第四章 三角形 单元检测卷B 　 2024-2025学年 七年级北师大版数学下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷B 第四章 三角形 考试范围：北师大2024版第四章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．如果三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的一个顶点．那么这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 2．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．小明用4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形（如图①所示），且他用这些还能拼成图②所示的长方形， 则长方形的面积为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 6．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）       A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 8．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 9．如图，使用尺规经过直线a外的点P作直线a的平行线b，其作图步骤如下： 第①步：过点P作直线l交直线a于点O； 第②步：以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交直线a于点A，交直线l于点B； 第③步：以点P为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点C； 第④步：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求． 上述作图步骤中，作法错误的步骤是（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 10．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 12．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 13．已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 14．已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等． 15．如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 16．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画的图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中在边上找到格点D，连结，使． (2)在图②中的内部找到一个格点E，连结，使与图①中相等． (3)在图③中的的外部找到一个格点F，连结，使与图①中的相等． 18．（本题6分）若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为， (1)求的值； (2)求该等腰三角形的周长． 19．（本题6分）如图．且且的延长线交于．求证：． 20．（本题6分）【综合与实践】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 【实践操作】如图所示： 步骤1：面向点站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米．已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 (1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． (2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法． 21．（本题6分）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．（本题8分）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 23．（本题10分）在中，，，过点A作，连接，，M为平面内一动点． (1)如图1，点M在上，连接，，过点A作于点F，D为中点，连接并延长，交于点H．求证：． (2)如图2，连接，，过点B作于点B，且满足，连接，，过点B作于点G，若，，，请求出线段的取值范围． 24．（本题12分）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：；②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①；②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 25．（本题12分）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C C D A D D 1．B 【分析】本题考查了三角形的高的定义，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键； 根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形． 钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部； 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：三角形的三条高所在的直线的交点在三角形某一顶点， 那么这个三角形是直角三角形． 故选：B 2．C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出． 【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为， ， ， 即， 在和中， ， ； ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 由，得到，即， 在和中， ， ， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．折叠后形成的三角形三边分别为，利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：由题意得：折叠后形成的三角形三边分别为， 则， 解得， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，整式的运算的应用，设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b，利用两个图中面积关系和线段之间的关系求得，即可解答，熟练运用整式表示相关面积和线段长度是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形 中间的小正方形边长为， 由直角三角形的面积为4，可得， 由图②长方形可得， ， 可得 解得（负值舍去）， 则， 所以长方形的面积为20． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质，根据证明即可解决问题． 【详解】解：根据作图过程可知：第④步：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求．错误； 第④步：应该是：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求． 如图，连接，， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴，即． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            11．（不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴当添加，根据可证明． 故答案为：（不唯一）． 12．/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握倍长中线法构造全等是解题的关键；延长到E，使，连接，根据可证，得，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， 则有， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， 故答案为：． 13．5 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得， 当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11， 能构成三角形； 当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5， ∵，故不能构成三角形． 综上所述，的底边长是5． 故答案为：5． 14．2或9 【分析】本题考查了全等三角形的判定及长方形的特点，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．结合和全等分两种情况进行讨论，①当时，②当时，根据题意得出和求解，即可解题． 【详解】解：①当时，和全等． 四边形为长方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 所以， ②当时，和全等． 与①同理，根据证得：， 在长方形中，， ． ， ， ， 解得． 所以，当t的值为2或9秒时．和全等． 故答案为：2或9． 15． 3 【分析】本题考查了三角形三边关系．熟练掌握是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】当时， 当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个； …； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个． 故答案为：3；． 16． 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 【详解】解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）构造全等三角形即可； （3）构造全等三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，即为所求， 18．(1) (2)等腰三角形的周长为15 【分析】本题主要考查了整式加减法中的无关型问题，三角形三边的关系，正确的将多项式进行整理化简是解题的关键． （1）化简这个多项式，因为代数式的值与无关，所以含的项的系数等于0，列出方程组求出的值； （2）根据的值进行分析，求出该等腰三角形的周长． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得：． （2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，6，此时，构不成三角形，不符合题意； 当6是等腰三角形的腰时，三边为6，6，3，周长． ∴该等腰三角形的周长为15． 19．见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，掌握“利用AAS证明三角形全等”是解本题的关键．如图，过点作交的延长线于，证明 再证明，可得，再证明，可得，，再利用三角形中线的性质可证结论． 【详解】证明：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点； ，， 点是的中点， ， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据等三角形的判定与性质求解即可； （2）根据题意并结合实际分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 又， ， 米； （2）该方法在生活场景中测量池塘对岸某一物体的距离同样适用， 可能会遇到的不同情况及相应的解决办法： 情况一：周围由障碍物影响视线， 解决办法：可以选择适合的观测点，避开障碍物，重新进行观测操作。或者借助梯子等工具，升高观测点位置，越过障碍物进行观测； 情况二：底面不平整影响站姿， 解决办法：可以先在地面上铺设一块平整的垫板，再进行测量操作． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质，得出题意得出，证明，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）求解，结合，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∵，， ； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据为的中点得，进而可依据判定和全等； （2）根据和全等得，则，再根据平行线的性质得，然后依据判定和全等，则，进而得，由此即可得出结论， 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 23．(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据证得，得出，，再利用证得，得出，即可得出结论； （2）连接，先利用得出，得出，再根据等底同高的三角形的面积相等得出，再利用三角形的面积公式得出的长，从而利用三角形的三边关系得出的取值范围； 本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，灵活运用全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 24．（1）①见解析；②； （2）①见解析；②见解析； （3），画图见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用同角的余角相等得，则由即可证明； ②由得，由三角形面积公式即可求解； （2）①由，即可得； ②延长与的延长线于点E，证明，则，易得，由预备知识得，则结论可证明； （3）过点C作交的延长线于点M，连接；设，由预备知识得；证明，则，，得；利用，可求得x的值，即求得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 25．(1)证明见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查全等三角形与几何动态综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）利用证得，得到，即可得出结论； （2）由于点运动的速度快，根据点从点到点运动或点从点到点运动分两种情况讨论即可得到答案； （3）利用证明，得到，再分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点先从点到点运动时：； 当点再从点到点运动时：， 综上所述：的长为或． （3）解：连接连接，且过点， 由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$