一共需要多少元？根据加法的意义，把一本《数学家的故事》的价钱和一本《熊猫历险记》的价钱相加求和即可解答；本题问题不唯一，符合题意即可。 【详细解答】（1）3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（种） 3×2＝6（种） 小明想从上面任选两本书，共有6种选法；聪聪想买一本《数学家的故事》和一本其他的书，分别送给小芳和小红，共有6种送法。 （2）50－14.3＝35.7（元） 35.7－15.2＝20.5（元） 答：还剩20.5元。 （3）问题：买一本《数学家的故事》和一本《熊猫历险记》，一共需要多少元？ 10.4＋19.9＝30.3（元） 答：一共需要30.3元。（答案不唯一） 29．商场进行玩具促销活动。妈妈要带菲菲到姨妈家看望刚出生的小宝宝。    （1）妈妈准备从上面的5种玩具中任选2种玩具，作为礼物送给小宝宝，妈妈有多少种选择方案？ （2）商场促销活动“满99元减20元”，（1）题中有几种方案不可以参与活动？ 【答案】（1）10种 （2）3种 【解题思路】（1）每种玩具都可以和剩余4种玩具中的一种组合在一起，有4种选法，一共有5种玩具，共有（4×5）种选法。任意两种玩具组合在一起，只算作一种选法，则共有（4×5÷2）种选法。 （2）要想方案不参加活动，这个方案中两种玩具的价钱和应小于99元。99－85＝14（元），99－79＝20（元），剩余的玩具价钱均大于20元，小狗以及飞机与任何玩具组合在一起，都参与活动。那么不参与活动的方案中可能由小汽车、小熊、钟表中的两种组合在一起。分别求出小汽车和小熊、小汽车和钟表、小熊和钟表这三个方案的价钱，再找出价钱小于99元的方案即可。 【详细解答】（1）（5－1）×5÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10（种） 答：妈妈有10种选择方案。 （2）99－85＝14（元） 99－79＝20（元） 46＞37＞23＞20＞14 剩余的玩具价钱均大于20元，所求方案中不能包含小狗和飞机。 小汽车和小熊：46＋37＝83（元） 小汽车和钟表：46＋23＝69（元） 小熊和钟表：37＋23＝60（元） 99＞83＞69＞60 答：（1）题中有3种方案不可以参与活动。 【考点点评】本题考查搭配问题，第1小问解答时，注意去掉重复计算的选法。第2小问的关键是明确所求方案中不能包含小狗和飞机，列出可能的条件，再进一步解答。 30．游乐场中的问题。 （1）设计一个你喜欢的游乐场，请把右边所有的游乐项目填进图中的方格里。 （2）你的设计图中（    ）在草坪的西南方，草坪的东北方是（    ）。 （3）每个同学可以选择其中2个不同的游乐项目游玩，一共有（    ）种选法。 （4）如果游乐场平均每小时的营业额是400元。算一算，这一天的营业额是（    ）元。 （5）李老师带三（1）班学生去游乐场，走之前调查了全班男、女生最喜欢的一个游乐项目。结果如下： 男生：过山车10人，摩天轮3人，碰碰车4人，旋转木马5人。 女生：过山车5人，摩天轮8人，碰碰车2人，旋转木马8人。 请你根据上面的记录填写下表并回答问题。 ①三（1）班一共有学生（    ）人。   ②喜欢（    ）游乐项目的男生最多。 ③游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，你觉得应该拆换哪个游乐项目？说说你的理由。 【答案】（1）见详解； （2）碰碰车；旋转木马； （3）6 （4）4400 （5）统计表见解析； ①45； ②过山车； ③应该拆换掉碰碰车；因为喜欢这个的同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 【解题思路】（1）画出设计图如下。 （2）观察上面的设计图，碰碰车在草坪的西南方，草坪的东北方是旋转木马。 （3）共有4个项目，如果每个项目与另外3个项目搭配一次，则有（4×3）种选法，去掉重复的，即有（4×3÷2）种不同的玩法。所以，每个同学可以选择其中2个不同的游乐项目游玩，一共有6种选法。 （4）首先把开始营业的时间和停止营业的时间转化成用24时计时法表示的时间，再用停止营业的时间减去开始营业的时间，求出一天的营业时间，再乘400元，就是这一天的营业额。 （5）根据统计的数据，整理并绘制统计表如下。 ①用加法先分别求出喜欢这四个项目的男生和女生的总人数，再相加，就是这个班的总人数。 ②观察统计图，比较可知，喜欢过山车游乐项目的男生有10人，人数最多。 ③先分别计算出喜欢各个项目的学生数，比较可知喜欢碰碰车项目的学生人数最少，说明这个项目的受欢迎度不高。所以，游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，我觉得应该拆换掉碰碰车，因为喜欢这个的同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 【详细解答】（1）设计的游乐项目图如下： （2）观察上面的设计图，碰碰车在草坪的西南方，草坪的东北方是旋转木马。 （3）4×3÷2＝6（种） 所以，每个同学可以选择其中2个不同的游乐项目游玩，一共有6种选法。 （4）上午9时就是9时， 8时＋12时＝20时 20时－9时＝11时 400×11＝4400（元） 如果游乐场平均每小时的营业额是400元。算一算，这一天的营业额是4400元。 （5）绘制统计表如下： ①（10＋3＋4＋5）＋（5＋8＋2＋8） ＝22＋23 ＝45（人） 三（1）班一共有学生45人。   ②10＞5＞4＞3 所以，喜欢过山车游乐项目的男生最多。 ③10＋5＝15（人） 3＋8＝11（人） 4＋2＝6（人） 5＋8＝13（人） 15＞13＞11＞6 答：游乐场决定改建，需要拆换掉一个游乐项目，我觉得应该拆换掉碰碰车，因为喜欢这个的同学最少，说明这个项目的受欢迎度不高。 【考点点评】本题主要考查了统计表的绘制、位置和方向、及搭配问题的解题方法，内容较多，左图时要细心。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$