精品解析：浙江省杭州市开元中学2024-2025学年九年级下学期期中数学试题

杭州市开元中学2024学年第二学期九年级期中教学质量检测 数学学科问卷 命题：九年级数学备课组 审核：九年级数学备课 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．） 1. 魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若元表示收入5元，则支出7元可记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，规定收入为正，则支出为负，进行作答即可． 【详解】解：若元表示收入5元，则支出7元可记作元； 故选A． 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 3. 按照国家统计局的数据，2024年中国生产芯片在4300亿颗以上，数据4300亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 4. 计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了 幂的乘方， 根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算即可． 【详解】解：因为，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：C． 5. 小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据和都是等腰三角形且，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】解：，， 和都是等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：B． 6. 与式子的值最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则化简后原式，然后根据即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 式子的值最接近的整数是5． 故选：C． 7. 如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，作，将绕点D顺时针旋转至，即可得出B点的坐标． 【详解】解：如图，作，将绕点D顺时针旋转至， 则， ∴， ∴， ∴正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为． 故选：B． 8. 如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可． 【详解】解：连接、， ∵过的中点C作交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案． 【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2． ∵ME⊥AB，， ∴是直角三角形，，，， ∵， ∴，． 又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键． 10. 如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知，，则的长为(　　) A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，折叠的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出A，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据折叠的性质得，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， ∴， ∵于F， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴=， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2﹣4x=__． 【答案】x（x﹣4） 【解析】 【详解】解：x2﹣4x=x（x﹣4）． 故答案为：x（x﹣4）． 12. 一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随机摸出的一个球是黑球的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，布袋里共有个球，其中黑球有2个， 则随机摸出的一个球是黑球的概率为， 故答案为：． 13. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，， 根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值． 【详解】解：设点A的坐标为∶，， ∵轴， ∴点B的纵坐标为：， ∵点B在反比例函数， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∵点C在x轴上，轴， ∴边上的高为∶， ∵的面积是2， 即， 化简得：， 解得：， 故答案为：3． 16. 如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点． 由翻折得：，，由勾股定理得，可证明，则求出，则，由于，，则，可得，则，即可求解面积． 【详解】解： 由翻折得：， ∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题8分，第22、23小题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 【答案】（1）85，87，七 （2）估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人 （3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数． A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 故答案为：85，87，七． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人． 【小问3详解】 解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， 所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一） 20. 如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边对等角可得出，即可得出，即可求出答案． （2）由勾股定理求出，再根据等面积法求出，再根据正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 21. 已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，弄清题意，能从图象中获取有用的信息是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的解析式即可； （2）根据图象分别得出小红和小明的速度，根据出发后分小红在前和小明在前两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知点，，， 设的解析式为， 则， 解得， 所以，， 所以，小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； 【小问2详解】 解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为， 所以小红的速度为：； 小明出发2小时离开甲地的路程为， 所以小红的速度为：； 小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况： ①当，解得， ②当，解得， 所以小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或． 22. 如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形． 小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小明：小华，你的作法有问题． 小华：真的吗？让我们仔细想一想． （1）证明：小明所作的是等腰三角形； （2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例． 【答案】（1）证明：因为点P在的平分线上，， 所以， 所以． 因为，，， 所以． 所以， 所以，即是等腰三角形． （2）小华的作法没有问题， 理由如下：设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有， 因为， 所以， 所以， 由（1）知， 所以， 所以， 所以， 所以为等腰三角形． 因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形． 因此，小华的作法没有问题． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，即可得出是等腰三角形． （2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，证明，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”． 例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）求点的“纵横差”； （2）求函数的“纵横极差”； （3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值． 【答案】（1）5 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，一次函数的图像和性质以及二次函数的图像和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （1）根据“纵横差”的定义求解即可． （2）根据“纵横极差”的定义求解即可． （3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况，利用二次函数的图像和性质即可求解． 【小问1详解】 解：点的“纵横差”为， 【小问2详解】 解：因为， 所以，， 因为， 所以时，的最大值是， 所以，函数的“纵横极差”为． 【小问3详解】 解：因为函数的“纵横极差”为4， 所以，当时，的最大值为4． ①若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得． ②若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得或（舍去）． ③若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得（舍去）． 综上所述，或 24. 如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结． （1）求的度数； （2）如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由； （3）如图3，连结交于点P，若，，求圆半径． 【答案】（1） （2），，理由见解析 （3）圆半径为9 【解析】 【分析】对于（1），根据中点的定义得，可得，再结合可得答案； 对于（2），延长交于点H，先证明，可得，，再连结BD，可说明，进而得出，根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（3），结合题意得，再说明，可得，然后设为x，则，作，即可得，根据相似三角形的性质得，可得，，，再根据平行线的性质得，代入数值可得出答案. 【小问1详解】 解：∵为直径，C是的中点， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，． 延长交于点H， ∵，， ∴， ∴． 又，， ∴， ∴，． 连结， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴，． 【小问3详解】 解：∵C是的中点， ∴． ∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴ 设为，则． 过F作于点H， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴. ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）． 所以，圆半径为9． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等（相似）三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市开元中学2024学年第二学期九年级期中教学质量检测 数学学科问卷 命题：九年级数学备课组 审核：九年级数学备课 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．） 1. 魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若元表示收入5元，则支出7元可记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 按照国家统计局的数据，2024年中国生产芯片在4300亿颗以上，数据4300亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（ ） A. B. C. D. 6. 与式子的值最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知，，则的长为(　　) A. B. 6 C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2﹣4x=__． 12. 一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随机摸出的一个球是黑球的概率为______． 13. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 如图，正五边形内接于，连接，则______． 15. 如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是______． 16. 如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题8分，第22、23小题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 20. 如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． （1）求的长； （2）求的值． 21. 已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 22. 如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形． 小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小明：小华，你的作法有问题． 小华：真的吗？让我们仔细想一想． （1）证明：小明所作的是等腰三角形； （2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例． 23. 在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”． 例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）求点的“纵横差”； （2）求函数的“纵横极差”； （3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值． 24. 如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结． （1）求的度数； （2）如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由； （3）如图3，连结交于点P，若，，求圆半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $