第14讲 二次根式（3个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第14讲 二次根式 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01求二次根式的值................................................................................................................................................................3 题型02求二次根式中的参数........................................................................................................................................................5 题型03二次根式有意义的条件....................................................................................................................................................7 题型04利用二次根式的性质化简..............................................................................................................................................10 题型05复合二次根式的化简......................................................................................................................................................12 分层练习........................................................................................................................................................................................15 夯实基础........................................................................................................................................................................................15 能力提升........................................................................................................................................................................................28 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型01求二次根式的值 1．（八年级·江苏连云港·期末）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据一个正数的算术平方根和平方根的性质可判断A、B；根据=∣a∣可判断C；根据立方根的定义可判断D． 【详解】解：=2，故A错误； ± =±3，故B错误； =|﹣3|=3，故C错误； =﹣3，故D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根和算术平方根的性质，熟记性质是解题的关键． 2．代数式的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·期中）若求的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求二次根式的值 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 题型02求二次根式中的参数 4．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 【答案】81 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求二次根式中的参数 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 题型03二次根式有意义的条件 7．（2022·江苏徐州·中考真题）要使得代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）要使代数式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据题意可知，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 9．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）知识回顾 我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论： ．二次根式在实数范围内有意义的条件是． ．二次根式的性质：①；②． 类比推广 根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题． (1)根式在实数范围内有意义的条件是 ， 根式在实数范围内有意义的条件是 ； (2)写出次根式（，是整数）在实数范围内有意义的条件和性质． 【答案】(1)；为任意实数； (2)见解析 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索、二次根式有意义的条件 【分析】（1）根据二次根式的相关知识，再结合乘方的性质即可得到答案； （2）分析（1）的结论，再根据二次根式的相关知识，即可得到答案． 【详解】（1）解：为偶数， 根式在实数范围内有意义的条件是； 为奇数， 根式在实数范围内有意义的条件是为任意实数， 故答案为：；为任意实数； （2）解：（，是整数）有意义的条件： 当为偶数时，； 当为奇数时，为任意实数． （，是整数）的性质： 当为偶数时，①，②； 当为奇数时，①，②． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，解题关键是熟练掌握二次根式和乘方的相关知识． 题型04利用二次根式的性质化简 10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）化简二次根式的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式性质与化简，掌握是解题关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 【答案】a 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 12．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）著名数学教育家·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个二次根式化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为：；；； （2） ． 题型05复合二次根式的化简 13．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 14．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 夯实基础 一、单选题 1．化简二次根式（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据进行化简即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握． 2．式子有意义，则实数a的取值范围是（       ） A．a≥-1 B．a≠2 C．a≥-1且a≠2 D．a＞2 【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可. 【详解】解：由题意得， 解得，a≥-1且a≠2， 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握. 3．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握求复合函数自变量的取值范围的方法是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：函数， ，即， 故选：B． 4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 【答案】D 【详解】解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件， 可知x-1≠0，x≥0， 解得x≥0且x≠1. 故选D. 5．若有意义，则可以取的最小整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和不等式的整数解，根据有意义得到，解得，即可得到答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴可以取的最小整数为2， 故选：C 6．函数的自变量取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x≠5且x≥﹣2 C．x≠5且x＞﹣2 D．x≠5且x≠﹣2 【答案】B 【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案． 【详解】由题意，得： x+2≥0且x﹣5≠0， 解得x≥﹣2且x≠5， 故选：B． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键． 7．下列计算错误的是(    ) A．－×＝－ B．＋＝ C．＝9 D．(＋)×＝4＋3 【答案】C 【分析】先求出每个选项的结果，再进行判断即可． 【详解】A. －×＝，故选项正确； B. ＋＝，故选项正确； C. ＝，故选项错误； D. (＋)×＝4＋3，故选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 8．小亮的作业本上有以下四题：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .做错的题目是(　　) A．(1) B．(3) C．(4) D．(1)(4) 【答案】D 【分析】（1）根据二次根式的性质得到； （2）根据二次根式的乘法进行计算； （3）先判断a＞0，再根据二次根式的性质进行计算； （4）根据二次根式的加法法则进行判断.非同类二次根式不能合并． 【详解】解：因为，所以(1)错误； 因为，所以(2)正确； 因为有意义，所以a＞0，所以，所以(3)正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以(4)错误． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的性质与化简以及二次根式的乘除法． 二、填空题 9．＝ ． 【答案】2． 【分析】将12分解为4×3，按照二次根式的性质化简二次根式即可． 【详解】将12分解为4×3，进而开平方得出即可． 解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键． 10．如果，请写出一个满足条件的x的值： ． 【答案】7（答案不唯一，大于等于6的数均可） 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式组，根据二次根式的性质列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故满足条件的x的值可以为7（答案不唯一，大于等于6的数均可）． 故答案为：7（答案不唯一，大于等于6的数均可） 11．设，其中为正整数，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据配方法把进行配方，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵为正整数，， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 12．若实数a满足a﹣1，且0＜a，则a＝ ． 【答案】 【分析】先确定所以由已知得a＜2，可化简二次根式，解方程计算即可． 【详解】∵，且0＜a， ∴， ∴a， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解一元一次方程，掌握二次根式的性质是解题的关键． 13．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE＋PB＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于点，连接，先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为的长，然后在中，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，连接， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为的长， ， ， ， ，   又， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质是解题关键． 14．已知a≥0时，＝a．请你根据这个结论直接填空： (1)＝ ； (2)若x+1＝20182+20192，则＝ ． 【答案】 3 4037 【分析】根据（）进行求解即可. 【详解】（1）=； （2）∵， ∴-1， ∴==. 故答案为3；4037. 【点睛】本题主要考查了根据（）进行化简二次根式. 三、解答题 15．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． (1)把这个公式变形成用h表示t的公式； (2)一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）先求出，再开方即可； （2）将代入，即可求出物体落到地面所用的时间． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：当时， 则 （秒）， 答：落到地面需秒． 16．找出下列二次根式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次根式 (2)是二次根式 (3)是二次根式 【分析】本题考查了二次根式的意义，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解此题的关键． （1）根据结合二次根式的意义判断即可得出答案； （2）根据结合二次根式的意义判断即可得出答案； （3）由题意得出，结合二次根式的意义判断即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次根式； （2）解：∵， ∴是二次根式； （3）解：∵， ∴， ∴是二次根式． 17．按要求解决下列问题： （1）化简下列各式： =_____，=_____，=_____，=______，… （2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明． 【答案】（1）2，4，6，10；（2），证明见解析． 【分析】（1）各式的分子和分母都乘以分母中含根号的式子，再化简； （2）根据（1）的答案总结规律. 【详解】解：（1）=2，==4，==6，==10； （2）由（1）中各式化简情况可得．证明如下： =2n． 18．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 19．实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式的值． 【答案】8 【详解】解析：若两个实数互为相反数，则它们的和为0；若两个实数互为倒数，则它们的积为1．找出题中隐含的已知条件，再求解． 答案：解：根据题意，得，，，即，∴． 题型解法：解答本题的关键是挖掘隐含在题中的已知条件，然后根据已知条件求代数式的值． 20．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得 ，，那么便有： 例如：化简； 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7， 即， ∴== (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据阅读材料进行解答即可； （2）直接根据阅读材料进行解答即可； （3）直接根据阅读材料进行解答即可； 【详解】（1）解：根据，可得：，， ，， 即，， ； （2）解：根据，可得：，，   ，， 即，， ； （3）解：根据，可得：，，   ，， 即，，   ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．若有意义，则m能取的最小整数值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】由有意义， 则满足2m-3≥0，解得m≥， 即m≥时，二次根式有意义． 则m能取的最小整数值是m=2． 故选C． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 22．使式子成立的x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2 D．x≥﹣2，且x≠2 【答案】C 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果. 【详解】解：由题意得：-4, , 又∵, ∴x≥-2. ∴x的取值范围是：x>-2且. 故选C. 【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题. 二、填空题 23．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 【答案】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=（x-3）2-9+m≥0，所以（x-3）2≥9-m．通过偶次方（x-3）2是非负数可求得9-m≤0，则易求m的取值范围． 【详解】由题意，得 x2-6x+m≥0，即（x-3）2-9+m≥0， ∵（x-3）2≥0，要使得（x-3）2-9+m恒大于等于0， ∴m-9≥0， ∴m≥9， 故答案为m≥9． 24．若x，y均为实数，且，则的算术平方根是 . 【答案】4 【分析】已知，根据二次根式有意义的条件可得，由此求得x=4，即可求得y=2，再求得的值，即可求得的算术平方根. 【详解】∵， ∴， 解得x=4， ∴y=2， ∴=， ∵16的算术平方根为4， ∴的算术平方根是4. 故答案为4. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件确定x的值是解决问题的关键. 三、解答题 25．试探究与a之间的关系． 【答案】见解析. 【详解】试题分析： 因为不确定a的符号，所以需要分类讨论，分a≥0和a＜0两种情况讨论. 试题解析： 当a≥0时，； 当a＜0时，，而无意义． 26．解答下列各题． (1)已知：，求的平方根． (2)已知一个正数x的两个平方根分别是和，求这个数x． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，根据平方根的概念解答； （2）根据平方根的概念列出方程，解方程求出a ，根据有理数的平方法则计算即可． 【详解】（1）解∶由题意得，，， 解得，， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根； （2）解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 二次根式 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01求二次根式的值................................................................................................................................................................3 题型02求二次根式中的参数........................................................................................................................................................5 题型03二次根式有意义的条件....................................................................................................................................................7 题型04利用二次根式的性质化简..............................................................................................................................................10 题型05复合二次根式的化简......................................................................................................................................................12 分层练习........................................................................................................................................................................................15 夯实基础........................................................................................................................................................................................15 能力提升........................................................................................................................................................................................28 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型01求二次根式的值 1．（八年级·江苏连云港·期末）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．代数式的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·期中）若求的值． 题型02求二次根式中的参数 4．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型03二次根式有意义的条件 7．（2022·江苏徐州·中考真题）要使得代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）要使代数式有意义，则x的取值范围为 ． 9．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）知识回顾 我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论： ．二次根式在实数范围内有意义的条件是． ．二次根式的性质：①；②． 类比推广 根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题． (1)根式在实数范围内有意义的条件是 ， 根式在实数范围内有意义的条件是 ； (2)写出次根式（，是整数）在实数范围内有意义的条件和性质． 题型04利用二次根式的性质化简 10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）化简二次根式的结果为（  ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 12．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）著名数学教育家·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． 题型05复合二次根式的化简 13．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 14．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 15．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 夯实基础 一、单选题 1．化简二次根式（    ） A．9 B．3 C． D． 2．式子有意义，则实数a的取值范围是（       ） A．a≥-1 B．a≠2 C．a≥-1且a≠2 D．a＞2 3．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 5．若有意义，则可以取的最小整数为（   ） A． B． C． D． 6．函数的自变量取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x≠5且x≥﹣2 C．x≠5且x＞﹣2 D．x≠5且x≠﹣2 7．下列计算错误的是(    ) A．－×＝－ B．＋＝ C．＝9 D．(＋)×＝4＋3 8．小亮的作业本上有以下四题：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .做错的题目是(　　) A．(1) B．(3) C．(4) D．(1)(4) 二、填空题 9．＝ ． 10．如果，请写出一个满足条件的x的值： ． 11．设，其中为正整数，，则 ． 12．若实数a满足a﹣1，且0＜a，则a＝ ． 13．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE＋PB＋PC的最小值为 ． 14．已知a≥0时，＝a．请你根据这个结论直接填空： (1)＝ ； (2)若x+1＝20182+20192，则＝ ． 三、解答题 15．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． (1)把这个公式变形成用h表示t的公式； (2)一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？ 16．找出下列二次根式． (1)； (2)； (3)． 17．按要求解决下列问题： （1）化简下列各式： =_____，=_____，=_____，=______，… （2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明． 18．先化简，再求值：，其中、满足． 19．实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式的值． 20．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得 ，，那么便有： 例如：化简； 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7， 即， ∴== (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 能力提升 一、单选题 21．若有意义，则m能取的最小整数值是（　　） A． B． C． D． 22．使式子成立的x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2 D．x≥﹣2，且x≠2 二、填空题 23．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 24．若x，y均为实数，且，则的算术平方根是 . 三、解答题 25．试探究与a之间的关系． 26．解答下列各题． (1)已知：，求的平方根． (2)已知一个正数x的两个平方根分别是和，求这个数x． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$