精品解析：山东省济宁市任城区2024-2025学年下学期期中考试七数学试题

2024—2025学年第二学期期中考试 初二数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列各式中是二元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 2. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（ ） A. 如果是同角，那么余角相等 B. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C. 如果是同角余角，那么相等 D. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 3. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，抽到偶数的可能性比抽到奇数的可能性大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 4. 如图，可以判定的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 能说明命题“若，则”为假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ） A B. C. D. 85° 7. 为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用座客车若干辆，则人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 图中两直线，的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ） ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为_____． 12. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数是______． 13. 如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是_______________． 14. 一副三角尺如图摆放，DBC延长线上一点，E是AC上一点，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，，若，则∠CED等于 _____度． 15. 如图，在△ABC中，，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则n的最大值为__________． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． （1）P（转出的数字为奇数）； （2）两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 18. 如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 19. 把（其中、是常数，、是未知数）这样方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”． （2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值． （3）是否存在使“雅系二元一次方程”与（为常数）“完美值”相同，若存在，求出的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由． 20. 如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． （1）直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 （2）求直线的解析表达式； （3）若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 21. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，决定开始销售这两种水果．已知该超市购进甲种水果10千克和乙种水果3千克共需要197元；若购进甲种水果15千克和乙种水果6千克，则共需要324元． （1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元? （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，甲种水果的售价为20元/千克，乙种水果的售价为24元/千克．其中甲种水果的数量不少于20千克，但不超过60千克．若超市当天购进的水果当天售完（运输和销售过程中水果的损耗忽略不计），写出每天销售这两种水果获得的利润w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）之间的关系式，并求出a为何值时能获得最大利润?最大利润是多少元? 22. 【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中考试 初二数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列各式中是二元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项不是，因为含有3个未知数； B选项是； C选项不是，两个方程都不是整式方程； D选项不是，mn=-1，含有未知数的项mn的次数是2. 故选B 点睛：如果方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，二元一次方程组的每个方程都是整式方程. 2. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（ ） A. 如果是同角，那么余角相等 B. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C. 如果是同角的余角，那么相等 D. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选D． 【点睛】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，抽到偶数的可能性比抽到奇数的可能性大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6，说法错误，因为试验次数少，且瓶盖抛掷并非等可能事件，故不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，可以判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据平行线的判定方法逐一判断即可. 【详解】解： 故不符合题意； 故符合题意； 故不符合题意； 故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键. 5. 能说明命题“若，则”为假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，满足，但不能得到，于是可作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例． 【详解】解：说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：C． 7. 为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用座客车若干辆，则人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解决实际问题，根据“若学校租用座客车若干辆，则人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 根据题意可列出方程组 故选：B． 8. 如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，为折痕，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质求出，根据折叠得出，再逐个判断即可． 【详解】解：，， ． 由折叠的性质，得，①正确； ，②正确； ， ． ， ，③正确； ， ，④正确． 故正确的结论有4个． 9. 图中两直线，的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的关系，理解一次函数图象交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：由图象可知两直线的交点为，即方程组的解应为， A、解方程组得，故错误，不符合题意； B、解方程组得，正确，符合题意； C、解方程组得，故错误，不符合题意； D、解方程组得，故错误，不符合题意； 故选：B． 10. 已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ） ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论。 【详解】解：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， 得：， ， 解得：，①结论正确； 当时，， 解得： 将代入中，得：， 解得：， 方程组的解不是方程的解，②结论错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】把代入方程组， 得：， 解得， ∴， ∴， 故答案为：2. 12. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数是______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率． 【详解】∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm，将圆盘分为三部分， ∴阴影部分面积为：π（42-22）=12π，大圆的面积为：36π， ∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：， 故答案为 【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：本题将概率的求解设置于几何图形中，考查学生对简单几何概念的掌握情况，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 14. 一副三角尺如图摆放，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，，若，则∠CED等于 _____度． 【答案】15 【解析】 【分析】先根据三角尺可知，再根据平行线的性质可得，然后根据即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 15. 如图，在△ABC中，，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则n的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求，再依此类推得，,……，，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形的外角性质，，， ∴， 整理得：， 同理可得， …… 其规律为：． 要使的度数为整数，的最大值为4． 故答案为：4． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 由得，， 解得：， 将代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：可化为：， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17. 如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． （1）P（转出的数字为奇数）； （2）两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【答案】（1） （2）应选择方式，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率公式可计算出转出的数字为奇数的概率； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； 【小问2详解】 解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． 18. 如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和平行线的性质与判定， （1）根据平分得到，再由等量代换推出， 根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 中，， ， 平分， ， ． 19. 把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”． （2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值． （3）是否存在使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】(1)根据题意可得，解方程即可求得； (2)根据题意可得，再把代入，解方程即可求得； (3)根据题意可得，，即可分别解得，，可得，解方程即可求得n的值，据此即可解答． 【小问1详解】 解：当时， 可化为 解得，； 【小问2详解】 解：当时， 可化为， 把代入，解得； 【小问3详解】 解：存在； 当时， 可化为， 解得， 当时， 可化为， 解得． ∵与（为常数）的“完美值”相同， ， 解得， 将代入得． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次方程的解法，理解题意，得到相关方程是解决本题的关键． 20. 如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． （1）直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 （2）求直线的解析表达式； （3）若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象问题，涉及直线的交点坐标与方程组的解的关系，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点P的横坐标为代入，求出点的坐标，即可求解关于x，y二元一次方程组的解； （2）将点代入解方程组即可； （3）根据面积关系，得到，求出，分两种情况，将代入直线表达式即可求解． 【小问1详解】 解：∵点P的横坐标为， ∴， ∴点P的坐标是， ∵直线与相交于点P， ∴关于x，y二元一次方程组的解为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵B点坐标为，， ∴将代入得，则，解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵点P的横坐标为，， ， ∴， ①当时，代入解析式可得； ②当时，代入解析式可得. ∴点M的坐标是或， 故答案为：或． 21. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，决定开始销售这两种水果．已知该超市购进甲种水果10千克和乙种水果3千克共需要197元；若购进甲种水果15千克和乙种水果6千克，则共需要324元． （1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元? （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，甲种水果的售价为20元/千克，乙种水果的售价为24元/千克．其中甲种水果的数量不少于20千克，但不超过60千克．若超市当天购进的水果当天售完（运输和销售过程中水果的损耗忽略不计），写出每天销售这两种水果获得的利润w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）之间的关系式，并求出a为何值时能获得最大利润?最大利润是多少元? 【答案】（1）甲种水果的单价为14元；乙种水果的单价为19元 （2）； 【解析】 【分析】本题考查了方程组的应用，最大利润，熟练掌握方程组的解法，最大利润的计算方法是解题的关键， （1）设甲种水果的单价为x元/千克，乙种水果的单价为y 元/千克，列出方程组计算即可． (2)设甲种水果a千克，乙种水果千克，根据题意，得，结合计算即可． 【小问1详解】 设甲种水果的单价为x元/千克，乙种水果的单价为y 元/千克，列出方程组， 解得． 答：甲种水果的单价为14元；乙种水果的单价为19元． 【小问2详解】 设甲种水果a千克，乙种水果千克， 根据题意，得， ∵，且w随a的增大而增大． ∴当时，利润最大，最大利润为560元． 22. 【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 【答案】（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由见解析；（2）∠OPQ=∠ORQ；【应用拓展】85° 【解析】 【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，则PEBQ，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果； （2）同（1）方法类似，结合图形找出各角之间的关系求解即可； 应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，利用平行线的性质找出各角之间的关系求解即可． 详解】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下， 如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ. ∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE. ∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE ∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP； （2）解：∠OPQ=∠ORQ， 理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ， 同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ， ∵入射角等于反射角： ∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR， ∴∠OPQ=∠ORQ； 【应用拓展】如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB， 则ABPMQNCD ∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180° ∵∠B=125°，∠C=145°， ∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°， ∵∠PQC=65°， ∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°， ∴∠QPM=∠PQN=30°， ∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°． 【点睛】题目主要考查平行性质的性质及辅助线的作法，解决本是的关键是理解题意，作出相应的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $