湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（B卷）

2025 年衡阳县四中半期考试高二数学试卷（B 卷） 姓名：___________班级：___________ 一、选择题 1．已知数列 2, 7 , 10 , 13 ,4 ,…, 3 1n  ,…,则该数列的第 40项是( ) A. 30 B.2 30 C.11 D.5 2．在等差数列 na 中,若 3 5 16a a  ,则 4a  ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 3．观察下列散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是( ) A.a为正相关,b为负相关,c为不相关 B.a为负相关,b为不相关,c为正相关 C.a为负相关,b为正相关,c为不相关 D.a为正相关,b为不相关,c为负相关 4． 61x x      展开式中的常数项为( ) A. 10 B. 20 C.20 D.10 5．已知 3( | ) 7 P A B  , 7( ) 9 P B  ,则 ( )P AB  ( ) A. 3 7 B. 4 7 C. 1 3 D. 27 49 6．4幅不同的国画和 2幅不同的油画排成一列,2幅油画不相邻,则不同的排法种数为( ) A.240 B.360 C.480 D.720 7．函数   3 3 1f x x x   的单调递增区间是( ) A.  , 1  B.  1, C.    , 1 1,   D.  , 1  和  1, 8．已知随机变量  22,X N  ,  1 0.3P X   ,则  3P x   ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 二、多项选择题 9．设离散型随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量 Y满足 3 1Y X  ，则下列结果正确的有( ) A. 0.2q  B.   2E X  ，   1.4D X  C.   2E X  ，   1.8D X  D.   7E Y  ，   16.2D Y  10．两个相关变量 X，Y的 5组对应数据如表： X 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 Y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表，可得线性回归方程 Y bX a  ，求得 0.78b  .据此估计，以下结论正确的是 ( ) A. 10x  B. 9y  C.  0.2a  D.当 15X  时， 11.95Y  11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》 中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有 1个球,第二层有 3个球,第三层 有 6个球,….设第 n层有 na 个球,从上往下 n层球的总数为 nS ,则( ) A. 5 35S  B. 1n n na a   C. ( 1) 2n n na  D. 1 2 3 100 1 1 1 1 200 101a a a a       三、填空题 12．    51 1 2x x  的展开式中 3x 的系数为________.（用数字作答） 13．某校决定从高一、高二两个年级分别抽取 100人、60人参加演出活动，高一 100 人中女生占 3 5 ，高二 60人中女生占 3 4 ，则从中抽取 1人恰好是女生的概率为________. 14．已知在单调递增的等差数列 na 中，满足 1 3 5 15a a a   ， 2a 是 1a 和 5a 的等比中项， nS 为数 列 na 的前 n项和，则 5n nS a n   的最小值为________. 四、解答题 15．数列{ }na 的通项公式是 2 7 6na n n   . (1)这个数列的第 4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项,它是第几项？ 16．某产品的广告费支出 x与销售额 y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）求线性回归方程; （2）预测当广告费支出 7（百万元）时的销售额. 参考公式：回归直线的方程是： y bx a  ,其中 i i i 1 22 i i 1 n n x y nx y b x nx        , a y bx  ,其中 iŷ 是与 ix 对应的回归估计值. 17．某高校实行提前自主招生,老师从 6个不同的试题中随机抽取 4个让学生作答,至少 答对 3个才能通过初试,已知某学生能答对这 6个试题中的 4个． （1）求该学生能通过自主招生初试的概率; （2）若该学生答对的题数为 X,求 X的分布列以及数学期望． 18．设{ }na 是公比不为 1的等比数列, 1a 为 2a , 3a 的等差中项. (1)求{ }na 的公比; (2)若 1 1a  ,求数列{ }nna 的前 n项和. 19．已知函数 ( ) e 2xf x ax  . (1)求函数 ( )f x 的单调区间; (2)若函数 ( )f x 在区间 1, 上的最小值为 0,求实数 a的值. 参考答案 1．答案：C 解析：依题意,所给数列的通项公式为 3 1na n  , 所以该数列的第 40项 40 3 40 1 11a     . 故选：C. 2．答案：C 解析：在等差数列 na 中, 53 42 16a a a   ,故 4 8a  . 故选：C. 3．答案：A 解析：根据给定的散点图,可得 a中的数据分布在左下方到右上方的区域里,为正相关, b中的数据分布在左上方到右下方的区域里,为负相关, c中的数据各点分布不成带状,相关性不明确,不相关. 故选：A. 4．答案：B 解析：因 61x x      展开式的通项为： 6 6 21 6 6 1C ( ) ( 1) Cr r r r r rrT x xx        , 0,1, 2, ,6r   , 使6 2 0r  ,解得 3r  ,故展开式的常数项为 36C 20   . 故选：B. 5．答案：C 解析：因为 3( | ) 7 P A B  , 7( ) 9 P B  ,所以 3 7 1( ) ( | ) ( ) 7 9 3 P AB P A B P B    . 6．答案：C 解析：由题意,先将 4幅国画排成一列, 再将 2幅油画插到 4幅国画形成的 5个空中, 则不同的排法有 4 24 5A A 480 种. 故选：C. 7．答案：D 解析：     23 3 3 1 1 0f x x x x       ，解得： 1x   或 1x  ， 所以函数的单调递增区间是  , 1  和  1, . 故选：D. 8．答案：C 解析：由题意得    3 1 0.3P X P X    ,所以  3 1 0.3 0.7P x     . 故选：C. 9．答案：CD 解析：由离散型随机变量 X的分布列的性质得： 1 0.4 0.1 0.2 0.2 0.1q       ，   0 0.1 1 0.4 2 0.1 3 0.2 4 0.2 2E X            ，   2 2 2 2 2(0 2) 0.1 (1 2) 0.4 (2 2) 0.1 (3 2) 0.2 (4 2) 0.2 1.8D X                 ，离 散型随机变量 Y满足 3 1Y X  ，    3 1 7E Y E X    ，    9 16.2D Y D X  ． 故选：CD． 10．答案：AC 解析：易求得 10x  ，  8 8 0.78 10 0.2y a y bx        ，  0.78 0.2y x   15 0.78 15 0.2 11.90x y      . 故选:AC 11．答案：ACD 解析：依题意可知 1 1n na a n    , 1 1n na a n    ,B选项错误. 1 1a  , 2 1 2 3a    , 3 3 3 6a    , 4 6 4 10a    , 5 10 5 15a    5 1 3 6 10 15 35S       ,A正确. 1 1n na a n    ,  1 2n na na n   ,      1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a             11 2 1 2 n n n n         ,C正确. 1 1 12 1na n n       , 1 2 100 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 3 100 101a a a                               1 2002 1 101 101        .D选项正确. 故选：ACD. 12．答案：120 解析：  51 2x 的展开式通项为    1 5 5C 2 C 2 0 5, kk k k k kT x x k k        N ， 因为        5 5 51 1 2 1 2 1 2x x x x x      ， 在  51 2x 的展开式通项  1 5C 2 0 5,k k kkT x k k      N 中，令 3k  ， 在  51 2x x 的展开式通项  11 5 5C 2 C 2 0 5,r r r r r rrA x x x r r       N ， 令 1 3r   ，可得 2r  ， 因此，展开式中的 3x 的系数为 3 3 2 25 5C 2 C 2 80 40 120      . 故答案为：120. 13．答案： 21 32 解析：用 A， A分别表示取的一人是来自高一和高二，B表示抽取一个恰好是女生， 则由已知可知： 100 5( ) 160 8 P A   ， 60 3( ) 160 8 P A   ， 且 3( ) 5 P B A  ， 3( ) 4 P B A  ， 所以         5 3 3 3 21( ) 8 5 8 4 32P B P A P B A P A P B A       故答案为： 21 32 14．答案：6 解析：由题意可得 32 2 1 5 3 15a a a a     ，设等差数列 na 的公差为 d，则 3 2 5 (5 ) (5 2 )(5 2 ) a d d d       ，解得 2 0d d ， （舍去），故 21 ( 1)1, 1 2 , 2 1 2n n n na S n n a n        ，则 25 2 4 4 42 2 2 6n nS a n n n n n n n n            ，当且仅当 2n  时等号成立，此时 5n nS a n   取 得最小值，故最小值为 6. 15．答案：(1) 6 (2)是,第 16项 解析：(1)数列{ }na 的通项公式是 2 7 6na n n   . 这个数列的第 4项是： 24 4 7 4 6 6a       . (2)令 2 7 6 150na n n    ,即 2 7 144 0n n   , 解得 16n  或 9n   （舍 ) , 150 是这个数列的项,是第 16项. 16．答案：（1）  6.5 17.5y x  （2）当广告费支出 7（百万元）时的销售额为 63（百万元） 解析：（1）由题意可知 5x  , 50y  , 5 2 1 145i i x   , 5 i i i 1 1380x y   设线性回归方程为 y bx a  则 5 i i i 1 5 222 i i 1 5 1380 5 5 50 6.5 145 5 55 yx y x b x x                , 50 6.5 5 17.5a y bx      则  6.5 17.5y x  （2）当 7x  时, 6.5 7 1 5 63ˆ 7.y     , 则当广告费支出 7（百万元）时的销售额为 63（百万元） 17．答案：（1） 3 5 （2）分布列见解析,   8 3 E X  ． 解析：（1）该学生通过自主招生初试的概率 3 1 4 4 2 4 4 4 6 6 C C C 3 C C 5 P    , （2）该学生答对题的数量 X的可能取值为 2,3,4, 则   2 4 4 6 C 22 C 5 P X    ,   3 1 4 2 4 6 C C 83 C 15 P X    ,   4 4 4 6 C 14 C 15 P X    , 所以 X的概率分布列为 X 2 3 4 P 2 5 8 15 1 15   2 8 1 82 3 4 5 15 15 3 E X        ． 18．答案：(1) 2 ; (2) 1 (1 3 )( 2) 9 n n nS    . 解析：(1)设{ }na 的公比为 q, 1a 为 2a , 3a 的等差中项, 1 2 32a a a  , 1 0a  , 2 2 0q q    , 1q  , 2q   ; (2)设{ }nna 的前 n项和为 nS , 11 1, ( 2) n na a    , 2 11 1 2 ( 2) 3 ( 2) ( 2)nnS n            ,① 2 3 12 1 ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) ( 1)( 2) ( 2)n nnS n n                ,② ①②得, 2 13 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)n nnS n           1 ( 2) 1 (1 3 )( 2)( 2) 1 ( 2) 3 n n n nn          , 1 (1 3 )( 2) 9 n n nS     . 19．答案：(1)当 0a  时,在 R 上单调递增;当 0a  时,递减区间为 ( , ln( 2 ))a  ,递增区 间为 (ln( 2 ), )a  ; (2) e 2 a   . 解析：(1)当 0a  时,函数 ( ) e 2 0xf x a   , ( )f x 在 R 上单调递增, 当 0a  时, ( ) e 2xf x a   ,令 e 2 0x a  ,得 ln( 2 )x a  , 所以当 ( , ln( 2 ))x a   时, ( ) 0f x  ,函数 ( )f x 单调递减;当 (ln( 2 ), )x a   时, ( ) 0f x  ,函数 ( )f x 单调递增; (2)由(1)可知,当 0a  时,函数 ( ) e 2 0xf x a   ,不符合题意; 当 0a  时, ( )f x 在 ( , ln( 2 ))a  上单调递减,在 (ln( 2 ), )a  上单调递增, ①当 ln( 2 ) 1a  ,即 e 0 2 a  时, ( )f x 最小值为 (1) 2 ef a  , 所以2 e 0a   ,得 e 2 a   ,符合题意, ②当 ln( 2 ) 1a  ,即 e 2 a   时, ( )f x 最小值为 (ln( 2 )) 2 2 ln( 2 )f a a a a     , 由 2 2 ln( 2 ) 0a a a    ,得 e 2 a   ,不符合题意, 综上, e 2 a   .