6.1.1 平面向量的概念 教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.1.1 《平面向量的概念》教案 一、教材分析 “平面向量的概念”是向量学习的起始课，是在学生已掌握了实数、直线、三角形等基本数学知识的基础上展开的。向量作为既有大小又有方向的量，是沟通代数与几何的桥梁，它不仅丰富了数学研究的内容和方法，还为后续学习向量的运算、向量的应用等知识奠定了基础。通过本节课的学习，学生能够从新的视角认识数学对象，拓展思维方式，体会数学知识之间的内在联系，对提升数学素养具有重要意义。 二、学情分析 学生在之前的数学学习中，已经熟悉了只有大小的数量概念，如长度、面积、质量等，也对几何图形的方向有一定的感性认识。然而，向量这一概念融合了大小和方向两个要素，与学生以往接触的数学对象有所不同，学生可能在理解向量的概念、向量的表示方法以及向量间的关系（如相等向量、共线向量）等方面存在困难。同时，从数量到向量的思维转变，需要学生具备一定的抽象思维和逻辑推理能力，这对学生来说也是一个挑战。但学生已有的知识基础和生活经验为学习本节课提供了支撑，教师可引导学生通过观察、类比、分析等方法，逐步掌握本节课的内容。 三、教学目标（基于数学核心素养） 1. 数学抽象素养：从物理中的位移、力等实例中抽象出向量的概念，理解向量的本质特征，提升从具体到抽象的思维能力。 1. 逻辑推理素养：通过探究向量的平行、相等、共线等关系，培养逻辑推理能力，能够准确判断向量间的各种关系，理解其内在逻辑。 1. 直观想象素养：借助有向线段表示向量，将抽象的向量概念直观化，提升空间想象能力，能在脑海中构建出向量的几何形象，理解向量的几何意义。 1. 数学运算素养：在理解向量模的概念的基础上，能够进行简单的向量模的计算，提高运算能力和对数学符号的理解运用能力。 1. 数学应用意识：体会向量在实际生活和数学中的广泛应用，增强数学应用意识，学会用向量的观点分析和解决实际问题。 四、教学重难点 1. 重点：向量的概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量的概念。 1. 难点：对向量概念的理解，尤其是向量的方向要素；区分向量与数量、有向线段的关系；理解相等向量和共线向量的概念及它们之间的联系。 五、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 六、教学过程（40分钟） （一）情境引入（5分钟） 1. PPT展示“老鼠认为猫是‘傻猫’ ”的情境图片或动画（猫朝着与老鼠相反的方向快速奔跑），提出问题：老鼠为什么认为猫是“傻猫”？引导学生思考速度这一物理量的特点，得出速度是既有大小又有方向的量。 1. PPT展示质量、力、速度的图片或实例，提问学生：请观察这三个物理中的量有什么区别？引导学生分析得出质量只有大小，力和速度既有大小又有方向，从而引出本节课要学习的既有大小又有方向的量——向量。 （二）知识讲解（15分钟） 1. 向量的实际背景与概念（4分钟）：讲解在物理中，位移与路程不是同一个概念，通过游艇在湖面上从景点O到景点A再到景点B的例子，说明位移既有大小又有方向，而路程只有大小。介绍向量与数量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称为矢量）；只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称为标量）。强调数量和向量的区别，数量可进行代数运算、能比较大小，向量由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小。 通过练习，让学生判断质量、速度、位移、力、加速度、面积、年龄、身高中哪些是向量，哪些是数量，巩固向量的概念。 1. 向量的几何表示（5分钟）：讲解有向线段的定义，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作，箭头所指的方向表示有向线段的方向。 引导学生思考一条有向线段由哪几个基本要素所确定，得出有向线段的三个要素：起点、方向、长度。 讲解向量的几何表示——用有向线段表示，画图时，常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 介绍向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，等；若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母（书写时用，，表示）。强调向量与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置，数学中的向量也叫自由向量；有向线段与向量的区别，有向线段有三要素：起点、大小、方向，向量可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。 通过做一做的题目，加深学生对向量几何表示的理解。 1. 向量的模、零向量与单位向量（3分钟）：讲解向量的大小，就是向量的长度（或称模），记作，或者记作。 引导学生思考向量的模是否可以为0、1、负数，从而引出零向量和单位向量的定义：长度为0的向量，记作；长度等于1个单位的向量。说明零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向，故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定。强调向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的，如有意义，没有意义。 通过相关判断题目，让学生巩固零向量和单位向量的概念。 1. 相等向量与共线向量（3分钟）：引导学生思考对于两个向量，，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形，从而引出平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量。向量与平行，记作。 规定：零向量与任一向量平行，即（为任意向量）。 讲解相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量，相等，则记为，零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。 介绍共线向量的定义：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量，强调一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下，将它平移到任何位置。 通过做一做的题目，让学生判断关于向量关系的各种说法是否正确，加深对相等向量和共线向量的理解。 （三）学以致用（15分钟） 1. 例题讲解（7分钟）：例1：在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）。 引导学生分析： 确定表示位移的向量，表示A地至B地的位移，表示A地至C地的位移。 根据比例尺计算向量的模，即实际距离。假设图上1cm代表实际距离80km（根据比例尺1:8000000换算），测量图上和的长度（假设分别为和），则A地至B地的实际距离约为80xkm，A地至C地的实际距离约为80ykm。 例2：在坐标纸上（每个小方格的边长均为1），用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使，点A在点O北偏东45°方向。 (2) 画出向量。，使，点B在点A正东方向。 (3) 点C在点B北偏东30°方向。 引导学生：以O为起点，根据北偏东45°确定方向，利用勾股定理计算出在坐标纸上的位置（4个单位长度的横向位移和4个单位长度的纵向位移），从点A出发，沿正东方向（即x轴正方向）画4个单位长度的有向线段，得到向量。，使，以点B为起点，用量角器量出北偏东30°方向，再根据确定点C的位置，画出向量。 1. 练习巩固（8分钟）：布置练习题： 探究一向量的有关概念：判断下列说法是否正确。 若，则或；（答案：错误，向量相等不仅要求模相等，还要求方向相同） 若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；（答案：错误，共线向量不一定在同一直线上） 向量与是平行向量；（答案：正确） 任何两个单位向量都是相等向量。（答案：错误，单位向量方向不一定相同） 探究二:平面向量的表示：某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D。 作出向量，，； （参考答案：以A为起点，正东方向画5个单位长度的有向线段得；以B为起点，东北方向（即北偏东45°）画个单位长度的有向线段得；以C为起点，正西方向画10个单位长度的有向线段得） 求的模。（参考答案：通过平移向量，利用勾股定理计算，） 探究三:相等向量与共线向量：四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作向量，则与平行且长度为的向量有几个？（参考答案：2个） 延伸探究： 本例中的条件不变，与同向且长度为的向量有几个？（参考答案：1个） 本例中的条件不变，与相等的向量有多少个？（参考答案：3个） 让学生独立完成，教师巡视，对学生的解题过程进行指导，纠正错误，强化对向量概念、表示方法以及向量间关系的理解和应用能力。 （四）课堂小结（3分钟） 1. 请学生回顾本节课所学内容，包括向量的概念、向量的几何表示（有向线段、表示方法、向量的模）、特殊向量（零向量、单位向量）以及向量间的关系（平行向量、相等向量、共线向量）。 1. 教师进行补充和完善，强调重点知识，帮助学生构建知识体系，梳理各知识点之间的联系，明确本节课的核心内容和学习要点。 （五）布置作业（2分钟） 1. 必做题：完成课本相关练习题，巩固向量的概念、表示方法以及向量间关系的知识点；在生活中寻找至少两个可以用向量表示的物理量或实际例子，并说明其大小和方向。 1. 选做题：思考向量在物理学中的其他应用，如力的合成与分解；预习向量的运算，思考向量的加法、减法等运算与实数运算有何不同。 1. 拓展任务：查阅资料，了解向量在计算机图形学、机器人运动规划等领域的应用，写一篇简短的报告，培养学生的拓展思维和对知识的深入探究能力。同时，鼓励学生将所学的向量知识应用到生活中，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。 七、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生从实际生活和物理实例出发，通过观察、分析和思考，逐步抽象出向量的概念和相关知识。多利用图形、实例进行讲解，帮助学生直观理解抽象的概念，尤其是向量的方向和向量间的关系。在讲解例题和练习时，要注重引导学生的解题思路，培养学生的逻辑推理和运算能力。练习环节要关注学生的解题情况，及时发现学生在理解和应用知识过程中存在的问题，针对问题进行个别辅导和集中讲解。根据学生的学习情况，灵活调整教学策略，如增加一些拓展性的练习或补充更多的实际案例，帮助学生更好地掌握本节课的知识，提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$