4.3 公式法（第1课时）（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

公式法 教学设计 教学内容： （1）本节课的主要教学内容是如何运用平方差公式进行因式分解。 （2）本节课主要介绍了平方差公式的基本形式及其应用方法。通过对平方差公式的逆向应用，引导学生掌握因式分解这一重要技能。同时，课程还涵盖了如何判断一个多项式是否适合使用平方差公式进行因式分解，以及如何处理复杂的多项式分解问题。 （3）通过学习本节课，学生能够培养逆向思维能力和数学逻辑推理能力。学生将学会如何从多项式出发，找到其因式分解的可能性，并能灵活运用平方差公式解决实际问题。此外，通过课堂互动和练习，学生还将增强独立思考和合作交流的能力，加深对数学知识的理解和运用。 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察平方差公式的应用，理解其在现实生活中的实际意义，能够识别并分析符合平方差公式特征的数学问题。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过逆向思维和整体思想，探索并掌握平方差公式进行因式分解的方法，发展逻辑推理和问题解决能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能够清晰、准确地运用数学语言描述平方差公式的因式分解过程，并在交流中表达自己的思维和想法。 教学重难点： （1）掌握平方差公式的结构特征，并能准确识别符合平方差公式的多项式。 （2）灵活运用平方差公式进行因式分解，并能在复杂情境中综合运用多种因式分解方法。 （3）理解因式分解的彻底性，能够判断因式分解是否彻底，并在实际应用中验证结果的正确性。 教学方法： 讲授法、实验法、练习法、探究法 教学过程： 一、情境导入，初步认知 教师在黑板上写出以下题目： （1）（x+5）（x-5）=； （2）（3x+y）（3x-y）=； （3）（3m+2n）（3m-2n）=________________。 生： 学生开始思考并尝试填写答案。 教师可以适时提示学生回忆整式乘法的知识，并鼓励他们利用已有的数学经验解决问题。 请学生回答并解释这些乘积的结果。 生： 学生回答并解释他们的答案。例如，(x+5)(x-5) = x² - 25，这是平方差公式的结果。 教师可以引导学生回顾多项式乘法的步骤，并逐步引导学生认识到这些结果都是平方差的形式。 教师引导学生观察这些结果的共同特征，并尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： x²－25=________; 9x²－y²=_____; 9m²－4n²=____. 生： 学生通过观察和讨论，发现这些结果都是平方差的形式。学生尝试将其写成两个因式的乘积。例如，x²－25 = (x+5)(x-5)。 教师可以在学生解答过程中提供一些引导性问题，如 “你们发现了什么规律吗？”、“你们能将这些表达式都写成两个因式的乘积形式吗？” 等。 教师总结： 我们看到这些结果都是平方差的形式，可以写成 (a+b)(a-b) 的形式。这为我们接下来的学习提供了基础。 生： 学生记录下这个结论，并且理解到这是一个重要的数学工具。 二、思考探究，获取新知 观察下列过程，谈谈你的感受。 教师在黑板上写出以下过程： 将多项式 a²-b² 进行因式分解: ∵（a+b）(a-b)=a²-b² 整式乘法 ∴a²-b²=（a+b）(a-b) 因式分解 生： 学生思考并讨论，教师引导学生理解这是一个逆向变形的过程。 教师可以提出一些问题，如 “这两个过程有什么不同？”、“为什么我们可以这么做？” 来激发学生的思考。 归纳结论： 整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。 生： 学生记录并理解这一结论。 教师可以进一步解释，为什么这种方法有效，并举例说明其重要性。 找特征 教师在黑板上写出平方差公式： a²-b²=(a+b)(a-b) （1）公式左边：被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）²－（ ）² 的形式。 （2）公式右边：分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 生： 学生跟随教师的讲解，理解并记录平方差公式的特点。 教师可以通过具体的例子进一步解释每个部分的意义。例如，a² 可以代表一个数的平方，b² 则是另一个数的平方。 三、运用新知，深化理解 见教材 P99 例 1、例 2 教师带领学生阅读教材 P99 的例题，并讲解如何应用平方差公式进行因式分解。 生： 学生跟着教师的步骤，理解例题中的解题方法。 教师可以边讲解边示范，让学生参与到每个步骤中。 练习题目 教师在黑板上写出以下题目： 下列多项式能转化成（ ）²－（ ）² 的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）²－（ ）² 的形式。 （1）m²－81=m²－9²; （2）1－16b²=1²－(4b)²; （3）4m²+9; （4）a²x²－25y²=(ax)²－(5y)²; （5）－x²－25y². 生： 学生尝试独立完成这些题目，教师巡回指导。 对于第 3 小题和第 5 小题，教师可以特别强调这两个多项式不符合平方差公式的条件，帮助学生加深对公式的理解和应用。 选择题 教师在黑板上写出以下选择题： 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A．a²＋b² B．－a²＋b² C．－a²－b² D．－(－a²)＋b² 生： 学生思考并选择正确答案。教师公布答案：B 教师可以逐个选项分析，确保学生理解为什么不选某些选项。 解答题 教师在黑板上写出以下题目： (x＋1)²－9 (x－1)² 解：原式 = 4 (2x－1)(2－x) 生： 学生跟随教师的步骤，理解解题过程。 教师可以详细解释每一步的变换依据和原理，帮助学生掌握方法。 分解因式 教师在黑板上写出以下题目： （1）a²b²-a²c²=a²（b²-c²）=a²（b+c）（b-c）； （2）-x⁵y³+x³y⁵=x³y³（-x²+y²）=x³y³（x+y）（-x+y） （3）（a+b）²-9（a-b）²=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）； （4） p⁴－1=（p²+1）（p²－1）=(p²+1)(p-1)(p+1). 生： 学生跟随教师的步骤，理解每个题目的解题方法。教师强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化。 教师可以分步骤讲解每个题目，特别是在复杂题目中如何逐步分解因式。 综合应用 教师在黑板上写出以下题目： 若 a＋b=2011, a－b=1, 求 a²－b² 的值. 解：a²－b²=（a＋b）（a－b）=2011×1=2011 生： 学生跟随教师的步骤，理解如何利用平方差公式解决实际问题。 教师可以通过类似的题目，进一步巩固学生对公式应用的理解。 简便计算 教师在黑板上写出以下题目： 565²－435²=（565+435）（565-435）=1000×130=130000. 生： 学生跟随教师的步骤，理解如何利用平方差公式进行简便计算。教师再次强调在使用整体法进行分解因式时需要注意括号前的系数变化和去括号后的符号变化。 教师可以通过几个例子，让学生感受到简化计算的优势。 四、师生互动，课堂小结 教师总结： 本节课我们主要学习了，运用平方差公式进行因式分解。 利用平方差公式时，先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据： 是一个二项式（或可看成一个二项式）； 每项可写成平方的形式； 两项的符号相反。 生： 学生跟随教师的总结，回顾本节课的关键知识点。 在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，然后再用平方差公式分解因式。 生： 学生记录并理解这个顺序。 分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 生： 学生记录并理解这一点。 教师可以再次强调每个步骤的重要性，确保学生掌握了所有关键点。 课后作业： （1）请同学们运用平方差公式，分解以下多项式，并验证分解的正确性： a² - 4b² 9x² - 25y² （2）根据本节课所学内容，选择两道习题 4.4 中的题目进行解答，并尝试解释每一步解题过程中平方差公式的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$