高二数学月考卷（湘教版2019选择性必修第二册第一章到第三章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册第一章到第三章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为， 则. 故选：C. 2．已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 3．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，而正负不确定， 则函数的单调性不确定，当时，的大小关系不确定，AC错误； 令，由，得，函数为R上的单调递减， 由，得，即，B错误，D正确. 故选：D 4．若事件满足：，，，则（    ） A．与互斥但不对立 B．与相互对立 C．为必然事件 D．与相互独立 【答案】C 【详解】由，得．所以事件与不互斥．所以选项A，B错误． 又，所以．所以．所以选项C正确． 又因为，，所以，即事件与不独立．所以选项D错误． 故选：C． 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ， 当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以，即. 故选：B 6．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 7．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面的截距式方程方程为， ，设的法向量，则， 令，得，令点关于平面的对称点为， 则，解得，即， 连接交平面于点，则在内，且， 因此的周长， 当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为. 故选：D 8．函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（   ） 参考数据：；； A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过70分的约有45人 C． D．这次考试等级分在内的人数约为48人 【答案】AD 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因，即这次考试等级分超过70分的学生约占一半，故B错误； 对于C，因，故C错误； 对于D， 因， 故这次考试等级分在内的人数约为人，故D正确， 故选：AD 10．已知函数，则（     ） A．当时，有最大值 B．当时，可以取得最小值 C．当时，可以取得最小值2 D．当时，可以取得最小值3 【答案】ABD 【详解】当时，在上单调递增，此时有最大值，A项正确. ， 当时，若，则，故在上单调递减; 若，则，故在上单调递增. 令，得，满足条件，B项正确. 令，得，不满足条件，C项不正确. 当时，若，则，所以在上单调递减， 令，得，所以此时有最小值3，D项正确. 故选：ABD. 11．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离 【答案】ACD 【详解】选项A，因为，所以与，共面，即选项A正确； 选项B，连接， 因为，所以或其补角即为与的夹角， 因为，所以△是等边三角形，所以， 所以与夹角为，即选项B错误； 选项C，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则,,，， 所以,1,，,2,， 设平面的法向量为,,，则， 取，则，，所以,1,， 易知平面的一个法向量为,0,， 设平面与平面夹角为， 则,， 所以，即选项C正确； 选项D，由对称性知，， 由勾股定理知，， 设到直线的距离为， 因为， 所以，解得， 所以到直线的距离为，即选项D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递减，得，， 而函数在上单调递增，则恒成立，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13．为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ． 【答案】 【详解】设A：抽到一名学生是甲班的，B：抽到一名女生， 则，，， 所以由全概率公式可知，． 故答案为： 14．四面体ABCD中，面面，，，平面内的不同两点P、Q满足，，则 . 【答案】 【详解】已知，， 取中点为，因为，所以， 因为平面平面ABD，平面，平面平面ABD=AB， 所以平面ABC， 因为，所以， 如图建立空间直角坐标系. 已知，， 所以 , 设平面内的点P、Q的坐标为， , 满足，， ，， 同理,， 由于是不同两点，不妨设, 所以, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值; (2)当时，求的最大值. 【详解】（1）因为，则，………(2分) 由题意可得：，解得，………(6分) 当时，则，， 当或时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. ………(10分) （2）因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 且，即， 所以当时，求的最大值为. ………(13分) 16．（15分）某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、． (1)求的均值和方差； (2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差． 【详解】（1）由题意，得，解得． 所以的分布列如下： 所以， ；………(7分) （2）设此销售员3月份出差一次油费补贴为元， 则， 所以， ． 故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为元，方差为．………(13分) 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.    (1)若，证明：平面平面； (2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值. 【详解】（1）证明：平面，平面，， 又，而，平面，平面，………(2分) 平面，， ，为的中点，， 而，且平面，平面， 平面， 平面平面. ………(6分) （2）由底面为正方形及底面，，AD，AP两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系    不妨设，则，，，，，，………(9分) 设， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则，，得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则得，………(13分) 因为平面与平面的夹角为， 所以， 解得，所以. ………(15分) 18．（17分）已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了100个橙子（直径位于70mm至100mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品.此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值.现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率（保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)在样本中，从直径在区间，，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取7个橙子进行检测，再从中抽取3个橙子作进一步检测.记这3个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【详解】（1）由题意，估计该批次的橙子中随机抽取100个的直径的平均数为： ， ………(2分) 则，，所以直径，………(4分) 则， 所以从该批次的橙子中任取一个，该橙子为特级品的概率约为0.16. ………(7分) （2）由题意知直径在区间，，上的频率之比为， 所以这7个橙子中抽取的直径在区间，，上的橙子个数分别为4，2，1. ………(9分) 由题意知的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. ………(17分) 19．（17分）设，定义为的“函数”. (1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； (2)设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【详解】（1）由题意，得，则，所以切点为， ………(2分) 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. ………(4分) （2）（ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则，………(6分) 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； ………(8分) 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. ………(10分) （ⅱ）由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. ………(13分) 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. ………(17分) 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D C B D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，则，………(2分) 由题意可得：，解得，………(6分) 当时，则，， 当或时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. ………(10分) （2）因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 且，即， 所以当时，求的最大值为. ………(13分) 16．（15分） 【详解】（1）由题意，得，解得． 所以的分布列如下： 所以， ；………(7分) （2）设此销售员3月份出差一次油费补贴为元， 则， 所以， ． 故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为元，方差为．………(15分) 17．（15分） 【详解】（1）证明：平面，平面，， 又，而，平面，平面，………(2分) 平面，， ，为的中点，， 而，且平面，平面， 平面， 平面平面. ………(6分) （2）由底面为正方形及底面，，AD，AP两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系    不妨设，则，，，，，，………(9分) 设， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则，，得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则得，………(13分) 因为平面与平面的夹角为， 所以， 解得，所以. ………(15分) 18．（17分） 【详解】（1）由题意，估计该批次的橙子中随机抽取100个的直径的平均数为： ， ………(2分) 则，，所以直径，………(4分) 则， 所以从该批次的橙子中任取一个，该橙子为特级品的概率约为0.16. ………(7分) （2）由题意知直径在区间，，上的频率之比为， 所以这7个橙子中抽取的直径在区间，，上的橙子个数分别为4，2，1. ………(9分) 由题意知的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. ………(17分) 19．（17分） 【详解】（1）由题意，得，则，所以切点为， ………(2分) 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. ………(4分) （2）（ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则，………(6分) 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； ………(8分) 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. ………(10分) （ⅱ）由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. ………(13分) 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. ………(17分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册第一章到第三章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 2．已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 3．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若事件满足：，，，则（    ） A．与互斥但不对立 B．与相互对立 C．为必然事件 D．与相互独立 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 7．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 8．函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（   ） 参考数据：；； A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过70分的约有45人 C． D．这次考试等级分在内的人数约为48人 10．已知函数，则（     ） A．当时，有最大值 B．当时，可以取得最小值 C．当时，可以取得最小值2 D．当时，可以取得最小值3 11．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 13．为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ． 14．四面体ABCD中，面面，，，平面内的不同两点P、Q满足，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值; (2)当时，求的最大值. 16．（15分）某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、． (1)求的均值和方差； (2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.    (1)若，证明：平面平面； (2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值. 18．（17分）已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了100个橙子（直径位于70mm至100mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品.此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值.现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率（保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)在样本中，从直径在区间，，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取7个橙子进行检测，再从中抽取3个橙子作进一步检测.记这3个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19．（17分）设，定义为的“函数”. (1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； (2)设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册第一章到第三章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 2．已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 3．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若事件满足：，，，则（    ） A．与互斥但不对立 B．与相互对立 C．为必然事件 D．与相互独立 5．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 7．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 8．函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（   ） 参考数据：；； A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过70分的约有45人 C． D．这次考试等级分在内的人数约为48人 10．已知函数，则（     ） A．当时，有最大值 B．当时，可以取得最小值 C．当时，可以取得最小值2 D．当时，可以取得最小值3 11．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 13．为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ． 14．四面体ABCD中，面面，，，平面内的不同两点P、Q满足，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值; (2)当时，求的最大值. 16．（15分）某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、． (1)求的均值和方差； (2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.    (1)若，证明：平面平面； (2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值. 18．（17分）已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了100个橙子（直径位于70mm至100mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品.此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值.现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率（保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)在样本中，从直径在区间，，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取7个橙子进行检测，再从中抽取3个橙子作进一步检测.记这3个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19．（17分）设，定义为的“函数”. (1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； (2)设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$