江苏省八年级数学下册第三次月考试卷 考试范围： （数据的收集、整理、描述、 认识概率、 中心对称图形—平行四边形、分式）（苏科版）

2024-2025学年度苏科版八年级数学下册第三次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 数据的收集、整理、描述、 认识概率、 中心对称图形—平行四边形、分式； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若想根据年我国国内生产总值增长率的数据表制成统计图，以便更清楚看出这几年来国内生产总值增长率的变化情况，应优先选取（   ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上均不能选 2．（本题3分）某校为了解八年级500名学生的数学学习情况，随机抽取了50名学生进行调查，下列说法正确的是（  ） A．每名学生被抽到的机会都是相等的 B．500名学生是总体 C．50名学生是样本 D．以上说法都正确 3．（本题3分）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．明天会下雨 4．（本题3分）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如果把分式中的和都缩小为原来的，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．保持不变 6．（本题3分）下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则； ④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃； ⑤个人中至少有个人生日相同： ⑥一个抽奖活动的中奖率是，参与抽奖次，就一定会中奖，其中属于必然事件的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（本题3分）已知方程，且关于x的不等式组只有2个整数解，那么b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（    ） A． B．2 C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B的坐标分别为，C，D两点在第二象限内，过点D作轴于点F，交对角线于点E，连接，则的周长为（   ） A．30 B．28 C．26 D．24 10．（本题3分）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共16分） 11．（本题2分）已知，代数式的值 12．（本题2分）事件“若a是实数，则”属于 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 13．（本题2分）已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 14．（本题2分）八年级（1）班在一次数学抽测中某道选择题的答题情况的统计图如下所示，根据统计图可得选C的有 人． 15．（本题2分）已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是 ． 16．（本题2分）如图，在中，，，平分，交边于点，则 ． 17．（本题2分）如图，在锐角中，于点D．若，则的长为 ．（用含有a，b的代数式表示） 18．（本题2分）如图所示，，，延长至D，使，四边形为正方形，连接交于M，则点的坐标为 ． 三、解答题（共54分） 19．（本题6分）从写有的四张卡片中选取一个作为的值，使一次函数的图象经过第三象限是一件不可能事件， (1)___________；与轴交点的坐标为___________，与轴交点的坐标为___________； (2)过点作线段，且，求直线的函数关系式． 20．（本题6分）现在同学们的课余时间更“好”，大家是怎么安排自己的课余时间的呢？如图所示是八年级（1）班同学课余时间统计图． (1)选择户外运动的同学占全班人数的___________，选择___________的占全班人数最多． (2)已知户外运动人数比阅读人数多5人，从（1）班一共有多少名学生？ (3)若全校共有1000名学生，估计兴趣班比阅读人数多多少？ 21．（本题6分）如图1，和都是边长为4的等边三角形． (1)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 22．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)画出关于坐标原点成中心对称的；并写出点的坐标为__________； (2)在平面直角坐标系内找一个点，使得四边形为平行四边形，则点坐标为__________． 23．（本题6分）今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． (1)求，两种跑鞋的进价分别是多少元？ (2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 24．（本题8分）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 25．（本题8分）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 26．（本题8分）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是 ； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度苏科版八年级数学下册第三次月考试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 数据的收集、整理、描述、 认识概率、 中心对称图形—平行四边形、分式； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若想根据年我国国内生产总值增长率的数据表制成统计图，以便更清楚看出这几年来国内生产总值增长率的变化情况，应优先选取（   ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上均不能选 【答案】A 【分析】根据折线统计图的特点，折线统计图不仅能够表示数量的多少，而且能够表示数量增减变化的趋势，所以制成折线统计图比较合适．本题考查统计图的特点，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【详解】解：若想根据表中数据制成统计图，以便清楚看出这几年来国内生产总值增长率变化情况，应选择折线统计图； ∴应优先选取折线统计图， 故选：A． 2．（本题3分）某校为了解八年级500名学生的数学学习情况，随机抽取了50名学生进行调查，下列说法正确的是（  ） A．每名学生被抽到的机会都是相等的 B．500名学生是总体 C．50名学生是样本 D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论． 【详解】A、每名学生被抽到的机会都是相等的，故该选项正确； B、500名学生的数学学习情况是总体，故该选项错误； C、50名学生的数学学习情况是样本，故该选项错误； D八以上说法不都正确，故该选项错误． 故选：A． 3．（本题3分）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．明天会下雨 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 4．（本题3分）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义，分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可． 【详解】解：A．，是最简分式，符合题意； B． ，故原式不是最简分式，不合题意； C． ，故原式不是最简分式，不合题意； D．，故原式不是最简分式，不合题意； 故选：A． 5．（本题3分）如果把分式中的和都缩小为原来的，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴若把分式中的x和y都缩小为原来的，那么分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 6．（本题3分）下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则； ④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃； ⑤个人中至少有个人生日相同： ⑥一个抽奖活动的中奖率是，参与抽奖次，就一定会中奖，其中属于必然事件的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义即可判断． 【详解】解：①②④⑥是随机事件； ③是不可能事件，是确定事件； ⑤是必然事件，是确定事件． 故选：A． 7．（本题3分）已知方程，且关于x的不等式组只有2个整数解，那么b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先解分式方程，得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：解方程，得， 经检验，是该分式方程的解， ∵关于x的不等式组，即只有2个整数解， ∴． 故选：D． 8．（本题3分）如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点从点运动到点，据此即可求解； 【详解】解：取的中点，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵M为的中点， ∴M为的中点， ∴当点P从点B运动到点C，点从点运动到点， ∵的中点为，的中点为， ∴是的中位线， ∴， 即：点M运动的路径长为， 故选：D 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B的坐标分别为，C，D两点在第二象限内，过点D作轴于点F，交对角线于点E，连接，则的周长为（   ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】D 【分析】先证明，得，如图所示，过点作轴于点，再证，得出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 如图所示，过点作轴于点， 则四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 点坐标分别为 ， ， ， 的周长， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 10．（本题3分）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，正方形纸片的边长为9， ， , 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 则可得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为, 把代入可得，解得， 直线的解析式为, 联立方程， 解得， ， 则， ， ， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共16分） 11．（本题2分）已知，代数式的值 【答案】/0.125 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解答此题的关键．取原式倒数，可得，根据，可得所求分式值为． 【详解】解：由得， ∴ 而， ∴． 故答案为：． 12．（本题2分）事件“若a是实数，则”属于 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键． 一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】∵a是实数， ∴当时，；当时，； ∴事件“若a是实数，则”属于不可能事件． 故答案为：不可能． 13．（本题2分）已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分、分解因式，分式的能分就是把异分母分式化为同分母分式，通分的关键是找各分式的最简公分母，最简公分母就是取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数，再取各分母中所有因式的最高次幂作为公分母的因式，从而可得答案． 【详解】解：， ， 最简公分母是． 故答案为： ． 14．（本题2分）八年级（1）班在一次数学抽测中某道选择题的答题情况的统计图如下所示，根据统计图可得选C的有 人． 【答案】28 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用选D的人数除以其人数占比求出总人数，再用总人数乘以选C的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴八年级（1）班的人数为50人， 人， ∴选C的有28人， 故答案为：28． 15．（本题2分）已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 16．（本题2分）如图，在中，，，平分，交边于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，再证明为等腰三角形，易得，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（本题2分）如图，在锐角中，于点D．若，则的长为 ．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形：将分别沿着翻折，得到，连接并延长交于点，证明四边形为正方形，得到，进而得到，设，则：，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 将分别沿着翻折，得到，连接并延长交于点，如图： 则：，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， ∴ ∴ ∴； 故答案为：． 18．（本题2分）如图所示，，，延长至D，使，四边形为正方形，连接交于M，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点的坐标公式、正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据中点的坐标公式可得，再过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据中点的坐标公式即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵，，， ∴，解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， 又∵，， ∴点的坐标为，即为， 故答案为：． 三、解答题（共54分） 19．（本题6分）从写有的四张卡片中选取一个作为的值，使一次函数的图象经过第三象限是一件不可能事件， (1)___________；与轴交点的坐标为___________，与轴交点的坐标为___________； (2)过点作线段，且，求直线的函数关系式． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，不可能事件，全等三角形的判定与性质等知识，截图的关键是： （1）根据一次函数的性质，不可能事件的定义求出a的值，得出函数解析式，即可求出A、B的坐标； （2）分C在直线的左侧和右侧讨论，然后根据全等三角形的判定与性质，待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，直线的图象经过第一、二象限， 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 又从写有的四张卡片中选取一个作为的值，使一次函数的图象经过第三象限是一件不可能事件， ∴， ∴函数解析式为， 当时，， 解得， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，， 当C在直线的右侧时，过C作轴于D， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； 当C在直线的左侧时，过C作轴于D， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； 综上，直线解析式为或． 20．（本题6分）现在同学们的课余时间更“好”，大家是怎么安排自己的课余时间的呢？如图所示是八年级（1）班同学课余时间统计图． (1)选择户外运动的同学占全班人数的___________，选择___________的占全班人数最多． (2)已知户外运动人数比阅读人数多5人，从（1）班一共有多少名学生？ (3)若全校共有1000名学生，估计兴趣班比阅读人数多多少？ 【答案】(1)，兴趣班 (2)40 (3)225人 【分析】本题考查了扇形统计图，解题的关键是： （1）把全班学生人数看作单位“1”，根据减法的意义，用减法解答；通过观察统计图可知，选择兴趣班占全班人数的最多； （2）先求出户外运动人数比阅读人数多占全班人数的百分之几，再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答 （3）用1000乘以兴趣班比阅读人数多占全班人数的百分之几求解即可． 【详解】（1）解： ∴选择户外运动的同学占全班总数的； 由扇形图可得：选择兴趣班占全班人数的最多． 故答案为：，兴趣班； （2）解：（名） 答：六（1）班一共有40名学生． （3）解：， ∴估计兴趣班比阅读人数多225人． 21．（本题6分）如图1，和都是边长为4的等边三角形． (1)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和等边三角形的性质和平行四边形的判定以及平移的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）根据平移的性质，得到，根据等边三角形的性质，得到，，从而得到，则，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据等边三角形的性质与矩形的性质，进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据平移的性质，得到， 根据等边三角形的性质，得到，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，， ∵，都是边长为的等边三角形，四边形为矩形， ∴，此时重合， ∴． 22．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)画出关于坐标原点成中心对称的；并写出点的坐标为__________； (2)在平面直角坐标系内找一个点，使得四边形为平行四边形，则点坐标为__________． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查的是画中心对称图形，平行四边形的判定与作图； （1）分别确定关于坐标原点成中心对称的对称点，再顺次连接，根据的位置可得其坐标； （2）确定格点，使，即可； 【详解】（1）解：如图，即为所作的三角形；； （2）解：如图，即为所求； ∴． 23．（本题6分）今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． (1)求，两种跑鞋的进价分别是多少元？ (2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元； (2)购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元，根据题意列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双，根据购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设这批跑鞋全部售完的利润为元，根据总利润单双利润销售数量（购进数量），即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元； （2）解：设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双， 依题意，得：， 解得：， 设这批跑鞋全部售完的利润为元，则 ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时， 答：购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元． 24．（本题8分）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 (2)，的值为 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）由定义可得，即得，进而可得，根据为整数，且的值也为整数可得可能是，， 据此解答即可求解； 本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为； （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴是的因数， ∴可能是，， ∴的值为． 25．（本题8分）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 26．（本题8分）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是 ； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 【答案】(1)①；②点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，由勾股定理可求出点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：①∵正方形边长为 2 ，点的坐标为， ， ∵将沿直线折叠， ， 又 ∵， ， ， ∴点的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点是线段的中点， ， 由折叠的性质可得， 又 ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 设点的坐标为，则， ， ， 在中，， ， 解得， ∴点的坐标为， ， ， 又， ， ， ， ∴点的坐标为． （2）解：如图，连接， 设，则． 设，则， 在中，， ， 解得， ， 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ， ，即， 解得：， ， ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$