第14讲 认识分式（9个知识清单+16类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第14讲 认识分式 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01分式的判断.........................................................................................................................................................................4 题型02分式的规律性问题.............................................................................................................................................................6 题型03按要求构造分式.................................................................................................................................................................9 题型04分式有意义的条件............................................................................................................................................................10 题型05分式无意义的条件...........................................................................................................................................................13 题型06分式值为零的条件...........................................................................................................................................................15 题型07分式的求值.......................................................................................................................................................................17 题型08求分式值为正（负）数时未知数的取值范围................................................................................................................19 题型09求使分式值为整数时未知数的整数值............................................................................................................................21 题型10判断分式变形是否正确...................................................................................................................................................24 题型11求使分式变形成立的条件................................................................................................................................................27 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化.......................................................................................................................29 题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数.......................................................................................................................31 题型14将分式的分子分母各项系数化为整数............................................................................................................................33 题型15最简分式...........................................................................................................................................................................35 题型16约分...................................................................................................................................................................................37 分层练习........................................................................................................................................................................................41 夯实基础........................................................................................................................................................................................41 能力提升........................................................................................................................................................................................52 知识点1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 知识点3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 知识点5．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点6．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 知识点7．最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 知识点8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点9．列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型01分式的判断 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的判断 【分析】此题还考查了分式的应用，解答此类问题的关键是要明确：工作量工作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率．首先根据工作效率工作量工作时间，分别用两队挖的水渠的长度除以用的时间，求出甲乙两队每天挖多少米；然后根据工作时间工作量工作效率，用两队合挖水渠的长度除以甲乙两队的工作效率之和，求出需要的天数为多少即可． 【详解】解： （天 两队合挖米水渠，需要的天数为天． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 【答案】 【知识点】整式的判断、分式的判断 【分析】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键． 根据整式和分式的定义即可解答，形如，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式． 【详解】解：整式有； 分式有； 故答案为：；． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 【答案】整式：．分式： 【知识点】整式的判断、分式的判断 【分析】本题考查整式和分式，根据形如，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，整式有：； 分式有：． 题型02分式的规律性问题 4．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 5．（22-23八年级下·云南文山·期末）观察分式：，，，……，以此类推，第6项是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的符号、分子以及分母变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．根据分式式的符号、分母以及分子的变化得出一般性规律得出第6个分式即可． 【详解】解：观察分式：，，，，……， 第一个分式：； 第二个分式：； 第三个分式：； 第四个分式：； ……； 第n个分式：； 故第6个分式是． 故答案为：． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 题型03按要求构造分式 7．（22-23八年级下·山西长治·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式、按要求构造分式 【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可． 【详解】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）小明走了的路，则小明的速度是 km/h； （2）某食堂有大米，原计划每天用米，现提倡“光盘行动”，每天节约用米，则这批大米可比原计划多用 天． 【答案】 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意列出代数式是解本题的关键． （1）用路程÷时间即可表示出小明的速度； （2）用大米总量÷每天的用量即可表示出可用的天数． 【详解】解：小明走了的路，则小明的速度是km/h； 某食堂有大米，原计划每天用米，现提倡“光盘行动”，每天节约用米，则这批大米可比原计划多用天， 故答案为：；． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）试编写一个可以用分式表示的实际问题． 【答案】见解析（答案不唯一） 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查分式的实际意义，根据题意，列出一个实际问题即可． 【详解】解：一项工程，甲单独完成需要天，求甲单独工作天所作的工程量是多少． 由题意可知：甲单独工作天所作的工程量为． 题型04分式有意义的条件 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）要使分式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义， 故选：B． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分式的值为零的计算，理解以上知识，正确列式求解是关键． 分式有意义是指分式的分母不为零，分式的值为零是指分式的分子为零，分母不为零，由此列式求解即可． 【详解】解：分式有意义，则， 解得，， 分式的值为零，则，且， 解得，， 故答案为：①；②． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)x取任何实数 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． （1）根据分式的分母不等于零解答； （2）根据分式的分母不等于零解答； （3）根据分式的分母不等于零解答； （4）根据分式的分母不等于零解答； （5）根据分式的分母不等于零解答． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：由题意得：， 解得：； （4）解：由题意得：， 解得：； （5）， 取任何实数． 题型05分式无意义的条件 13．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）下面选项的值使分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题关键．若分式无意义，则有分母为0，据此即可获得答案． 【详解】解：若分式无意义，则有， 解得， ∴能使分式 无意义的是． 故选：A． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x分别取何值时，下列分式无意义、值为0？ (1)； (2)． 【答案】(1)无意义时，值为0时 (2)无意义时，值为0时 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0和分式无意义的条件，熟知分式值为0和分式无意义的条件是解题的关键． （1）分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可； （2）分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵分式无意义， ∴； ∵分式的值为0， ∴且， ∴； （2）解：∵分式无意义， ∴ ∴； ∵分式的值为0， ∴且， ∴． 题型06分式值为零的条件 16．（24-25八年级下·全国·期中）若分式的值为零，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题的关键是明确分式值为零需分子为零且分母不为零． 先根据分子为零求出的值，再根据分母不为零对求出的值进行筛选． 【详解】要使分式的值为零，则分子，且分母， 由，解得或， 又因为分母，即， 所以． 故选：D． 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，并回答问题． 实数满足什么条件时，分式的值为0？ 解：且，即时分式的值为0． 仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？ 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0时，分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 根据分式的值为0时，分子为0，而分母不为0列不等式求解． 【详解】解：由题意可得且， 即时，分式的值为0． 题型07分式的求值 19．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键．将分式变形为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值等于 ． 【答案】4 【知识点】分式的求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式， 首先将变形为，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把字母的值代入计算即可求出值． （2）把字母的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 题型08求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 22．（2024八年级·全国·竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得：或. 故选：C． 23．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）若的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】分式有意义的条件是，再根据分式的值为负数，且，可得，最后求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值，属于基础题型，注意分式有意义的条件是分母不能为0． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 题型09求使分式值为整数时未知数的整数值 25．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 26．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得是整数，则可得到是2的因数，即或，据此求解即可． 【详解】解；∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或． 题型10判断分式变形是否正确 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列分式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，直接利用分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，与分式的值不相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，与分式的值相等，故此选项符合题意； D．，与分式的值不相等，故此选项不符合题意； 故选：C． 29．（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列各题的横线上填“”或“”： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (2)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 (3)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (4)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质， （1）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （2）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （3）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （4）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； 正确观察分式的分子与分母变化是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （2）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边； （3）∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （4）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边． 题型11求使分式变形成立的条件 31．（22-23八年级下·河南南阳·期中）当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写： 【答案】 / 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：，． 33．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果把分式中的x与y的值都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大4倍 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n． 解答此题时，可将分式中的x，y用代替，然后计算即可得出结论． 【详解】解：依题意得：， ∴把分式中的与都扩大2倍，那么分式的值不变， 故选：A． 35．（24-25八年级下·全国·单元测试）若把分式中的字母x和y同时扩大3倍，则分式的值将 ． 【答案】变为原来的三分之一 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同乘以相同的倍数，分式的值不变．根据分式的基本性质，分子分母同乘以相同的倍数，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：中的字母和同时增加3倍， ， 所以分式的值将变为原来的三分之一． 故答案为：变为原来的三分之一． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）直接将两个负号消掉即可； （2）将分子的负号移到分数线前面即可； （3）直接将两个负号消掉即可； （4）将分子和分母中的负号消掉即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数 37．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 38．（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型14将分式的分子分母各项系数化为整数 40．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件、判断分式变形是否正确、将分式的分子分母各项系数化为整数、最简分式 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 41．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）分子与分母同乘以10即可得； （2）分子与分母同乘以12即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型15最简分式 43．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 44．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式化成最简分式为 ． 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 45．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】最简分式、约分、因式分解的应用 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型16约分 46．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则a是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．任意实数 【答案】B 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简，分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时，，故不符合题意； 当时，，故符合题意． 故选B． 47．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空 （1），括号内应填入 ； （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ； （4），括号内应填入 ． 【答案】 2 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的性质． （1）观察分子的变化情况，分母作同样的运算，即可作答； （2）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答； （3）观察分子的变化情况，分母作同样的运算，即可作答； （4）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 48．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）先提取公因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 夯实基础 一、单选题 1．函数y＝－中自变量的取值范围是(　　) A．全体实数 B．x≠0 C．x＜0 D．x≥0 【答案】B 【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，x≠0， 故选：B 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 3．若分式的值为0，则的值是（  ） A．0 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为零的条件，掌握分子等于零且分母不等于零是解题的关键．根据分式值为零的条件可得：，且，解答即可． 【详解】解：分式的值为0 ，且 时，原分式值为0 故选：B． 4．函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞2 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【分析】本题考查代数式有意义的条件：（1）分母不为0；（2）二次被开方数大于等于0. 据此列出不等式组再求解即可. 【详解】运用分析中的两个条件，可列不等式组： ，解得：x≥1且x≠2. 故选：C. 【点睛】明确分析中两个条件的依据，是掌握代数式有意义的条件的关键. 5．分式的值为0，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程．熟练掌握分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程，是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，且， ∴， 故选：A． 6．下列各式中，分式的个数是（　　） ，，，，，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式. 【详解】,的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式; 的分子不是整式,因此不是分式. ,,的分母中含有字母,因此是分式. 故选B. 【点睛】本题考查了分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.注意π不是字母,是常数,所以不是分式,是整式. 7．在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0，同时分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得，． 故选：C 8．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 二、填空题 9．当 时，分式的值为零． 【答案】5 【详解】解：由题意得：x﹣5=0且2x+3≠0，解得：x=5，故答案为5． 10．如果代数式有意义，则x满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分别分析得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴x满足条件是：x≥0，且x-2≠0， 解得：x≥0且x≠2． 故答案为：x≥0且x≠2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 11．使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，直接利用二次根式被开方数非负、分式分母不为0分析得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得， 故答案为：． 12．已知，则= ． 【答案】22 【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=5，5m=m2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m2﹣5m+1=0， ∴m﹣5+=0，5m=m2+1， ∴m+=5， ∴2m2﹣5m+ =2m2﹣m2﹣1+ =m2+﹣1 =（m+）2﹣3 =52﹣3 =25﹣3 =22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解． 13．若代数式有意义，则x的取值范围是 . 【答案】x≠2且x≠±1且x≠-4 【分析】根据分式的分母不为0且除式不为0，确定出x的范围即可． 【详解】要使代数式有意义，须有x-2≠0，≠0，x+4≠0， 则x的范围是x≠2，x≠±1，x≠-4． 故答案为x≠2，x≠±1，x≠-4 【点睛】此题考查了分式的乘除法，以及分式有意义的条件，弄清分式有意义的条件是解本题的关键． 14．把单价为每千克m元的茶叶p千克与单价为每千克n元的茶叶q千克混合起来卖出，要使卖出的钱数不变，则混合后茶叶的定价为 元/千克． 【答案】 【分析】把两种茶叶的总钱数加起来，再除以茶叶的总重量即可． 【详解】两种茶叶的总钱数为：mp+nq； 两种茶叶的总重量为：p+q． 则混合后茶叶的定价为． 【点睛】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 用字母表示数时，要注意写法： ①在代数式中出现的乘号，通常简写做“•”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号； ②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写； ③数字通常写在字母的前面； ④带分数的要写成假分数的形式． 三、解答题 15．分式的值为零时，实数a，b应满足什么条件？ 【答案】，且 【分析】根据分式的值为零可以得到且，求解即可． 【详解】解：由题意得 ∴且 解得：且 ∴实数a、b应满足，且 【点睛】此题考查了分式值为零的条件，解题的关键是根据分式值为零得到分子为零，分母不为零． 16．化简下列分式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）（2）直接利用分式的性质分别约分即可得出答案； （3）分子分母分别因式分解，再约分即可得出答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，正确化简分式是解题关键． 17．不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （1）分式的分子与分母中各项的系数是小数，分子、分母同乘10； （2）分式的分子与分母中各项系数是分数，分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数30． 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．已知当x＝5时，分式的值为0，求k的值. 【答案】k＝－10 【分析】根据分式的值为零，分子等于0，分母不等于0，把x的值代入计算即可得解． 【详解】解：∵x=5时，分式的值为零， ∴10+k=0， 解得k=-10， 此时3x-2=3×（-10）-2=-32≠0， 所以，k=-10． 故答案为-10． 【点睛】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可，注意要把x的值代入分母验证分母不等于0． 19．先约分，再求值：  其中． 【答案】 【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式= = = 当时 原式==． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型． 20．写出下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)全体实数； (2)； (3)； (4)且． 【分析】（）根据为整式时自变量取值范围是全体实数； （）根据含有分式时，分母不能为零即可； （）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零即可， （）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零，零指数幂底数不能为零即可； 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分式和零指数幂有意义的条件是解题的关键． 【详解】（1）根据题意可得，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意，得， 解得； （3）由题意，得， 解得； （4）由题意，得， 解得且． 能力提升 一、单选题 21．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 22．分式有意义，则需满足条件（  ） A．，为任意值 B．为任意值， C．或 D．且 【答案】C 【分析】由题干已知，解答本题只需根据分式的概念进行解答即可，要使分式有意义，即分式的分母不为0． 【详解】解：x2+y2≠0 即或 故选:C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是理解分式有意义的需要满足的条件． 二、填空题 23．当 时，分式的值为零． 【答案】-1 【详解】根据分式的值为0，则分子为0且分母不等于0，即可求解. 解：由题意可知：， 解得. 故答案为－1. 24．当 时，分式有意义；当的值为 时，分式的值为1． 【答案】 -2 【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x取值范围即可；根据分式的值为1的条件列出关于x的方程，求出x的值即可； 【详解】解：∵分式有意义， ∴x+5 0， ∴x； ∵分式的值为1， ∴x+5=3, ∴x=-2, 故答案是：；-2． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 三、解答题 25．已知当时，分式无意义：当时，分式的值为零求的值． 【答案】6 【分析】根据题意可得关于a、b的方程，解方程可得a、b的值，继而可求得a+b的值. 【详解】当时，分式无意义， ，解得， 时，分式的值为零， ，则， ， 即的值是6． 【点睛】本题考查了分式无意义、分式值为0的条件，注意要从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 26．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； （2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； 【详解】（1）解：依题意，得， 则有①或②， 解不等式组①得：不等式无解； 解不等式组②得：， 不等式的解集是：， 当时，分式的值为负； （2）解：， ， 依题意得， ， 则有①，或②， 解不等式组①得且， 解不等式组②得不等式组无解， 故且， 所以当且时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 认识分式 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01分式的判断.........................................................................................................................................................................4 题型02分式的规律性问题.............................................................................................................................................................6 题型03按要求构造分式.................................................................................................................................................................9 题型04分式有意义的条件............................................................................................................................................................10 题型05分式无意义的条件...........................................................................................................................................................13 题型06分式值为零的条件...........................................................................................................................................................15 题型07分式的求值.......................................................................................................................................................................17 题型08求分式值为正（负）数时未知数的取值范围................................................................................................................19 题型09求使分式值为整数时未知数的整数值............................................................................................................................21 题型10判断分式变形是否正确...................................................................................................................................................24 题型11求使分式变形成立的条件................................................................................................................................................27 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化.......................................................................................................................29 题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数.......................................................................................................................31 题型14将分式的分子分母各项系数化为整数............................................................................................................................33 题型15最简分式...........................................................................................................................................................................35 题型16约分...................................................................................................................................................................................37 分层练习........................................................................................................................................................................................41 夯实基础........................................................................................................................................................................................41 能力提升........................................................................................................................................................................................52 知识点1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 知识点3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 知识点5．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点6．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 知识点7．最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 知识点8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点9．列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型01分式的判断 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 题型02分式的规律性问题 4．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·云南文山·期末）观察分式：，，，……，以此类推，第6项是 ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 题型03按要求构造分式 7．（22-23八年级下·山西长治·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）小明走了的路，则小明的速度是 km/h； （2）某食堂有大米，原计划每天用米，现提倡“光盘行动”，每天节约用米，则这批大米可比原计划多用 天． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）试编写一个可以用分式表示的实际问题． 题型04分式有意义的条件 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）要使分式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型05分式无意义的条件 13．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）下面选项的值使分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x分别取何值时，下列分式无意义、值为0？ (1)； (2)． 题型06分式值为零的条件 16．（24-25八年级下·全国·期中）若分式的值为零，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式的值为0，则x的值是 ． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，并回答问题． 实数满足什么条件时，分式的值为0？ 解：且，即时分式的值为0． 仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？ 题型07分式的求值 19．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值等于 ． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 题型08求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 22．（2024八年级·全国·竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 23．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）若的值为负数，则x的取值范围是 ． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值是正数，求x的取值范围． 题型09求使分式值为整数时未知数的整数值 25．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 题型10判断分式变形是否正确 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列分式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列各题的横线上填“”或“”： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11求使分式变形成立的条件 31．（22-23八年级下·河南南阳·期中）当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写： 33．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果把分式中的x与y的值都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大4倍 35．（24-25八年级下·全国·单元测试）若把分式中的字母x和y同时扩大3倍，则分式的值将 ． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数 37．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 题型14将分式的分子分母各项系数化为整数 40．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 41．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型15最简分式 43．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 44．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式化成最简分式为 ． 45．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式： (1)； (2)． 题型16约分 46．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则a是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．任意实数 47．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空 （1），括号内应填入 ； （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ； （4），括号内应填入 ． 48．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 夯实基础 一、单选题 1．函数y＝－中自变量的取值范围是(　　) A．全体实数 B．x≠0 C．x＜0 D．x≥0 2．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．若分式的值为0，则的值是（  ） A．0 B．6 C． D． 4．函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞2 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 5．分式的值为0，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 6．下列各式中，分式的个数是（　　） ，，，，，． A．2 B．3 C．4 D．5 7．在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．当 时，分式的值为零． 10．如果代数式有意义，则x满足的条件是 ． 11．使式子有意义的的取值范围是 ． 12．已知，则= ． 13．若代数式有意义，则x的取值范围是 . 14．把单价为每千克m元的茶叶p千克与单价为每千克n元的茶叶q千克混合起来卖出，要使卖出的钱数不变，则混合后茶叶的定价为 元/千克． 三、解答题 15．分式的值为零时，实数a，b应满足什么条件？ 16．化简下列分式： （1）； （2）； （3）． 17．不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 18．已知当x＝5时，分式的值为0，求k的值. 19．先约分，再求值：  其中． 20．写出下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 能力提升 一、单选题 21．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 22．分式有意义，则需满足条件（  ） A．，为任意值 B．为任意值， C．或 D．且 二、填空题 23．当 时，分式的值为零． 24．当 时，分式有意义；当的值为 时，分式的值为1． 三、解答题 25．已知当时，分式无意义：当时，分式的值为零求的值． 26．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$