精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第二学期期中考试 高二年数学试卷 2025．4 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致． 2、回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效． 3、考试结束，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案． 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 9米/秒 B. 8米/秒 C. 7米/秒 D. 6米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度. 【详解】由，得， 则物体在秒时的瞬时速度米秒． 故选：A. 2. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 3. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 故选：B. 4. 随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果． 【详解】根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和1，即. ∴ ∴ 故选D. 考点：离散型随机变量的分布列 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分 5. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 6. 已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ） A. 144 B. 288 C. 576 D. 720 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法， 故选：C 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C 8. 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分． 9. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对每一个选项的函数求导即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件概率公式可判断选项A，D；由相互独立事件的概率乘法公式可判定B；由和事件的概率公式可判断C. 【详解】由条件概率公式，， 所以，故A正确； 而，故B错误； ，故C正确； 因为， ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A. 设，求出其导函数得出其单调性，可得，设，求出其导函数，得出其单调性，可得，从而可判断A；选项B. 设,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断B；选项C. 由可判断C；选项D：由选项B证明结果数列是递增数列，所以，由选项A中得到的结论可得，从而可判断选项D. 【详解】由题意，则， 设，则， 所以在上的单调递减，所以，即， 当时，可得，即， 设，则， 所以在上的单调递增，所以， 取，可得，即 所以，所以选项A正确. 设，则， 由上在上恒成立，则， 所以在上恒成立，所以在上单调递增. 所以数列是递增数列，故选项B错误. 由，所以，所以选项C不正确. 由数列是递增数列，所以， 由上，则，所以， 所以，故选项D正确. 故选： AD 【点睛】关键点睛：本题考查数列与函数单调性相结合的应用，考查数列单调性，解答本题的关键是根据数列的结构特征和不等式的形式构造函数，，以及，通过求导数，利用导数讨论其单调性得到数列不等式、单调性和范围. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，然后解出不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 由可得， 所以函数的单调递增区间是， 故答案为： 13. 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】因为平面，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量，则即 不妨设，可得， 因为，所以. 则点到平面的距离为. 故答案为： 14. 现有5根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这5根绳子恰好能围成1个圈的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】可以把问题看做10个绳头平均分成5组，按平均分组问题求总的基本事件，再求恰好能围成一个圆的基本事件数，结合古典概型计算. 【详解】10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头， 可转化为有10个绳头，每2个绳头一组，分为5组，共有种； 其中恰好能围成一个圈，则以其中一根绳子为首，从8个绳头中选择一个与之打结，再从剩余6个绳头中选择一个与上一根剩余的绳头打结，依次进行， 则打结方式有：种， 所以5根绳子恰好能围成一个圈的概率为：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置． 15. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证否符合题意即可； （2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值. 【小问1详解】 由已知 令得或， 当时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符； 当，即时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意； 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，且. 因为,所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． （1）求证：是棱的中点； （2）求平面与平面夹角余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，线面平行的性质有，结合得到为平行四边形，即可证结论； （2）建立空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，又是的中点，则且， 由在棱上，底面矩形，则，故， 由平面，平面且平面平面，则， 所以为平行四边形，故， 所以是的中点； 【小问2详解】 平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 显然平面的一个法向量可以为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值； 17. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的动直线交于两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，借助，构造方程组，求出，代入，整理计算即可； （2）依题意，知道直线不垂直于轴，设其方程为，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得，令，变形，结合基本不等式计算即可. 【小问1详解】 设，则，过作轴的垂线，垂足为,则， 因为，则， 则整理得代入中得， 整理得，所以曲线C的方程为． 【小问2详解】 依题意知道，直线不垂直于轴， 则设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则 则， 令，则，且 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为． 18. 假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，． （1）求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率； （2）现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题，发现这架坠毁飞机残骸分3种情况，利用全概率公式求解； （2）设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸，利用条件概率公式，全概率公式求出，，再利用贝叶斯定理求解. 【小问1详解】 根据题意，飞机坠落在区域1，2，3的概率均为， 所以快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率： . 【小问2详解】 设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸， 则，， 利用贝叶斯定理可得. 所以快速检查区域1，2之后未发现残骸，飞机坠落在区域3的概率为. 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）（i）若函数在为递减函数，求的值； （ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出斜率，求解计算即可； （2）（i）设，讨论单调性求解即可； （ii）根据条件得， 分和两种情况构造函数求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 函数在处即过点的切线方程：， 故所求的切线方程为：. 【小问2详解】 （i）设， 则， ， 当时，，在为增函数. 当时，，在增函数与在为减函数矛盾； 当时，时，在增函数， 时，，在减函数， ， 因为在为减函数，所以成立. 记，则， 因为时，，时，，所以， 又，所以. （i i）由（i）成立的条件，即，则. 因为，（不妨设）. 所以 又在为减函数，而， 所以只有和两种情况. 当时，，所以， 当时，所以. ，记 ， 所以在为递增函数， 又，在为递减函数， 所以 又时，，， 因为，所以. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、 微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第二学期期中考试 高二年数学试卷 2025．4 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致． 2、回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效． 3、考试结束，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案． 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 9米/秒 B. 8米/秒 C. 7米/秒 D. 6米/秒 2. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 . A. B. C. D. 5. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同排法？（ ） A. 144 B. 288 C. 576 D. 720 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 40 C. 60 D. 100 8. 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分． 9. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 11. 已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是__________． 13. 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为______. 14. 现有5根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这5根绳子恰好能围成1个圈的概率为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置． 15. 已知函数处取得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱中点，在棱上，且平面，平面平面． （1）求证：是棱的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的动直线交于两点，求面积的最大值． 18. 假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，． （1）求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率； （2）现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3条件概率． 19 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）（i）若函数在为递减函数，求的值； （ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$