第一章 三角形的证明 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级下册期末复习

期末复习 第一章 三角形的证明 北师大版数学八年级下册 一、选择题 1. 已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为 ( ) A. 9　　 B. 12　　 C. 9或12　　 D. 7 B 2. 已知等腰三角形的一个底角比顶角大30°，则它的顶角的度数为 ( ) A. 20°　　 B. 30°　　 C. 40°　　 D. 50° C 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A. 2， ，　　 B. 3，4，5　　 C. 9，12，15　　 D. 7，24，25 A 4. 如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，Q是OA上的一点，且PQ∥OB，若PQ＝2，则线段OQ的长是 ( ) A. 1.8　 B. 2.5　 C. 3　 D. 2 D 5. 如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点B，C分别在l1，l2上，若∠1＝20°，则∠2的度数为 ( ) A. 65°　 B. 70°　 C. 80°　 D. 85° C 6. 下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是 ( ) A. ∠A＝∠B＝∠C　　 B. AB＝AC，∠B＝60° C. ∠A＝60°，∠B＝60°　　 D. AB＝AC，∠B＝∠C D 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ ( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 12 C 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，∠C＝65°，则∠EDB＝ ( ) A. 30° B. 40° C. 45°　　 D. 50° B 9. 在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是 ( ) A. 不等边三角形　　 B. 等边三角形 C. 直角三角形　　 D. 等腰三角形 D 10. 三角形三边长为a，b，c，满足|a－4|＋ ＋(c－3)2＝0，则这个三角形是 ( ) A. 等边三角形　　 B. 钝角三角形　　 C. 锐角三角形　　 D. 直角三角形 D 11. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 B 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，则BE等于 ( ) A. 2 cm　　 B. 3 cm　　 C. 4 cm　　 D. 5 cm C 二、填空题 1. 在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，则∠B＝____°. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝CD，若∠BAD＝20°，则∠C＝____°. 70 70 3. 如图，AO，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，△ABC的周长为12，OD＝2，则△ABC的面积为_____. 12 4. 如图，在边长为2的等边△ABC中，以B为原点建立直角坐标系，则点A的坐标为_______. 5. 如图，BD为∠ABC的平分线，∠C＝90°，CD＝3，则点D到AB的距离是_____. 3 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是____. 7. 如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于点D，若AB＝12 cm，AC＝8 cm，则△ACD的周长为______cm. 20 8. 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一条腰长是底边长的2倍，则此等腰三角形的一条腰长为____cm. 9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，AB＝7，AD＝4，则△AED的周长为____. 7.2 11 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4. 则AC＝____. 2 11. 在△ABC中， 已知∠A，∠B，∠C的度数之比为1∶2∶3，AB＝ ，则AC＝_____. 12. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，分别交BC，AB于点E，D，GF是AC的垂直平分线，分别交BC， AC于点G，F，连接AE，AG，若∠B＝40°， ∠EAG＝44°，则∠C＝_____. 28° 三、解答题 1. 已知△ABC是等腰三角形. (1)如果它的两条边的长分别为8 cm和3 cm，求它的周长； 解：(1)∵等腰三角形的两条边长分别为3 cm，8 cm， ∴由三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为3 cm，只能为8 cm. ∴C△ABC＝8＋8＋3＝19(cm). (2)如果它的周长为18 cm，一条边的长为4 cm，求它的腰长. 三边长分别是4 cm，7 cm，7 cm，腰长是7 cm； 当长为4 cm的边为腰时，其他两边为4 cm和10 cm， ∵4＋4<10， ∴不能构成三角形. ∴腰长是7 cm. 解：(2)当长为4 cm的边为底时，其他两边都为 ＝7(cm)， (1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°. ∵DE垂直平分AC， ∴EC＝EA. ∴∠ECA＝∠A＝30°. ∴∠BCE＝60°. ∴△BCE是等边三角形. 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC. (1)求证：△BCE是等边三角形； (2)解：由(1)得EC＝BC＝3， 在Rt△ECD中，∠ECD＝30°， ∴DE＝ EC＝ . (2)若BC＝3，求DE的长. 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是边BC上的中线，E是AB上的一点且BD＝BE，求∠ADE的度数. 解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝75°. 又∵AD是边BC上的中线， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝15°. 4. 如图，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的度数. 解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD. ∴△ABC≌△AED(SAS) ∴∠D＝∠C＝50°. 在△ABC和△AED中， 5. 如图，D是△ABC的边BC上的一点，且DA＝DB，AB＝AC＝CD，求∠CAD的度数. 解：设∠B＝x. ∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝x. ∴∠CDA＝∠B＋∠DAB＝2x. ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝2x. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x. 在△ABC中， 有∠CAB＋∠B＋∠C＝(∠CAD＋∠DAB)＋∠B＋∠C＝180°， 即(2x＋x)＋x＋x＝5x＝180°，解得x＝36°. ∴∠CAD＝2x＝2×36°＝72°. 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠BFD＝90°. ∵D为AB的中点， ∴AD＝BD. 又∵DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL). ∴∠A＝∠B. ∴AC＝BC. ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC是等边三角形. 7. 如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E. 求证： (1)△ADE是等边三角形； 证明：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°. ∵DE//BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°， ∠ADE＝∠C＝60°. ∴△ADE是等边三角形. (2)AE＝ AB. 证明：(2)∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC. ∵BD⊥AC， ∴AD＝ AC. ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD. ∴AE＝ AB. 解：(1)∵DE是AB的垂直平分线， GF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EB，GA＝GC. ∴C△AEG＝EA＋EG＋GA ＝EB＋EG＋GC ＝BC ＝7. 8. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G. (1)若BC＝7，求△AEG的周长； 解：(2)∵∠BAC＝110°， ∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°. ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C. ∴∠EAB＋∠GAC＝∠B＋∠C＝70°. ∴∠EAG＝110°－70°＝40°. (2)若∠BAC＝110°，求∠EAG的度数. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，AB＝7 cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E. （1）求证：△ACD≌△AED； (1)证明：∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC. ∵DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴CD＝DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL). (2)解：∵△ACD≌△AED， ∴AE＝AC＝4 cm. ∵AB＝7 cm. ∴BE＝AB－AE＝3(cm). （2）求EB的长. (1)解：∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°， DE＝DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∴∠AEF＝∠AFE＝30°. ∴∠A＝180°－(∠AEF＋∠AFE)＝120°. 10. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，△DEF是等边三角形. (1)求∠A的度数； (2)求证：EF∥BC. (2)证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL). ∴∠B＝∠C. ∴∠B＝ (180°－∠A)＝30°. ∴∠B＝∠AEF. ∴EF∥BC. 11. 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC. $$