2024—2025学年北师大版数学七年级下册期中检测卷B 　

北师大2024版数学七年级下册 期中检测卷B 考试范围：北师大2024版第一章至第三章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．当前，我国人工智能产业在技术创新、产品创造和行业应用等方面实现快速发展，形成庞大市场规模．中国互联网络信息中心发布的《生成式人工智能应用发展报告（）》显示，我国初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模接近亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．根据图中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式是（   ） A． B． C． D． 5．设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（   ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 6．要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称16为“完美数”．下面4个数中，是“完美数”的是（   ）． A．2040 B．2020 C．2100 D．2300 8．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 9．如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．若，则 ． 12．一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，． 13．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ． 14．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为 ． 15．如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么a与b的数量关系是 ． 16．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题8分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（本题4分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题6分）如图，已知，平分，点是线段上一点（不与点，重合）． (1)在图中求作直线，使得，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 20．（本题6分）在一个不透明的袋子里装有除颜色外，其他都相同的3个红球和2个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值为__________． ②如果事件A是随机事件，则m的值为__________． (2)先从袋子中取出n个红球，再放入个一样的白球并摇匀，若摸出一个球是白球的概率是，求n的值． 21．（本题8分）重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 22．（本题8分）【阅读材料】数学活动﹣探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位置为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d (1)计算：___________； (2)小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，___________，___________． 所以…… (3)同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 23．（本题10分）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，，所以． 因为，，根据 （1） ，所以， 根据 （2） ，所以． 因为，所以 （3） ，所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 24．（本题10分）已知直线，直线分别与、相交于、． 【阅读理解】 （1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　 ）， ， （　　 ）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 （2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 （3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 25．（本题12分）（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A C A D B A 1．B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．首先写成，用科学记数法表示时需要把小数点向左移动位，所以． 【详解】解：． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，先根据同底数幂的除法和幂的乘方将转化为，再代入计算即可．解题的关键是掌握：同底数幂的除法法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的值为． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查整式的运算，根据单项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式，多项式乘以多项式的法则逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 4．B 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形的应用，由题意得出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．本题的关键是结合整体的思想，对已知式子和所求式子进行化简整理． 根据，，直接代入计算即可； ②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出； 【详解】解：∵，， ∴，故正确 ②由题意知，， 所以，即， ．故正确． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了平行线的性质，方向角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据方位角的意义，构造平行线，利用平行线的性质，结合角度，即可求解． 【详解】解：， 如图所示，由题可知：，， ， ； 故选：C 7．A 【分析】本题主要考查了平方差公式，设这两个连续奇数为，应用平方差公式进行计算可得，“完美数”是8的倍数，逐项比较即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续奇数为设这两个连续奇数为， 则， 2040是8的倍数，A正确；2020、2100、2300不是8的倍数，不符合题意，BCD错误． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键； 根据题意，分、或、讨论，即可求解； 【详解】解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 10．A 【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键． 11．0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①当时；②当时，利用平行线的判定条件即可求解： 【详解】解：由题意得，， 如图， 当时，可得； ②如图， 当时，可得， 则． 故答案为：或； 13． 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个小球，共有种等可能的情况，其中是红球的有种情况， 故． 故答案为：． 14．92 【分析】此题主要考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式法则是解题的关键． 利用完全平方公式变形求出，利用面积公式计算可得阴影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积 = = = ， 故答案为：92． 15． 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出与的关系式，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∵，即， ∴，即， ∴阴影部分面积之差， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变， ∴，即， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴，， 又∵是和的角平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，多项式乘以多项式的计算，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算同底数幂乘法，再合并同类项即可打得到答案； （2）先计算负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解； ． 18． 【分析】先计算括号里的，通过平方差公式、多项式乘以多项式、合并同类项化简，再由多项式除以单项式即可得到结果，再将代入化简后的结果，由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、多项式乘以多项式、合并同类项、多项式除以单项、有理数加减运算等知识，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则化简是解决问题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺柜作图，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）以为一边，在的上方作即可； （2）先由角平分线的定义求出，再由平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）如图直线即为所求． （2）平分， ． ， ， ．           ， ．． 20．(1)①2；②1 (2)n的值为1 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 且． （1）①如果先从袋子里取出个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球是必然事件，则袋子里面装的都是红球，即可求出取出的白球个数； ②如果先从袋子里取出个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球是随机事件，则袋子里面装的既有红球又有白球，即可求出取出的白球个数； （2）根据概率公式列出等式，解出n的值即可． 【详解】（1）解：先从袋子里取出个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A， ①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了2个白球，则m的值为2； ②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有白球，则取出的白球个数为1个，则m的值为1． 故答案为：①2；②1． （2）解：由题意得：， 解得， 经检验得是原方程得解， 所以n的值为1． 21．(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟知乘法公式是解题的关键． （1）根据长方形和正方形面积计算公式分别求出A、B的面积，二者求和即可得到答案； （2）根据长方形和正方形周长计算公式推出，进而可求出A、B面积，再根据净收入计算公式代值计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴、两园区的面积之和为平方米； （2）解：∵整改后两园区周长之和为1200米， ∴， ∴， ∴正方形面积为平方米， ∴长方形面积为平方米， 元． 22．(1)7 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了日历中的数字问题，有理数的混合运算，整式的混合运算的应用等知识，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）根据有理数混合运算的法则计算求解； （2）先表示，，再代入计算即可； （3）结论：，设中间O为y，则，可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：理由如下： 设，则，，． ； （3）解：结论：． 理由如下： 设中间为，则， ． 23．问题解决：（1）平行公理推论；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行公理推论， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：（1）平行公理推论；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：130． （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24．（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补 （2）， （3）或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ，即． 故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 25．（1）8；（2）45；（3）95；（4）①②③⑤ 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形的应用，多项式乘多项式的规律应用，注意数形结合． （1）由，把整体代入即可求解； （2）根据阴影部分面积等于两个正方形面积和分别减去的面积即可，再由已知求出，整体代入即可． （3）由，再整体代入即可求解； （4）根据（为正整数）的展开式的系数规律，逐个判断即可． 【详解】解：（1）， 由于，则； 故答案为：8． （2）∵，点为的中点， ∴； 阴暗部分面积 ； ∵， ∴， 即； 阴暗部分面积； 答：图中阴暗部分面积为45； （3）∵ 又， 即， ∴； 故答案为：95； （4）的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 其和为； 故①正确； 展开式各项中，各系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，系数最大的项是第四项和第五项； 故②正确； ； 故③正确； ， 上式中取，得；取，得 则； 故④错误； ∵， 而， ∴ 即 ∴能被28整除； 故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$