17.1　勾股定理（第1课时）课件 2021——2022学年人教版八年级数学下册

勾股定理 目录 一、勾股定理的由来 二、勾股定理的证明 三、勾股定理的应用 一、勾股定理的由来 勾股定理的由来 勾股定理 是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 勾股定理的由来 勾三股四弦五这种关系最早是在大禹治水时发现的。 “大禹治水的过程中，左手拿着测量用的准绳，右手拿着圆规和尺子，看高山大河的形状，以此判断地势哪里高，哪里低，最终发现了勾股定理。” 勾股定理的由来 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。据《周髀算经》记载: 夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出？ “古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？” 勾股定理的由来 数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。据《周髀算经》记载: “数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方叉从矩来。矩是根据爽、除计算出来的。” 这里的“矩”原是指包含直角的作图工具。这说明了“勾股测量术”，并用3：4：5举例分析完成证明。 勾股定理的由来 三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。 赵爽弦图 勾股定理的由来 勾股定理在西方称毕达哥拉斯定理。 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系。 他拿画笔蹲在地板上，选一块瓷砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和。 至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。 勾股定理的由来 据说当年，因为庆祝毕达哥拉斯发现了勾股定理，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛来庆祝这个成果的诞生。因此历史上又称这个定理为百牛定理。 毕达哥拉斯树 勾股定理的由来 尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”、法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚。 我国是最早发现勾股定理的国家！ 二、勾股定理的证明 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，但是把这些方法总结一下，可分为以下几类：算法化证明、演绎性证明、代数计算证明。   第一，算法化证明，以古代中国证明方法为代表。赵爽、刘徽的证明都体现了算法化，在思想方法上主要应用的是“出入相补原理”，即把图形作适当的分割然后进行移补凑合而使问题得到解决的数学方法，这是我国古代几何学中最为根本的思想方法。 勾股定理的证明   第二，演绎性证明，古希腊的证明方法是其代表。这种证明方式从已知的定理或公理出发，通过逻辑推理得到勾股定理的结论。例如，可以利用欧几里得几何中的平行线、全等三角形等性质来证明勾股定理，图形的面积被看作是一种几何的量而不是一种表述多少的数，只探究图形面积之间的大小关系。 第三，代数计算证明，也可以说是中西古代数学思想方法的结合。这种方法中运用“出入相补原理”，又体现了演绎推理。如“总统证法”， 以及利用相似三角形的性质、利用圆的性质的证法等等。 勾股定理的证明 赵爽弦图 从周公向商高请教数学知识的对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得： 勾的平方+股的平方=弦的平方 亦即： a2+ b2= c2 勾股定理的证明 赵爽弦图 那么最早对勾股定理进行证明的三国时期吴国的数学家赵爽是如何证明的呢？ 勾股定理的证明 赵爽弦图 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。 在这幅“勾股圆方图”中，以直角边a、b为边长， 得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上 中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面 积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：4×(ab/2)+(b-a)2=c2 化简后便可得：a2+b2=c2 勾股定理的证明 赵爽弦图 赵爽对勾股定理的证明独出机杼，充满创造性思维。他别出心裁地运用几何图形的截割、拼补等方式，巧妙地构建起与代数式之间的恒等关系，这种证明方法兼具逻辑严密性与直观可视性，堪称典范。此证明不仅开创了中国古代 “以形证数” 的先河，更将代数与几何紧密融合，形成形数统一、相互依存的独特学术风格，为后世数学发展树立了标杆。此后，众多数学家纷纷传承这一风格，并在此基础上不断开拓创新，推动中国古代数学持续向前发展 。 勾股定理的证明 欧几里得证法 约公元前300年，希腊数学家欧几里得给出了西方现存最早的勾股定理证明。在其著作《几何原本》第一篇第47个命题中，对该定理作出阐述：直角三角形中，直角所对应的边为边长构成的正方形面积，等于两条直角边分别作为边长所构成的两个正方形面积之和。 M 欧几里得证法 该证法的要点是证明: , 证：设三角形ABC是直角三角形，且∠BAC是直角，正方形ABFG、ACKH与BDEC分别是直角三角形ABC三边上的正方形，过A作AL平行与BD，连接AD，CF。 因为BD＝BC,FB＝BA,且∠DBA＝∠FBC,所以DBA≌FBC。 M 勾股定理的证明 因为平行四边形MLDB与三角形ABD有相同的底BD且在BD,AL之间， 所以=BD=2 因为平行四边形ABFG与三角形FB有相同的底FB且在FB,GA之间， 所以=B=2, 所以， 同理可证， 所以 + ， 欧几里得证法 M 勾股定理的证明 欧几里得的证明是建立在人们已经认识并认同的定理概念之上进行的。他的证明主要是构造了一个图形，借助已然成立的定理及公理，利用图形面积的等量关系进而证明了勾股定理，展示了数学美和对数学理性的追求，标志着人们对客观事物的认识从经验层面上升到理论层面。 欧几里得证法 M 勾股定理的证明 总统证法 1876年，时任美国众议院议员的伽菲尔德（J.A. Garfield，1831 - 1881）独辟蹊径，发现了一种精妙的勾股定理证明方法。对于任意一个直角边为a、b，斜边为c的直角三角形，取两个完全相同的该直角三角形，按特定方式拼接排列，构成一个直角梯形。在这个独特的几何构造下，直角梯形的面积S存在两种不同的计算思路与方式 ，而通过对比这两种计算结果，便能巧妙地推导出勾股定理。 勾股定理的证明 一种是梯形面积公式，一种是3个直角三角形面积之和，这两种算法算出的面积是相等的，即 由此可推出 总统证法 勾股定理的证明 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德当选为美国第20任总统，可惜仅就职4个月遭遇枪击，于当年9月去世。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 总统证法 三、勾股定理的应用 勾股定理的应用 数学领域的基石​ 在数学学科内部，勾股定理是众多几何证明和计算的基础。在平面几何中，当已知直角三角形的任意两边长度时，可利用勾股定理轻松求出第三边长度 。例如，在一个直角三角形中，若一条直角边为 3 厘米，另一条直角边为 4 厘米，根据勾股定理​+=，即​9+16=25=，可得出斜边​c为 5 厘米。在立体几何中，勾股定理同样大显身手，用于计算空间中线段的长度，如长方体的体对角线长度，就需要多次运用勾股定理来求解。此外，在三角函数中，勾股定理是推导三角函数关系的重要依据，为研究角度与边长的关系奠定了基础。 勾股定理的应用 工程建筑的得力助手​ 在工程建筑领域，勾股定理是保证工程质量和施工安全的重要工具。建筑工人在搭建直角结构时，常常利用勾股定理来检验直角是否标准。比如，要构建一个直角墙角，工人可以先确定两条边的长度分别为 3 米和 4 米，然后测量斜边长度是否为 5 米，如果是，则说明墙角是标准的直角。在桥梁设计与建造中，勾股定理用于计算桥梁各部分的尺寸和角度，确保桥梁结构的稳定性和承载能力。在水利工程中，勾股定理可帮助确定堤坝的坡度和高度，保证堤坝能够抵御水流的冲击，保障水利设施的安全运行。 勾股定理的应用 日常生活中的实用工具 ​ 在日常生活中，勾股定理也能为我们解决许多实际问题。在装修房屋时，若要确定天花板上吊灯的安装位置，使其到房间各个墙面的距离合适，就可以运用勾股定理进行计算。在测量较长距离或无法直接测量的高度时，勾股定理同样发挥作用。例如，测量河对岸两点之间的距离，可在河这边构建直角三角形，通过测量直角边的长度，利用勾股定理计算出斜边长度，即河对岸两点间的距离。在裁剪布料制作直角形状的物品时，也需要借助勾股定理来确定裁剪尺寸，确保制作出的物品符合要求。 勾股定理的应用 其他领域的广泛应用 ​ 勾股定理在航海、航空等领域也有着重要应用。航海时，船只的定位和航行路线规划需要利用勾股定理计算不同位置之间的距离和方向。在航空领域，飞机的飞行高度、水平距离和实际飞行路径之间的关系也可通过勾股定理进行分析和计算，帮助飞行员准确掌握飞行状态，确保飞行安全。在计算机图形学中，勾股定理用于计算图形中两点之间的距离，为图形的绘制、变换和渲染提供支持，使计算机能够生成逼真的图像和动画效果。​ 勾股定理以其简洁而强大的数学关系，广泛应用于各个领域，从解决复杂的科学问题到处理日常琐事，都展现出了巨大的价值和魅力。随着科技的不断发展，勾股定理必将在更多新的领域发挥重要作用，持续为人类的生产生活提供有力支持。 勾股定理的应用 例题讲解 勾股定理的应用 例题讲解 勾股定理的应用 例题讲解 $$