3.3中心对称（教学课件）　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

3.3中心对称 北师大版 (2012) 八年级下册 第三章 图形的平移与旋转 学习目标 掌握中心对称及其性质，会识别中心对称图形 会运用中心对称图形的性质解决实际问题 1 2 知识引入 请观察下图，图 (2) 经过怎样的运动变化就可以与图 (1) 重合？ O O 绕点 O 旋转 180° 图 (1) (2)就能重合，无论顺时针还是逆时针 知识探究 如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心 中心对称 △ABC 与△A′B′C′ 成中心对称 “两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”. 对称中心 知识探究 做一做 自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°. 连接旋转前后一组对应点，你会发现什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流. A B C C' A' B' O (1) 对应点到旋转中心的距离是否相等？ OA ＝ OA′、OB ＝ OB′、OC ＝ OC′. 知识探究 做一做 自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°. 连接旋转前后一组对应点，你会发现什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流. A B C C' A' B' O (2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角？ ∠AOA′ ＝ ∠BOB′ ＝ ∠COC′ ＝ 180°. 知识探究 做一做 自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°. 连接旋转前后一组对应点，你会发现什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流. A B C C' A' B' O (3) 旋转前、后的图形全等？ △ABC≌△A′B′C′. 知识探究 做一做 自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°. 连接旋转前后一组对应点，你会发现什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流. A B C C' A' B' O (4) 和一般旋转的区别是什么？ 线段 AA′、BB′、CC′ 相交于点 O，并且点 O 是中点. 知识探究 (1) 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. 中心对称的性质 (2) 成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行 (或在同一直线上) 且相等. (1) 两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点关于原点的对称点为. (2) 若点，关于点对称，则 ， ， 点 P 是线段的中点. 知识探究 例 如图，点 O 是线段 AE 的中点，以点 O 为对称中心，画出与五边形 ABCDE 成中心对称的图形. A B C D E O 解：如图，连接 BO 并延长至点 B′，使得 OB′＝OB. 连接 CO 并延长至点 C′，使得OC′＝OC. 连接 DO 并延长至点 D′，使得OD′＝OD. 顺次连接 E， B′，C′，D′，A. 图形 E B′ C′ D′A 就是以点 O 为对称中心， 与五边形 ABCDE 成中心对称的图形. B' C' D' 知识探究 注意 (1)中心对称是特殊的旋转，旋转角是180°； (3)中心对称只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部、内部或图形上，但对应点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合. (2)中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的位置关系； 那么如何找到对称中心呢？ 知识探究 如图，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 中心对称，找出它们的对称中心 O. 解法1：根据观察，B、B′ 应是对应点，连接 BB′，用刻度尺找出 BB′ 的中点 O，则点 O 即为所求（如图）. A B C A′ B′ C′ O 知识探究 如图，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 中心对称，找出它们的对称中心 O. 解法2：根据观察，B、B′ 及 C、C′ 应是两组对应点，连接 BB′、CC′，BB′、CC′ 相交于点 O，则点 O 即为所求（如图）. A B C A′ B′ C′ O 注意：如果限制只用直尺作图，我们用解法2. 知识探究 议一议 观察下图，这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？ 共同点： ①都绕一点旋转了180度； ②都与原图形完全重合. 知识探究 把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心. 中心对称图形 (1) 中心对称图形是指一个图形； (2) 中心对称图形只有一个对称中心； (3) 中心对称图形上所有的点关于对称中心对称的点都在这个图形上. (4) 经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成面积相等的两个部分 知识探究 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 (1) 是针对两个图形而言的. (2) 是指两个图形之间的对称关系 (3) 对应点在两个图形上 (4) 对称中心在两个图形的外部、内部或图形上 (1) 是针对一个图形而言的. (2) 是指具有某种性质的一个图形 (3) 对应点在一个图形上 (4) 对称中心在图形上或图形内部 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形； 若用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，则这两个图形成中心对称. 知识探究 旋转对称图形 观察下图中的等边三角形，点 O 是它的角平分线的交点，将这个三角形绕着点 O 旋转 120°，可以发现，旋转后的图形与旋转前的图形重合. 类似地，观察上图中的正六边形，点 O 也是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点 O 旋转60°，旋转后的图形也与旋转前的图形重合. 一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于360°)后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫做它的对称中心. 当 堂 检 测 当堂检测 C 当堂检测 D 当堂检测 C 当堂检测 －12 当堂检测 D 当堂检测 B 当堂检测 D 中心对称图形： 中心对称： 定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180º，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 作图：①作中心对称图形；②找出对称中心 定义：绕着某一点旋转 180° 能与本身重合的一个图形 性质：经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分 中心对称 感谢学生们的观看 1.在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 解析：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 故选C. 2.八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到.如图，则下列结论不成立的是( ) A.点A与点是对称点 B. C. D. 解析：和关于点O成中心对称， 点A与点是对称点，，故A，B成立； 与是对顶角，，故C成立； 的对应角是，，故D不成立； 故选D. 3.如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，.则AB的长可能是( ) A.3 B.4 C.7 D.11 解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称， ∴， 又∵∴，∴ ∵∴. 故选：C. 解析：∵点关于原点的对称点为， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：-12 4.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____. 5.如图，和关于点C成中心对称，若，，，则的长是( ) A.1 B. C.2 D. 解析：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， 故选：D. 6.如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为( ) A. B. C. D. 解析：∵线段AB和线段CD线关于P点对称，∴P为线段AC中点，也为线段BD中点. 根据中点公式得：，，， ∴，，C点坐标： 故选：B. 7.如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是( ) A.4 B. C. D. 解析：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴，∴. 故选：D. $$