专题10 导数中的极值点偏移和隐零点问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题10 导数中的极值点偏移和隐零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 极值点偏移问题】 4 【题型二 隐零点问题】 5 【压轴能力测评】 6 一、极值点偏移问题 1、极值点偏移定义 极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移 2、极值点偏移的原理 函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样 3、极值点偏移的图形定义 ①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则 ②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则 ③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则 4、极值点偏移的判断 根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察 5、答题模板（对称构造） 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 5、其他方法 ①比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． ②对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． ③指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 二、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 1、基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 2、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 3、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 4、针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 【题型一 极值点偏移问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 2．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 3．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 6．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【题型二 隐零点问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若，证明：当时，. 3．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 4．（2025·湖北武汉·二模）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 5．（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，试判断的零点个数并证明． 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数． (1)证明：； (2)判断函数的零点的个数，并说明理由． 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)证明：函数有两个零点． 2．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 3．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，，． (1)求的单调区间． (2)若的最大值为1，证明：对任意的，． (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 4．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 5．（2024·四川成都·三模）已知函数. (1)若，证明：； (2)若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围. 6．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)若，是方程的两个实数根，证明：． 7．（24-25高二下·内蒙古包头·阶段练习）设. (1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数存在两个极值点、，求证：. 8．（23-24高二上·全国·阶段练习）已知函数 (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围； (2)设 为函数g(x)的两个零点，证明： 9．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 导数中的极值点偏移和隐零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 极值点偏移问题】 4 【题型二 隐零点问题】 13 【压轴能力测评（9题）】 21 一、极值点偏移问题 1、极值点偏移定义 极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移 2、极值点偏移的原理 函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样 3、极值点偏移的图形定义 ①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则 ②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则 ③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则 4、极值点偏移的判断 根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察 5、答题模板（对称构造） 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 5、其他方法 ①比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． ②对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． ③指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 二、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 1、基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 2、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 3、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 4、针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 【题型一 极值点偏移问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 2．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 3．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析. 【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； （2）因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键. 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性； （2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范围，原不等式等价于，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出． 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为. 由得：， 当时，在上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为是方程的两不等实根，， 即是方程的两不等实根， 令，则，即是方程的两不等实根. 令，则，所以在上递增，在上递减，， 当时，；当时，且. 所以0，即0. 令，要证，只需证， 解法1（对称化构造）：令， 则， 令， 则， 所以在上递增，， 所以h，所以， 所以，所以， 即，所以. 解法2（对数均值不等式）：先证，令， 只需证，只需证， 令， 所以在上单调递减，所以. 因为，所以， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出． 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示，    所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明. 6．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据极小值的定义计算即可； （2）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可. 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称为的对数平均数. 【题型二 隐零点问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号确定区间单调性； （2）问题化为证明，构造并利用导函数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由的定义域为， ， 若，则，在内单调递增， 若，当时，在内单调递减， 当时，，在内单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由，得， 设，则， 设，则，则即在内单调递增， ∵，， ∴存在，使得，即，即，， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， ∴， ∵当，即时，，上式取不到等号， ∴时，. 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若，证明：当时，. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由函数的解析式求得其导数，由导数求得递减区间，由导数求得递增区间； （2）由题可知，进而可得，构造函数设，结合函数最值即可求解. （2）将不等式进行转化，在已知条件下，所以不等式转化为，设函数，求导数，由解析式可知递增，由函数零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到函数单调区间并得到函数最小值，证明函数最小值大于等于0即可得证. 【详解】（1）因为， 所以． 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由题可知， 由（1）可知，当时，函数有最小值， ∴，即， 设， 当单调递增；当单调递减； 所以当时，所以 故的取值范围集合为. （3）要证明， 即证明， 因为，且，所以， 故只需证明，即． 设，则． 知在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 故原命题成立． 3．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再分，两种情况分类得出函数单调性； （2）构造函数，再根据导函数得出函数单调性分和两种情况求解即可. 【详解】（1）的定义域是. 若，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减. 若，令，得或， 令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）即， 则对任意的恒成立. 设， 则， 令，则. 当时，，所以在上单调递增， 又，且， 若，则，必存在，当时，在上单调递减，此时，不符合题意. 若，则在上恒成立，在上单调递增，此时，符合题意. 即的取值范围是. 4．（2025·湖北武汉·二模）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意，解得； （2）因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 5．（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，试判断的零点个数并证明． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)两个零点，证明见解析 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先判断是的一个零点，利用分类讨论法，对进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数来确定正确答案. 【详解】（1）由题知，， 当时，． 令，得或（舍去）． 当时，，故的单调递减区间为． 当时，，故的单调递增区间为． （2）解法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，故单调递减． 当时，，故单调递增． 当时，，． ． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增， 所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和． 解法二：当时，，故2是的一个零点． 令，又，所以． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以． 下证． 令，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而， 所以当时，， 所以， 即． 令，则有，则． 易得当时，，所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点． 解法三：令， 当时，，故2是的一个零点． 当时，． 令， 易得在和上均单调递减． 因为（洛必达法则）， 所以当时，且单调递减， 故当时，在上有唯一解． 而当时，， 故当时，无解． 综上可知，当时，有两个零点. 【点睛】方法点睛： 求函数单调区间时，先求函数的导数，令导数为求出关键点，再根据导数在不同区间的正负确定函数的单调区间，这是解决函数单调性问题的基本方法. 判断函数零点个数，先找出一个已知零点，再通过求导确定函数的单调性和极值，然后构造函数证明相关不等式，进而判断在其他区间是否存在零点，这种方法综合运用了函数的导数性质和不等式证明. 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数． (1)证明：； (2)判断函数的零点的个数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)有2个不同的零点，理由见解析 【分析】（1）先构造函数，再应用导函数得出函数的单调性证明不等式； （2）先求导函数分,，,分四种情况讨论单调性得出零点个数即可. 【详解】（1）令， 则，         当时，， 所以当时，，所以在上单调递增，             所以当时，， 即． （2）由题意知，所以． ①当时，，所以， 即在上无零点．                       ②当时，， 所以 所以在上单调递增，所以， 即在上无零点．                     ③当时，令， 则，显然在上单调递增， 又，所以存在使得，           当时，单调递减，当时，单调递增． 又，所以存在，使得，          当时，单调递减，当时，单调递增， 又，所以在上有2个不同的零点．                ④当时，单调递增，所以， 即恒成立,函数无零点.                 综上，函数有2个不同的零点． 【点睛】方法点睛：分类讨论，分情况根据导函数的正负得出函数的单调性进而得出函数值的范围进而判断函数的零点. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)证明：函数有两个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用转化的思想将原问题转化为函数有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理即可证明. 【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为， 所以，解得； （2）由可得，所以． 函数有两个零点即函数有两个零点． ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 又，，0， 所以，． 由零点存在定理可得使得，使得， 所以函数有两个零点． 2．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增． 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是． 3．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，，． (1)求的单调区间． (2)若的最大值为1，证明：对任意的，． (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间； （2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明； （3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可. 【详解】（1）的定义域为，令得， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，， ，要证，即证， 即证，即证， 构造函数，则， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， ，即恒成之，当且仅当时等号成立. ，，使得， 恒成立，故对于任意的，. （3）当时，，若恒式立, 即恒式立，即，即恒成立， 由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则恒成立， 在单调递增， ，使得成立， ，， 所以． 4．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点． 【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明； （2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）证明，令， 则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减：在上单调递增， 从而在上，， 所以在上单调递增， 因此在上，，即； （2），， ，在上，， 所以，在上递增，，即函数在上无零点； ，记， 则，在上递增， 而， 故存在，使， 当时，递减，时，递增，， 而，， 在上无零点，在,上有唯一零点， 综上，当时，在上没有零点： 当时，在上有且仅有1个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．（2024·四川成都·三模）已知函数. (1)若，证明：； (2)若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对求导后构造函数，通过求导得出的单调性和范围得出函数的单调性，进而得出结论； （2）分类讨论参数与的关系，并通过构造函数和多次求导来探究函数的单调性，即可得出满足函数在内有唯一零点的实数的取值范围. 【详解】（1）由题意， 在中， 当时，不等式等价于， 则，令函数， 则， ， 所以函数在上单调递增，且， 在上恒成立， 即函数在上单调递增，且， 所以时，不等式成立； （2）由题意及（1）得， 在中， 当时，， 由（1）可知此时，所以此时函数没有零点，与已知矛盾， ，， 令函数， 所以， 令函数， ， ①若， 所以函数在上递增，且， ，使函数在上递减，在上递增， ②若时，显然， 所以函数在上递减，在上递增，且 ，使函数在上递减，在上递增， 又， ，且，使得， 综上得，当时，函数在内有唯一零点， ∴的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，多次求导，函数的单调性，函数的导数求零点，考查学生分析和处理问题的能力，计算的能力，求导的能力，具有很强的综合性. 6．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)若，是方程的两个实数根，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为， (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解； （2）根据已知条件构造，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出的范围，再构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解. 【详解】（1）由题可知的定义域为， . 令，则的两根分别为，． 当或时，； 当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，． （2）原方程可化为， 设，则，． 令，得．∵在上，，在上，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，且当，趋向于0时，趋向于， 当趋向于时，趋向于． 则在和上分别有一个零点， 不妨设，∵，∴， 设，则， ． 当时，， ∴在上单调递增，而， ∴当时，，，即． ∵， ∴． ∵在上单调递减， ∴，即． 【点睛】关键点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造方法及利用导数法研究函数的单调性即可. 7．（24-25高二下·内蒙古包头·阶段练习）设. (1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数存在两个极值点、，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （2）由题意①,②，再两式相减构造，证明恒成立即可． 【详解】（1）设，即，即； 所以在上单调递增； 当时，； 若即，则； 即在上恒成立，所以在上单调递增； 恒成立； 若即，则； 又，且在上单调递增； 存在唯一，使得； 所以在上恒成立，在上单调递减； 此时，这与条件矛盾，所以不成立； 所以； （2）因为函数存在两个极值点； 所以有两个实数根； 所以 将两式相减，得：； 即 要证：， 只需证：； 即证：， 设，因为，所以； 即证：； 设， 则 单调递减，所以； 故原命题成立. 8．（23-24高二上·全国·阶段练习）已知函数 (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围； (2)设 为函数g(x)的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分离参数，利用导数求解函数最值可得答案； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合零点所在区间及函数单调性可证结论. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以； 令，， 当，，为减函数； 当，，为增函数； 所以有最小值，所以，即a的取值范围为. （2）证明:令，此时； 不妨设，函数定义域为. ， 令，可得， 所以函数在上单调递增， 又，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 不妨设， 此时，； 因为， 所以 令，在上恒成立， 所以为增函数，，所以，即； 又因为在上单调递减，所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二个：一是恒成立问题，利用分类参数法求解，求解新函数的最值即可；二是函数零点问题，把两个变量转化到同一个单调区间内，结合单调性可得结论. 9．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1)最大值为0，最小值为. (2)证明见解析 【分析】（1）将带入原函数中求得函数的解析式，确定函数的定义域，再对原函数求导， 判断在区间上的单调性，即可求得函数在区间上的最值； （2）对原函数求导，并对参数，分类讨论，得出函数在两种情况下的单调性，由单调性求得函数有两个不同的零点时两根与参数的关系，再利用比值换元法即可证明. 【详解】（1）当时，， . 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为， ， 所以在区间上的最大值为0，最小值为. （2）. 当时，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去； 当时，所以， 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减. 所以当时，取得极大值，极大值为， 为满足题意，必有，得. 因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减得. 设，要证， 只需证，即证. 设，只需证， 设，则， 所以在上为增函数，从而， 所以成立，从而 【点睛】关键点睛：本题（2）关键在于构造函数，转化为求新函数的单调性，再由单调性求最值，即可证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$