第四章 三角形 单元检测卷A 　 2024-2025学年 七年级北师大版数学下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷A 第四章 三角形 考试范围：北师大2024版第四章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5、6、11 D．3，5，9 2．下列说法中，正确的个数有（   ） ①同位角相等；②三角形的三条高线的交于三角形内部一点； ③全等三角形的面积一定相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内 A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点、、、在一条直线上，，，再添加一个条件后仍然不能证明的是（    ） A． B． C． D． 4．网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 5．如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ） A．① B．② C．③ D．①和② 6．如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 7．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．若一个三角形的两边长分别为和，第三边长为奇数，则这个三角形周长的最大值为 ． 12．已知三角形的两边长分别为3和5，随机从“2、3、4、5、6、8、9”中选出一个数作为第三边的长度，则能构成三角形的概率是 13．已知，，为三角形的三边，化简的结果是 14．如图，，，，，则 ． 15．如图，在直角中，，分别以两直角边为腰作等腰直角三角形，记，其中，则图中阴影部分面积为 ． 16．如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题8分）如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 18．（本题6分）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 19．（本题6分）如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：． 20．（本题6分）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 21．（本题8分）已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（本题8分）综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 23．（本题10分）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 24．（本题10分）阅读材料：若，求、的值． 解：∵，∴ ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是的最大边长，且为奇数，求的周长． 25．（本题10分）【问题探究】 （1）如图1：在中，，的平分线交于点D，于点E． ①说明：； ②如图2，点F是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2） 若图2中的是一块空地，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C C A D B C 1．B 【分析】此题主要考查三角形构成，解题的关键是熟知三角形的三边关系：较小的两边之和大于第三边． 根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解：A．，不能构成三角形； B．，能构成三角形； C．，不能构成三角形； D．，不能构成三角形； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了几何的相关概念，掌握同位角、三角形的高、全等三角形的性质、平行公理，角平分线交点等知识是关键． 根据同位角、三角形的高、全等三角形的性质、平行公理，角平分线交点等知识进行判定即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误； ②锐角三角形的三条高线不一定交于三角形内部一点，故原说法错误； ③全等三角形的面积一定相等，正确； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：A ． 3．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察题干条件，已知，，根据三角形全等的判定逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、添加，利用即可判定，不符合题意； B、添加，利用即可判定，不符合题意； C、添加，不能即可判定，符合题意； D、添加，利用即可判定，不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，根据该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机，得出这样设计的原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机， ∴这样设计的原理是三角形具有稳定性， 故选：D 5．C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，③中有两个完整的角和它们的夹边，利用可以得到唯一三角形，故最省事的是带③去； 故选C． 6．C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选C． 7．A 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由题意可得，，，再分和两种情况解答即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴； 综上，的值为或， 故选：． 9．B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比是解题的关键； 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可 【详解】解：如图，连接、、； ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ； 故选：B 10．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长至G，使，从而得出，进一步证明，且，利用证明，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设，则，根据平行线的性质，及角的计算即可得出即可判断③；当时，可得出；时，则无法说明，即可判断①． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ②是正确； ， ， 平分， 当时，，则； 当时，，则无法说明； ①是错误的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的； 故选C． 11． 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再利用第三边长为奇数，得出第三边长的最大值，则可得三角形周长的最大值． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 即第三边长， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查三角形的三边关系，求概率，根据三角形的三边关系，求出第三边的范围，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：设三角形的第三边为：， ∴， ∴， ∴满足条件的数字有3、4、5、6、共4个； ∴； 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、 是三角形的三边长， ，， ， ， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练根据题意找出全等三角形是解题的关键．先利用，得出，再证明，得出，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了完全平方公式与三角形面积的结合，要求的面积，只要求的值，即的值，通过，与的面积和为9，利用完全平方公式即可求出，由此得解． 【详解】解：、是等腰直角三角形， ，， 与的面积和为9， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 17．(1)作图见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． 18．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，掌握两个三角形全等的判定方法是解决此题的关键． 由题得，根据平行线的性质得到，得到，得到． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ． 19．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角度的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得出，再判定，即可求解； （2）利用，得出，再由，得出，证明，得出，，则可得，，证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，从而可得结论； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 22．甲同学方案可行，理由见解析，乙同学方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．甲同学方案：根据证明，根据全等三角形的性质即可得证；乙同学方案：根据证明，进一步即可得证． 【详解】解：方案①可行，理由如下： 在和中，， ∴， ∴， ∴方案①可行； 方案②可行，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故方案②可行． 23．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论； （3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交于F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．(1)9 (2)14或16 【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． （1）根据材料，将因式分解得：，可求出的值，继而可求出结果； （2）将因式分解得：，可求出的值，然后根据三角形的三边关系和是的最大边长，且为奇数，求得的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即的值是 9 ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， 又 ∵为奇数， 或， ∴三角形的周长为或． 25．（1）①见解析；②相等，见解析；（2）种植鲜花的面积是 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①证明即可得到； ②由（1）得，得到，即可证明，得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：（1）① ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； ② ； 理由：由（1）得， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即种植鲜花的面积是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$