精品解析：2024年陕西省咸阳市永寿县上邑中学九年级中考一模数学试题

2024年陕西省初中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. （ ） A. 15 B. C. D. 2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 长方体 3. 如图为化学实验过滤操作的平面示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象关于轴对称，对称后的图象与正比例函数的图象交于点．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 6. 如图，在矩形中，，，为对角线的中点，过点作分别交、于点、，则线段的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径，是上一点，，连接、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象过点，且与轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：4_________（填“”“”或“”）． 10. 已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是______． 11. 七巧板是我国一种传统的益智玩具，小亮用七巧板（如图①）拼出了秦岭四宝之一的“羚牛”如图②所示．若图①中的大正方形边长为，则该“羚牛”头部（阴影部分）的面积为______． 12. 已知点、是反比例函数（）图象上两点．当时，，则的值可以是______．（写出一个即可） 13. 如图，在菱形中，，．是对角线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最大值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： 16. 解方程：． 17. 如图，已知等边．请用尺规作图法，在边的右侧求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，为的中点，，连接并延长至点，使，连接．求证：． 19. 安康市平利县盛产女娲茶．李伯伯购买了一批女娲茶赠送给朋友，若每人送2罐，则多4罐；若每人送3罐，则少2罐．请问李伯伯一共购买了多少罐女娲茶？ 20. 端午节某商场对一款饮料做促销活动：每购买一瓶该款饮料，便可以转动转盘抽奖一次．如图是一个可自由转动的转盘，该转盘被直径和半径分成了四个扇形区域，其中标有“瓶”的扇形的圆心角为，标有“瓶”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的内容即为抽奖结果，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则中奖的概率是______； （2）若小明购买了两瓶该款饮料，用树状图或列表法求小明转动转盘两次后中奖两瓶饮料的概率． 21. 如图①为陕西昆明池的汉楼船，是由汉武帝立像、文臣武将、兵勇车马组成．某数学兴趣小组以测量汉武帝立像的高度为课题开展数学实践活动，以下是该小组的活动报告： 课题 测量汉武帝立像的高 测量工具 皮尺、测倾器… 测量方案 如图②，小华在汉楼船的一侧点处利用测倾器测得汉武帝立像的顶端的仰角为，后退至点处测得立像底端点的仰角为 实物图及示意图 测量说明 、、在同一条水平直线上，，， 测量数据 测倾器、的高度均为，船高为 测量结果 … 请根据活动报告，求昆明池汉武帝立像的高．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； （2）在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 23. 排球中的对墙垫球是陕西省初中学生学业水平体育考试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两班中男生对墙垫球的水平，分别在甲、乙两班男生中随机抽取了10名进行测试，整理结果如下： 数据收集 甲班：42 48 35 39 41 32 46 42 38 37 乙班：40 42 37 38 39 38 40 42 40 44 数据描述 数据分析 班级 众数 中位数 平均数 方差 甲班 42 40 乙班 40 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）求测得的乙班这10名男生垫球个数的平均数； （3）根据以上数据，你认为哪个班男生的垫球水平更好？请说明理由（写出一条即可）． 24. 如图，在中，，为边上一点，且，以为直径作交于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 25. 某游戏爱好者设计了一款“袋鼠跳”的游戏．其中某一环节的游戏规则为：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成两段连续跳跃（两段跳跃的运动轨迹呈现的抛物线形状相同），若跳跃后到达点处即可通关，否则不能通关．如图，袋鼠运动轨迹近似为抛物线的一部分，已知袋鼠第一段（）跳跃轨迹的最高点到地面的距离为，与起跳点的水平距离为，点与起跳点的水平距离为；点与点的水平距离为，点到地面的距离为．以起跳点为原点，地面所在水平方向为轴，过点垂直于轴的方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请判断该袋鼠是否能通关，并说明理由． 26. 问题提出 （1）如图①，在四边形中，，，，连接．若，求的长度； 问题解决 （2）如图②，某市计划将市郊的一片足够大的空地打造为一个等腰直角三角形的露营基地，点为该露营基地内的服务中心，道路、、将露营地分为“团建活动区”、“自助烧烤区”和“露营区”三个部分．已知，，．为使该基地的露营区容纳更多的游客，要求的面积尽可能大．试问的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年陕西省初中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. （ ） A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是上下底面为三角形，侧面为三个长方形的几何体，即该几何体为三棱柱， 故选：B． 3. 如图为化学实验过滤操作的平面示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．由，可得，则，结合，，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：B． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和积的乘方，先计算积的乘方，再计算负整数指数幂即可． 【详解】解：， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象关于轴对称，对称后的图象与正比例函数的图象交于点．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数的函数值，求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，先根据正比例函数解析式求出点A的坐标，进而求出点A关于y轴对称的点的坐标，再把点A关于y轴对称的点的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为， ∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后的图象与正比例函数的图象交于点， ∴点在一次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，在矩形中，，，为对角线的中点，过点作分别交、于点、，则线段的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，然后证明求出，再由得到，即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，内接于，是的直径，是上一点，，连接、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，根据直径所对的圆周角是直角得到，再由等弧所对的圆周角相等得到，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象过点，且与轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质，先把点A坐标代入解析式，求出或，再根据二次函数与轴有两个交点可求出，则，据此求出二次函数解析式，并化为顶点式求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象过点， ∴， 解得或， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：4_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的运算，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键． 先求出，进而得到． 【详解】∵ ∴ ∴， 故答案为：． 10. 已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和内角综合，正多边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度，再结合题意建立方程组求出一个外角的度数，再根据外角和为360度即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角度数为x，一个外角度数为y， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的一个外角的度数为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：9． 11. 七巧板是我国一种传统的益智玩具，小亮用七巧板（如图①）拼出了秦岭四宝之一的“羚牛”如图②所示．若图①中的大正方形边长为，则该“羚牛”头部（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得正方形的边长，根据，即可求解． 【详解】解：图①中的大正方形边长为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知点、是反比例函数（）图象上两点．当时，，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵点、是反比例函数（）图象上两点，且时，， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在菱形中，，．是对角线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，作于点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，得到，，由旋转可得，，得到是等边三角形，推出，，证明，得到，则推出点在线段的垂直平分线上，得到，即，当且仅当点与点重合时，，此时点在的延长线上，即取得最大值为，即可求解． 【详解】解：如图1，连接交于，作于点，连接， 在菱形中，，， 是等边三角形， ，， 是对角线上一点，将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， 又，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 在中，， 如图2，当且仅当点与点重合时，，此时点在的延长线上，即取得最大值为， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，零指数幂，先计算二次根式乘法和零指数幂，再计算乘法和化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，正确解出两个不等式，熟练掌握求两个不等式的公共解集的方法是解题的关键，求多个不等式的解集的公共部分可以借助数轴进行，也可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”进行．分别解出不等式①②的解集，再求出公共部分即可求解． 【详解】解：， 由①得， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 如图，已知等边．请用尺规作图法，在边的右侧求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，则点D即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图，分别作的垂直平分线，二者交于O，以点O为圆心，的长为半径画弧交垂直平分线于D，则点D即为所求． 【详解】解：如图所示，分别作的垂直平分线，二者交于O，以点O为圆心，的长为半径画弧交垂直平分线于D，则点D即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得， 由等边三角形的性质可得点O为的外接圆，则有． 18. 如图，在中，为的中点，，连接并延长至点，使，连接．求证：． 【答案】 证明：为的中点， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由为的中点，可得，推出，得到，进而得到，证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 19. 安康市平利县盛产女娲茶．李伯伯购买了一批女娲茶赠送给朋友，若每人送2罐，则多4罐；若每人送3罐，则少2罐．请问李伯伯一共购买了多少罐女娲茶？ 【答案】16罐女娲茶 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 设李伯伯有位朋友，根据若每人送2罐，则多4罐；若每人送3罐，则少2罐建立方程，求出李伯伯的朋友人数，再求购买的女娲茶数量即可． 【详解】解：设李伯伯有位朋友， 由题意得：， 解得：， ∴（罐）， 答：李伯伯一共购买了16罐女娲茶． 20. 端午节某商场对一款饮料做促销活动：每购买一瓶该款饮料，便可以转动转盘抽奖一次．如图是一个可自由转动的转盘，该转盘被直径和半径分成了四个扇形区域，其中标有“瓶”的扇形的圆心角为，标有“瓶”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的内容即为抽奖结果，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则中奖的概率是______； （2）若小明购买了两瓶该款饮料，用树状图或列表法求小明转动转盘两次后中奖两瓶饮料的概率． 【答案】（1） （2） 用“”表示“谢谢惠顾”，由题意，可将转盘平均分成6个扇形，其中0占有3份， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果数，其中转动转盘两次后中奖两瓶饮料的结果数为种， 转动转盘两次后中奖两瓶饮料的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，几何概率，画树状图或列表法求概率，解题的关键是数形结合． （1）用中奖的圆心角之和除以，即可求解； （2）画树状图，得出所有等可能的结果数，和所求结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：标有“瓶”的扇形的圆心角为，标有“瓶”的扇形的圆心角为， 转动转盘一次，则中奖的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图①为陕西昆明池的汉楼船，是由汉武帝立像、文臣武将、兵勇车马组成．某数学兴趣小组以测量汉武帝立像的高度为课题开展数学实践活动，以下是该小组的活动报告： 课题 测量汉武帝立像的高 测量工具 皮尺、测倾器… 测量方案 如图②，小华在汉楼船的一侧点处利用测倾器测得汉武帝立像的顶端的仰角为，后退至点处测得立像底端点的仰角为 实物图及示意图 测量说明 、、在同一条水平直线上，，， 测量数据 测倾器、的高度均为，船高为 测量结果 … 请根据活动报告，求昆明池汉武帝立像的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长交于H，可证明四边形是矩形，则，，，再证明，可得到，四边形是矩形，则，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，延长交于H， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴． 答：昆明池汉武帝立像的高为． 22. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； （2）在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 【答案】（1） （2）加热的时间为分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把代入函数，得，由图象可得，当水温为时不再升温．根据待定系数法求出水在加热过程中与的函数关系式，再根据题意可得油温比水温高，据此建立方程，解方程后求出此时的水温，若水温不超过，则解方程所得的结果即为加热时间，若超过，则此时油温为，据此求出加热时间即可． 【小问1详解】 解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入函数，得， 由图象可得，当水温为时不再升温． 设水在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴水在加热过程中与的函数关系式为； 由题意得，， 解得， ∵当时，，即此时水温为，不符合题意， ∴当水温为时，菜籽油继续升温，当两者温差为时，菜籽油温度为， 把代入函数，得， 解得， ∴加热的时间为分钟． 23. 排球中的对墙垫球是陕西省初中学生学业水平体育考试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两班中男生对墙垫球的水平，分别在甲、乙两班男生中随机抽取了10名进行测试，整理结果如下： 数据收集 甲班：42 48 35 39 41 32 46 42 38 37 乙班：40 42 37 38 39 38 40 42 40 44 数据描述 数据分析 班级 众数 中位数 平均数 方差 甲班 42 40 乙班 40 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）求测得的乙班这10名男生垫球个数的平均数； （3）根据以上数据，你认为哪个班男生的垫球水平更好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）40；40 （2） （3） 乙班男生的垫球水平更好，理由如下： 从方差来看，甲班的方差大于乙班的方差，说明甲班同学之间的水平差距很大，而乙班同学之间水平差距不大，故乙班男生的垫球水平更好． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差等知识，正确理解题意得到相关信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义计算求解即可； （3）从方差的角度出发，描述结论和理由即可． 【小问1详解】 解：∵乙班中，成功垫球个数为40个的人数最多， ∴乙班的众数为40个，即； 把甲班成功垫球个数按照从低到高排列，处在第5名和第6名分别为39个，41个， ∴甲班的中位数为个，即； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，为边上一点，且，以为直径作交于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）先得到，再由圆的切线的性质以及，利用等角的余角相等证明，即可求证； （2）连接，由圆周角定理得到，由三线合一得到，再由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 25. 某游戏爱好者设计了一款“袋鼠跳”的游戏．其中某一环节的游戏规则为：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成两段连续跳跃（两段跳跃的运动轨迹呈现的抛物线形状相同），若跳跃后到达点处即可通关，否则不能通关．如图，袋鼠运动轨迹近似为抛物线的一部分，已知袋鼠第一段（）跳跃轨迹的最高点到地面的距离为，与起跳点的水平距离为，点与起跳点的水平距离为；点与点的水平距离为，点到地面的距离为．以起跳点为原点，地面所在水平方向为轴，过点垂直于轴的方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请判断该袋鼠是否能通关，并说明理由． 【答案】（1） （2） 该袋鼠不能通关，理由如下： 当时，， ， 第一次跳跃的抛物线起点为，终点为，第二次跳跃的抛物线起点也是， 第二次跳跃的抛物线是由第一次跳跃的抛物线向右平移个单位，在向上平移个单位得到，第二次跳跃的抛物线顶点为， 又， 根据题意，该袋鼠第二次跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为， 当时，， 该袋鼠跳跃后不能到达点处，故该袋鼠不能通关． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的应用，涉及抛物线的图象与性质，抛物线的平移，解题的关键是掌握相关知识． （1）由题意知，袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的顶点为，且抛物线过点，设该抛物线的解析式为，将点代入求出，即可求解； （2）先求出，则，由第一次跳跃的抛物线起点为，终点为，第二次跳跃的抛物线起点也是，则第二次跳跃的抛物线是由第一次跳跃的抛物线向右平移个单位，在向上平移个单位得到，根据题意，该袋鼠第二次跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为，令，求出值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知，袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的顶点为，且抛物线过点， 设该抛物线的解析式为，将点代入得： ， 解得：， 袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略 26. 问题提出 （1）如图①，在四边形中，，，，连接．若，求的长度； 问题解决 （2）如图②，某市计划将市郊的一片足够大的空地打造为一个等腰直角三角形的露营基地，点为该露营基地内的服务中心，道路、、将露营地分为“团建活动区”、“自助烧烤区”和“露营区”三个部分．已知，，．为使该基地的露营区容纳更多的游客，要求的面积尽可能大．试问的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，过点A作于F，根据四边形内角和定理得到，由旋转的性质可得，，，则可证明，三点共线，求出，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）如图2-1所示，作正方形，以点O为圆心，的长为半径作圆，在优弧上取一点E，连接，连接交于F，连接，连接交于T，可证明B、C、D、E四点共圆，则点D在上；当最小时，最大，则由垂线段最短可知，当时，有最小值，即有最大值，此时点在线段上；再证明当三点共线时，即点D在线段上时，有最大值，则当点D在线段上时，有最大值且有最大值，设点D到的距离为h；当和h同时取得最大值时，一定有最大值，而当点D在线段上时，有最大值且有最大值，此时有，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，过点A作于F， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴三点共线， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）如图2-1所示，作正方形，以点O为圆心，的长为半径作圆，在优弧上取一点E，连接，连接交于F，连接，连接交于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B、C、D、E四点共圆， ∴点D在上； ∵， ∴当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即有最大值，此时点在线段上； ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴当三点共线时，即点D在线段上时，有最大值， 如图2-2所示，当点D在线段上时，有最大值， ∵，，， ∴此时刚好有最大值， 综上所述，可知，当点D在线段上时，有最大值且有最大值， 设点D到的距离为h ∵， ∴当和h同时取得最大值时，一定有最大值， ∵，， ∴当点D在线段上时，有最大值且有最大值， ∴此时有， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，勾股定理，解（1）的关键在于通过旋转把转换到一条线段上；解（2）的关键是构造圆和正方形，通过D点的轨迹确定中底边的长及其高同时取得最大值的情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $